1、中档题型专训(三)一次函数和反比例函数结合纵观近5年遵义市中考试题，一次函数与反比例函数的 综合是中考命题的重点内容侧重考查用待定系数法确定反比例函数和一次函数解析式及解决相关问题,中考重难点突破)利用待定系数法求一次函数及反比例函数的解析式【例1】(2017泰安中考)如图，在平面直角坐标系中， RtAOB的斜边OA在x轴的正半轴上，OBA90，且 tan AOB ，OB2 ，反比例函数y 的图象经过点B.12 5 kx(1)求反比例函数的解析式；(2)若AMB与AOB关于直线AB对称，一次函数ymxn的图象过点M，A，求一次函数的解析式【解析】(1)过点B作BDOA于点D，设BDa，通过解
2、RtOBD得到OD2BD.然后利用勾股定理列出关于a的方程并解答即可；(2)欲求直线AM的解析式，只需推知点A，M的坐标即可通过解 RtAOB求得OA5，则A(5，0)根据对称的性质得到：OM2OB，结合B(4，2)求得M(8，4)然后由 待定系数法求一次函数解析式即可【答案】解：(1)过点B作BDOA于点D，设BDa， tanAOB ，BDOD 12OD2BD.ODB90，OB2 ，5a 2(2a) 2(2 )2，5解得a2(2舍去)，a2.OD4，B(4，2)，k428，反比例函数解析式为y ；8x(2) tanAOB ，OB2 ，12 5AB OB ，12 5OA 5，OB2 AB2 （
3、 25） 2 （ 5） 2A(5，0)又AMB与AOB关于直线AB对称，B (4，2)，OM2OB，M(8，4)把点M，A的坐标分别代入ymxn，得解得5m n 0，8m n 4， ) m 43，n 203， )一次函数解析式为：y x .43 2031(2017绵阳中考)如图，设反比例函数的解析式为y (k0)3kx(1)若该反比例函数与正比例函数y2x的图象有一个交点的纵坐标为2，求k的值；(2)若该反比例函数与过点M(2，0)的直线l：yk xb的图象交于A，B两点，如图所示，当ABO的面积为时，求直线l 的解析式163解：(1)由题意A(1，2)，把A(1，2)代入y ，得到3k2，k
4、 ；3kx 23(2)把M(2，0)代入ykxb，可得b2k，ykx2k，由 消去y得到x 22x30，y 3kx，y kx 2k)解得x3或1，B(3，k)，A(1，3k)，ABO的面积为 ，163 23k 2k ，12 12 163解得k ，43直线l的解析式为y x . 43 83与面积有关的问题【例2】(2017遵义十一中二模)如图，在平面直角坐标系中，直线ymx与双曲线y 相交于A(1，a)，B两nx点，BCx轴，垂足为C，AOC的面积是1.(1)求m，n的值；(2)求直线AC的解析式【解析】(1)因为A(1，a)，所以B的横坐标为1，即C(1，0)再由S AOC 1，得A(1，2)
5、，再代入ymx与y 即可；(2)将A，C坐标代入即可nx【答案】解：(1)直线ymx与双曲线y 相交于A(1，a)，B 两点，B点横坐标为1，即C(1，0)，nxS AOC |yA|OC1，12A(1，2)，将A(1，2)代入ymx，y ，nx得m2，n2；(2)设直线AC的解析式为ykxb，由题意得 解得 k b 2，k b 0， ) k 1，b 1. )直线AC的解析式为yx1.2(2017恩施中考)如图，AOB90，反比例函数y (x0)的图象过点A(1，a)，反比例函数y (k2x kx0，x0) 的图象过点B，且ABx轴(1)求a和k的值；(2)过点B作MNOA，交x轴于点M，交y轴
6、于点N，交双曲线y 于另一点，求OBC的面积kx解：(1)反比例函数y (x0)的图象过点A(1，a)，a 2，A(1，2)，2x 2 1过A作AEx轴于E，BFx轴于F，AE2，OE1，ABx轴，BF2，AOB90，EAOAOEAOEBOF90，EAOBOF，AEOOFB， ，OF4，AEOF OEBFB(4，2)，k428；(2)直线OA过A(1，2)，直线AO的解析式 为y2x，MNOA，设直线MN的解析式为y2xb，224b，b10，直线MN的解析式为y2x10，直线MN交x轴于点M，交y轴于点N，M(5，0)，N(0，10)， 解得 或 C(1，8)，y 2x 10，y 8x， )
