1、解答题滚动练 81.在ABC 中，内角 A，B ，C 的对边分别为 a，b，c，已知 cos 2A 2cos A.32(1)求角 A 的大小；(2)若 a1，求ABC 的周长 l 的取值范围.解 (1)根据倍角公式 cos 2x2cos 2x1，得 2cos2A 2cos A，12即 4cos2A4cos A10，所以(2cos A1) 20，所以 cos A ，又因为 0A ，所以 A .12 3(2)根据正弦定理 ，asin A bsin B csin C得 b sin B，c sin C，23 23所以 l1bc 1 (sin Bsin C)，23因为 A ，所以 BC ，3 23所以
2、l1 12sin ，23sin B sin(23 B) (B 6)因为 0B ，所以 l(2 ，3.232.某市对贫困家庭自主创业给予小额贷款补贴，每户贷款额为 2 万元，贷款期限有 6 个月、12 个月、18 个月、24 个月、36 个月五种，这五种贷款期限政府分别需要补助 200 元、300元、300 元、400 元、400 元，从 2016 年享受此项政策的困难户中抽取了 100 户进行了调查统计，其贷款期限的频数如下表：贷款期限 6 个月 12 个月 18 个月 24 个月 36 个月频数 20 40 20 10 10以上表各种贷款期限的频率作为 2017 年贫困家庭选择各种贷款期限的
3、概率.(1)某小区 2017 年共有 3 户准备享受此项政策，计算其中恰有两户选择贷款期限为 12 个月的概率；(2)设给享受此项政策的某困难户补贴为 元，写出 的分布列，若预计 2017 年全市有 3.6万户享受此项政策，估计 2017 年该市共要补贴多少万元.解 (1)由已知一困难户选择贷款期限为 12 个月的概率是 0.4，所以小区 2017 年准备享受此项政策的 3 户恰有两户选择贷款期限为 12 个月的概率是P1C 0.420.60.288.23(2)P(200) 0.2，P (300)0.6， P(400)0.2，所以 的分布列是 200 300 400P 0.2 0.6 0.2E
4、()2000.23000.6 4000.2300.所以估计 2017 年该市共要补贴 1 080 万元.3.(2017北京丰台二模)如图所示的几何体中，四边形 ABCD 为等腰梯形，ABCD，AB 2AD2，DAB60，四边形 CDEF 为正方形，平面 CDEF平面 ABCD.(1)若点 G 是棱 AB 的中点，求证： EG平面 BDF；(2)求直线 AE 与平面 BDF 所成角的正弦值；(3)在线段 FC 上是否存在点 H，使平面 BDF平面 HAD？若存在，求 的值；若不存在，FHHC请说明理由.(1)证明 由已知得 EFCD，且 EFCD .因为四边形 ABCD 为等腰梯形，所以有 BG
5、CD.因为 G 是棱 AB 的中点，所以 BGCD.所以 EFBG ，且 EFBG，故四边形 EFBG 为平行四边形，所以 EGFB .因为 FB平面 BDF，EG平面 BDF，所以 EG平面 BDF.(2)解 因为四边形 CDEF 为正方形，所以 EDDC.因为平面 CDEF平面 ABCD，平面 CDEF平面 ABCDDC，DE平面 CDEF，所以 ED平面 ABCD.在ABD 中，因 为DAB60， AB2AD2，所以由余弦定理，得 BD ，所以 ADBD .3在等腰梯形 ABCD 中，可得 DCCB 1.如图，以 D 为原点，以 DA，DB，DE 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，
6、建立空间直角坐标系，则 D(0，0，0)，A(1，0，0)，E(0，0，1)，B(0， ，0)，F ，3 ( 12，32，1)所以 (1， 0，1)， ， (0， ，0).AE DF ( 12，32，1) DB 3设平面 BDF 的法向量为 n(x，y ，z)，由Error!得Error!取 z1，则 x2，y 0，得 n(2 ，0，1).设直线 AE 与平面 BDF 所成的角为 ，则 sin |cos ，n| ，AE |AE n|AE | n| 1010所以 AE 与平面 BDF 所成的角的正弦值为 .1010(3)解 线段 FC 上不存在点 H，使平面 BDF平面 HAD.理由如下：假设线
7、段 FC 上存在点 H，设 H (0t1)，( 12，32，t)则 ，DH ( 12，32，t)设平面 HAD 的法向量 为 m(a，b， c)，由Error!得Error!取 c1，则 a 0，b t，得 m .23 (0， 23 t，1)要使平面 BDF平面 HAD，只需 mn0，即 20 t0110，此方程无解 .23所以线段 FC 上不存在点 H，使平面 BDF平面 HAD.4.已知函数 f(x)aln x b( a， bR) ，曲线 f(x)在 x1 处的切线方程为 xy10.(1)求 a，b 的值；(2)证明：f(x) 1；1x(3)已 知 满 足 xln x 1 的 常 数 为
8、k.令 函 数 g(x) mex f(x)(其 中 e 是 自 然 对 数 的 底 数 ，e 2.718 28)，若 xx 0 是 g(x)的极值点，且 g(x)0 恒成立，求实数 m 的取值范围.(1)解 f(x) 的导 函数 f( x) ，ax由曲线 f(x)在 x1 处的切线方程为 xy 10，知 f(1)1， f(1)0，所以 a1，b0.(2)证明 令 u(x)f( x) 1ln x 1，1x 1x则 u(x) ，1x 1x2 x 1x2当 0x1 时，u( x)0，u(x)单调递减；当 x1 时，u(x)0，u(x)单调递增，所以当 x1 时， u(x)取得极小值 ，也即最小 值，
9、该最小值为 u(1)0，所以 u(x)0，即不等式 f(x) 1 成立.1x(3)解 函数 g(x)me xln x (x0)，则 g(x) me x ，1x当 m0 时，g(x)0，函数 g(x)在(0，)上单调递增，g( x)无极值，不符合题意；当 m0 时，由 g(x)me x 0，得 ex ，1x 1mx结合 ye x，y 在(0， ) 上的图象可知，关于 x 的方程 mex 0 一定有解，其解 为1mx 1xx0(x00)，且当 0x x 0时，g(x)0，g(x)在(0 ，x0)内单调递增；当 xx 0时，g(x)0，g(x )在(x 0， ) 内单调递减.则 xx 0 是函数 g
10、(x)的唯一极值点，也是它的唯一最大 值点，xx 0 也是 g(x )0 在(0，)上的唯一零点，即 m ，则 m .0e1x0 1x0所以 g(x)maxg(x 0)m ln x0 ln x0.0e1x0由于 g(x)0 恒成立，则 g(x)max0，即 ln x 00， (*)1x0考查函数 h(x)ln x ，则 h( x) 0，1x 1x 1x2所以 h(x)为(0，)上的增函数，且 h 1e0， h(e)1 0，(1e) 1e又常数 k 满足 kln k1，即 ln k0，1k所以 k 是方程 ln x 00 的唯一根，1x0于是不等式(*)的解为 x0k，又函数 t(x) (x0)为增函数，故 m ，1exx 1x0 1ekk所以 m 的取值范围是 .( ， 1ekk
