1、6.与新定义、推理证明有关的压轴小题1.有三支股票 A，B，C ， 28 位股民的持有情况如下：每位股民至少持有其中一支股票，在不持有 A 股票的人中，持有 B 股票的人数是持有 C 股票的人数的 2 倍，在持有 A 股票的人中，只持有 A 股票的人数比除了持有 A 股票外同时还持有其它股票的人数多 1.在只持有一支股票的人中，有一半持有 A 股票，则只持有 B 股票的股民人数是( )A.7 B.6 C.5 D.4答案 A解析 设只持有 A 股票的人数为 X(如图所示) ，则持有 A 股票还持有其它股票的人数为 X1(图中 def 的部分) ，因 为只持有一支股票的人中，有一半没持有 B 或
2、C 股票，则只持有了 B 或 C 股票的人数和为 X(图中 bc 部分). 假设只同时持有了 B 和 C 股票的人数 为 a，那么 XX1 Xa28，即 3Xa29，则 X 的取值可能是：9，8，7，6，5，4，3，2， 1.与之对应的 a 值为：2，5， 8，11，14，17，20，23，26.因为没持有 A 股票的股民中，持有 B 股票的人数为持有 C 股票人数的 2 倍，得 ba2( ca)，即 Xa3c，故 X8，a5 时满足题意，故 c1， b7，故只持有 B 股票的股民人数是 7，故选 A.2.已知集合 A( x，y )|x2y 21，x，yZ ，B(x，y)| x|2，|y|2，
3、x，yZ，定义集合 AB(x 1x 2，y 1y 2)|(x1，y 1)A，(x 2，y 2)B，则 AB 中元素的个数为( )A.77 B.49 C.45 D.30答案 C解析 因为集合 A( x，y)|x2y 21， x，yZ所以集合 A 中有 5 个元素( 即 5 个点)，集合B(x，y)|x|2，|y |2，x ，y Z中有 25 个元素(即 25 个点)，集合 AB( x1x 2，y1y 2)|(x1，y1)A，( x2，y2)B 的元素可看作正方形 A1B1C1D1 中的横纵坐标都为整数的点(除去四个顶点)，即 77445(个).3.某学校要招开学生代表大会，规定各班每 10 人推
4、选一名代表，当各班人数除以 10 的余数大于 6 时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数 y 与该班人数 x 之间的函数关系用取整函数 yx(其中x 表示不大于 x 的最大整数) 可以表示为( )A.y B.y C.y D.yx 510 x 410 x 310 x10答案 C解析 根据题意，当 x16 时，y1，所以 选项 A，B 不正确，当 x17 时，y2，所以 D 不正确，故选 C.4.下列推理中属于归纳推理且结论正确的是( )A.设数列a n的前 n 项和为 Sn，由 an2n1，求出 S11 2，S 22 2，S 33 2，推断：Snn 2B.由 f(x)xcos x 满足 f(
5、x)f (x)对x R 都成立，推断：f(x) xcos x 为奇函数C.由圆 x2y 2r 2 的面积 S r2，推断：椭圆 1(ab0)的面积 Sabx2a2 y2b2D.由(11) 22 1，(2 1) 22 2，(31) 22 3，推断：对一切 nN *，( n1) 22 n答案 A解析 选项 A 由一些特殊事例得出一般性 结论，且注意到数列a n是等差数列，其前 n 项和Sn n 2，选项 D 中的推理属于归纳推理，但结论不正确.n1 2n 125.给出以下数对序列：(1，1)(1，2)(2 ，1)(1，3)(2 ，2)(3，1)(1，4)(2 ，3)(3，2)(4，1)若第 i 行
6、的第 j 个数对为 aij，如 a43(3，2) ，则 anm 等于( )A.(m，n m 1) B.(m1，nm ) C.(m1，nm 1) D.(m，nm )答案 A解析 由前 4 行的特点，归纳 可得：若 anm(a，b)，则am，bnm1，a nm(m ，nm 1).6.若函数 f(x)，g(x)满足 f(x)g(x)dx0，则称 f(x)，g( x)为区间1，1上的一组正交函数.1 1给出三组函数：f(x)sin x，g(x )cos x；f(x)x1，g(x)x1；f(x)x，g( x)x 2.其中为区间12 121，1上的正交函数的组数是( )A.0 B.1 C.2 D.3答案