7、x 1，y 8) x 4，y 2， )S OBC S OMN S OCN S OBM 510 101 5212 12 1215.与最小(大)值有关的问题【例3】一次函数ymx5的图象与反比例函数y (k0)在第一象限的图象交于A(1，n)和B(4，1)两点，过kx点A作y轴的垂线，垂足为M.(1)求一次函数和反比例函数的解析式；(2)求OAM的面积S；(3)在y轴上求一点P，使PAPB最小【解析】(1)根据待定系数法分别求出反比例函数与一次函数解析式即可；(2)根据反比例函数的性质，xyk直接求出面积即可；(3)作点A关于y轴的对称点N，连接BN交y轴于点P，则点P即为所求【答案】解：(1)将
8、B(4，1)代入y ，得1 .kx k4k4，y ，4x将B(4，1)代入ymx5，得14m5，m1，yx5；(2)在y 中，令x1，解得y4，4xA(1，4)，S 142；12(3)作点A关于y轴的对称点N，则N(1，4)，连接BN交y轴于点P，点P即为所求设直线BN的关系式为ykxb，由 解得4k b 1， k b 4， ) k 35，b 175， )y x ，P .35 175 (0， 175)3(2017株洲中考)如图所示， RtPAB的直角顶点P(3，4)在函数y (x0)的图象上，顶点A，B在函数ykx tx(x0，0tk)的图象上，PAy轴，连接OP，OA，记OPA的面积为S O
9、PA ，PAB的面积为S PAB ，设wS OPA SPA B.(1)求k的值以及w关于t的解析式；(2)若用w max和w min分别表示函数w的最大值和最小值，令Tw maxa 2a，其中a为实数，求T min.解：(1)点P(3，4)，在y 中，当x3时，y ，即点A ，tx t3 (3， t3)当y4时，x ，即点B ，t4 (t4， 4)则S PAB PAPB ，12 12(4 t3)(3 t4)延长PA交x轴于点C，则PCx轴，又S OPA S OPC S OAC 34 t12 126 t，12w6 t12 12(4 t3)(3 t4) t2 t；124 12(2)w t2 t12
10、4 12 (t6) 2 ，124 32w max ，32则Tw maxa 2aa 2a ，32 (a 12)2 54当a 时，T min . 12 54与平移有关的问题【例4】(2017遵义二中三模)如图，直线y x与双曲线y (k0，x0)交于点A，将直线y x向上平移4个单12 kx 12位长度后与y轴交于点C，与双曲线y (k0，x0)交于点B，若OA3BC，求k的值kx【解析】分别过点A，B作ADx轴，BEx轴，CFBE于点F，设A ，可得B .(3x，32x) (x， 12x 4)【答案】解：将直线y x向上平移4个单位长度后，与y轴交于点C，12平移后直线的解析式为y x4，12分
11、别过点A，B作ADx轴，BEx轴，CFBE于点F，设A ，(3x，32x)OA3BC，BCOA，CFx轴，BCFAOD，CF OD，13又点B在直线y x4上，B ，12 (x， 12x 4)点A，B在双曲线y (x0)上，kx3x xx ，解得x 11，x 20(舍去)，32 (12x 4)k31 1 .32 924(2017贵阳中考)如图，直线y2x6与反比例函数y (k0)的图象交于点A(1，m)，与x轴交于点B，平kx行于x轴的直线yn(0n6)交反比例函数的图象于点M，交AB于点N，连接BM.(1)求m的值和反比例函数的解析式；(2)直线yn沿y 轴方向平移，当n为何值时，BMN的面积最大？解：(1)直线y2x6经过点A(1，m)，m2168，A(1，8)，反比例函数经过点A(1，8)，8 ，k8，k1反比例函数的解析式为y ；8x(2)由题意，设点M，N的坐标为M ，N ，(8n， n) (n 62 ， n)0n6， 0，n 62S BMN n12 (|n 62| |8n|) n12 ( n 62 8n) (n3) 2 ，114 254n3时，BMN的面积最大.
