1、第二篇平面几何第 8 章线段与角81 线段与角度811在线段 上有 、 两点， ， ， ，求 的长ABPQ26AB14PQB解析有两种情况：点 相邻于点 ，或点 相邻于点 (1)当点 相邻于点 时，如图(a)所示，此时 P 2614A A BPQ AQPB 图(a) 图(b)(2)当点 与点 相邻时，如图(b)所示，此时 PB 261423812如图，已知 ， ， 的长是 66 厘米，求 之长57ACB51DCABCD解析由于 ， 、 又与 有关，所以，只要求出 的长即可D B ADCB因为 ，所以ABC51277B因为 （厘米） ，所以， （厘米） ，672C（厘米） ， （厘米） ，因此5
2、72AC531AD（厘米） 530D813如图， 、 、 依次是线段 上的三点，已知 厘米， 厘米，则图中以BCAE8.9AE3BD、A、 、 、 这 5 个点为端点的所有线段长度之和等于多少厘米？BCE ABCDE解析以 、 、 、 、 为端点的线段共十条，所以所有线段长度之和为AD46BCEBE（厘米）6464()248.92341.6DCABAEB814将长为 10 厘米的一条线段用任意方式分成 5 小段，以这 5 小段为边可以围成一个五边形问其中最长的一段的取值范围解析设 是所围成的五边形 的某一边（如图） ，而线段 、 、 、 则可看成是点ABABCDEBCDEA、 之间的一条折线，
3、因此，ABCDEABCDEA设最长的一段 的长度为 厘米，则其余 4 段的和为 厘米由线段基本性质知 ，所x10x10x以 ，又5x，105所以 即最长的一段 的长度必须小于 5 厘米且不小于 2 厘米2 AB815若一个角的余角与这个角的补角之比是 ，求这个角的邻补角27解析设这个角为 ，则这个角的余角为 ，这个角的补角为 依照题意，这两个角的比90180为 90827 所以 ， ，所以 36230554从而，这个角的邻补角为 1426816如图， 是钝角， 、 、 是三条射线，若 ， 平分 ，AOBCODEOCADAOB平分 求 的度数OECDE ABCDEO解析设 ，则AOB， 2D90
4、2C因为 ，所以 因此，45OE902OE817 中， 是最小角， 是最大角，且 ，若 的最大值是 ，最ABC B25BABm小值是 ，求 的值nm解析根据题意，得 因为 ， ，所以18025A，25BC即 7，71805CB由此得 ， 2 75又因为 ，所以5AC，271805BB即 ，所以 9180 所以 ，故7 57mn818在平面上，一个凸 边形的内角和小于 ，求 的最大值，n19n解析因为凸 边形的内角和为 ，所以 ， ，所以， 280280192114n又凸 13 边形的内角和为，1328019故 的最大值是 13n819如图所示，求 ABCDEFG ABCDEFGMN解析如图所示
5、，可得 ，360BNEG，360FNMAC而 ，18RD所以 54F8110如图所示， ，则 _90DFn ABCDEFR Gxy Q解析设 与 相交于点 ， 与 相交于点 ，记 ， ，则AFDGQCEGARxCy，180x，36BCyEFxy把此三式相加得，540ABCDEFG所以 6n8111如图所示平面上六个点 、 、 、 、 、 构成一个封闭折线图形求ABCDEF的度数 ABCDEFPQR解析所求的六个角中任意三个都不在同一个三角形中；两个在同一个三角形中，而该三角形的第三个角的对顶角（共三个）在一个三角形中，于是，我们反复利用内角和定理可得，180ABP，EFR，CDQ而 ，所以，1
6、80APBC故 36EF8112如图，在 中， 为 的中点， 为 上任一点 、 分别为 、 的AB MABDABNPCDB中点， 为 的中点，直线 与 相交于 ，则 QMNPQE AB CDMNQPE解析连结 ，则 于是PN2BDE ，11AEMA所以 ，8.1.13如图，求图中 的大小BCDE解析 1 如图(a)，连结 在 中， ，在 中，EO 180OCBE，又 ，所以 因此180OBEDOFACDA180BABED CAOEB D CAPOB E12图(a) 图(b)解析 2 如图(b)，在 中，由三角形外角的性质，得DC，1AE所以 BEA1280评注由解析 2 可以看出，三角形外角的