7、C解析 对， dx sin xdx cosx| 0，则 f(x)，g(x)为区间1，11 1(sin 12xcos 12x) 1 112 12 1 1上的正交函数；对， (x1)( x1)dx (x21)dx | 0，则 f(x)，g( x)不是区间1，1 上1 1 1 1 (13x3 x) 1 1的正交函数；对， x3dx | 0，则 f(x)，g(x)为区间1，1上的正交函数.1 114x4 1 17.已知点 A(0， 1)，点 B 在曲线 C1：ye x1 上，若线段 AB 与曲线 C2：y 相交且交点恰1x为线段 AB 的中点，则称点 B 为曲线 C1 与曲线 C2 的一个“相关点”
8、，记曲线 C1 与曲线 C2的“相关点”的个数为 n，则( )A.n0 B.n1 C.n2 D.n2答案 B解析 设 B(t，et1)，则 AB 的中点 为 P ，所以有 ，et ，所以“相关点”的个数就(t2，et2) et2 2t 4t是方程 ex 解的个数，由于 ye x 的图象在 x 轴上方，且是 R 上的增函数，y 在(0，)4x 4x上是减函数，所以它们的图象只有一个交点，即 n1，故选 B.8.老王和小王父子俩玩一种类似于古代印度的“梵塔游戏”：有 3 个柱子甲、乙、丙，在甲柱上现有 4 个盘子，最上面的两个盘子大小相同，从第二个盘子往下大小不等，大的在下，小的在上(如图)，把这
9、 4 个盘子从甲柱全部移到乙柱游戏即结束，在移动过程中每次只能移动一个盘子，甲、乙、丙柱都可以利用，且 3 个柱子上的盘子始终保持小的盘子不能放在大的盘子之下，设游戏结束需要移动的最少次数为 n，则 n 等于( )A.7 B.8 C.11 D.15答案 C解析 由题意得，根据甲乙丙三 图可知最上面的两个是一 样大小的，所以比三个 盘子不同时操作的次数(2 31)要多，比四个 盘子不同时操作的次数(2 41)要少，相当于与操作三个不同盘子的时候相比，最上面的那个 动了几次，就会增加几次，故游 戏结束需要移动的最少次数为 11.9.定义域为a，b的函数 yf(x) 图象的两个端点为 A，B ， M
10、(x，y)是 f(x)图象上任意一点，其中 xa(1)b，0，1 .已知向量 (1) ，若不等式| |k 恒成立，则ON OA OB MN 称函数 f(x)在a，b上“k 阶线性近似”.若函数 yx 在 1，2上“k 阶线性近似” ，则实数1xk 的取值范围为( )A.0， ) B. C. D.112， ) 32 2， ) 32 2， )答案 D解析 由题意可知，A(1，0) ，B ，(2，32)M ，N ，(2 ，2 12 ) (2 ，321 )| | ，MN |32 32 2 12 | |2 2 12 32| 2 ，当且仅当 ，2 时，等号成立，2 2 12 2 2 12 2 2 2 12
11、 2又0， 1，2 1 ，2， ， max ，2 2 12 32 |2 2 12 32| 32 2即实数 k 的取值范围是 .32 2， )10.(2017 届四川遂宁、广安、眉山、内江四市 联考) 已知函数 yf (x)与 yF( x)的图象关于 y 轴对称，当函数 yf( x)和 yF( x)在区间a，b 同时递增或同时递减时，把区间a，b 叫做函数yf(x) 的 “不动区间” ，若区间1，2 为函数 y 的“ 不动区间” ，则实数 t 的取值范围|2x t|是( )A.(0，2 B. C. D. 4 ，)12， ) 12，2 12，2答案 C解析 易知 y|2 xt|与 y 在1 ，2上
12、单调性相同，当两个函数递增时，y|2 xt |与|(12)x t|y 的图象如图 1 所示，易知Error!解得 t2；|(12)x t| 12当两个函数递减时，y |2 xt| 的图象如图 2 所示，此 时 y |2xt|关于 y 轴对称的函数 y不可能在 1，2上为减函数.|(12)x t|综上所述， t2，故选 C.1211.将全体正整数排成一个三角形数阵：12 34 5 67 8 9 10根据以上排列规律，数阵中第 n(n3) 行从左至右的第 3 个数是_.答案 n2 n 62解析 前 n1 行共有正整数 12(n1) 个，即 个，因此第 n 行从左至nn 12 n2 n2右的第 3
13、个数是全体正整数中第 3 个，即 为 .n2 n2 n2 n 6212.设数列a n的前 n 项和为 Sn，若 为常数，则称数列 an为“精致数列”. 已知等差数SnS2n列b n的首项为 1，公差不为 0，若数列b n为“精致数列” ，则数列b n的通项公式为_.答案 b n2n1(nN *)解析 设等差数列b n的公差为 d，由 为常数，设 k 且 b11，得 n n(n1)dkSnS2n SnS2n 12，即 2(n1)d4k2k(2n1) d，2n 122n2n 1d整理得(4k1)dn(2k 1)(2d)0，因为对任意正整数 n 上式恒成立，则Error!解得 d2，k ，14所以数
14、列b n的通项公式为 bn2n1(nN *).13.已知 cos ，3 12cos cos ，5 25 14cos cos cos ，7 27 37 18，(1)根据以上等式，可猜想出的一般结论是_；(2)若数列a n中，a 1cos ，a 2cos cos ，a 3cos cos cos ，3 5 25 7 27 37前 n 项和 Sn ，则 n_.1 0231 024答案 (1)cos cos cos (nN *) (2)102n 1 22n 1 n2n 1 12n解析 (1)从题中所给的几个等式可知，第 n 个等式的左边应有 n 个余弦相乘，且分母均为2n 1，分 子 分 别 为 ，2，
15、n，右 边 应 为 ，故 可 以 猜 想 出 结 论 为 cos cos cos12n 2n 1 22n 1 (nN *).n2n 1 12n(2)由(1)可知 an ，12n故 Sn 1 ，121 (12)n1 12 12n 2n 12n 1 0231 024解得 n10.14.(2016四川)在平面直角坐标系中，当 P(x，y )不是原点时，定义 P 的“伴随点”为 P；当 P 是原点时，定义 P 的“伴随点”为它自身，平面曲线 C 上所有点的(yx2 y2， xx2 y2)“伴随点”所构成的曲线 C 定义为曲线 C 的“伴随曲线 ”.现有下列命题：若点 A 的“伴随点”是点 A，则点 A
16、的“伴随点”是点 A；单位圆的“伴随曲线”是它自身；若曲线 C 关于 x 轴对称，则其“伴随曲线”C关于 y 轴对称；一条直线的“伴随曲线”是一条直线.其中的真命题是_.(写出所有真命题的序号 )答案 解析 对于，若令 A(1，1)，则其伴随点为 A ，而 A 的伴随点为( 1， 1)，(12， 12) (12， 12)而 不 是 P.故 错 误 ；对 于 ，令 单 位 圆 上 点 的 坐 标 为 P(cos x，sin x)，其 伴 随 点 为 P (sin x， cos x)仍在 单 位 圆 上 ，故 正 确 ；对 于 ，设 曲 线 f(x，y) 0 关 于 x 轴 对 称 ，则 f(x， y) 0 与 曲 线 f(x，y) 0 表 示 同 一 曲 线 ，其 伴 随 曲 线 分 别 为 f 0 与 f 0 也表示(yx2 y2， xx2 y2) ( yx2 y2， xx2 y2)同一曲线，又因为其伴随曲线 分别为 f 0 与 f 0 的图象关(yx2 y2， xx2 y2) ( yx2 y2， xx2 y2)于 y 轴对称，所以 正确；对于，反例 为直线 y1，取三个点 A(0，1)，B(1，1)，C(2，1)，这三个点的伴随点分别是 A(1，0)，B ，C ，而这三点不在同一条直线上.故(12， 12) (15， 25)错误.所以正确的序号为.