7、性质虽很简单，却很有用，它能把许多分散的角集中到一个三角形（或多边形）中来8114如图， 平分 ， 平分 ， 与 相交于 ，若 ，BEADCFADBECFG140BDC，求 的度数0BGC AB CDEFG12345 6解析连结 在 中 ，BCD 280所以 128014在 中， ，所以G 321GC34 4B又因为 、 分别为 、 的平分线，所以BECFA5640在 中A，13526180即 ()所以 608115在 中， ， 、 、 分别在 、 、 上，ABC ADEFABC且 求证：DEFADFBEC12DEBAFCE解析如图，易知 因为 60，C又 60ADFEBADEB，于是 F此即
8、 1()2+8116如图， 平分 ， 平分 ，若 ， ，求 的度数DCABEABDEBDCE（用 、 表示） ACDB E解析如图，由 与 的内角和是 可得ACD E 360，13602B由 与 的内角和是 可得 ，所以 12DCEABE8.1.17如图，求 的大小，此处CDFGIJLBEHK即 ，余类推，BACACB DEKHFI GLJ解析连结 、 、 、 由四边形内角和是 可知，BKEHK360360ALA，CDB，FGF，JIJ，360HKBEK因此 ACIJL3604( )LABCEDBGHEFIKJH而 ( )KB IJBEHK ，所以()3604EHK 3604360LABEEF
9、I，从而 3604 360CDFGIJLBEHK ，360()BEHK所以 AIJ()360L8118若时钟由 2 点 30 分走到 2 点 50 分，问：时针和分针各转过多大的角度？解析在 2 点 30 分，分针指向教字 6，在 2 点 50 分，分针指向数字 10，因此，分针转过了 4“格” ，而每 1“格”为 ，所以，分针共转过了 304310由于时针转动的速度是分针转动速度的 ，所以，时针转动了 120评注在钟表问题中，有许多有关时针、分针的转角问题，解这类问题的关键是：时针的转动的速度是分针转动速度的 ，钟面上每 1“格”是 12308.1.19 时钟里，时针从 5 点整的位置起，顺
10、时针方向转多少度时，分针与时针第一次重合？解析在开始时，分针“落后”于时针 设分针与时针第一次重合时，时针转动了角 ，那么，分5 针转动了 因为分针转速是时针的 12 倍，所以(10)12110987654321150，1502731即时针顺时针方向转动 时，分针与时针重合731评注钟表里的分针与时针的转动问题本质上与行程问题中的两人追赶问题非常相似行程问题中的距离相当于这里的角度；行程问题中的速度相当于这里时（分）针的转动速度8120在 4 点与 5 点之间，时针与分针在何时(1)成 ；20(2)成 9解析(1)如图(a)，在 4 点整时，时针与分针恰成 由于所问的时间是介于 4 点到 5
11、点之间，因此，120这个时间不能计入，从 4 点开始，分针与时针之间的角度先逐步减少，直至两针重合（夹角为 ）0之后，分针“超过”时针，两针之间的夹角又逐渐增大（此时，分针在时针的前面） 直到两针夹角又一次成为 ，这个时间正是我们所要求的120 12012345678910112图(a)设时针顺时针转过角 后，时针与分针（分针在时针前）成 ，则12012012所以 49由于时针每转过 （如从指向数字 4 转到指向数字 5）相当于 1 小时（60 分钟） 所以时针每转过3 1相当于经过 2 分钟， 相当于经过了1（分钟） 9714因此，在 4 点 分时，时针与分针成 角31120(2)如图(b)
12、、(c)所示，由于在整 4 点时，时针与分针夹角为 ，因此，在 4 点与 5 点之间，时针120与分针成 有两种情况：90图(c)图(b)12 121234567891011 12 1234567891011 12(i)时针在分针之前( 如图(b) 设时针转了 角，分针转了 角，有12，120912所以 ，3即用时（分钟）3065211(ii)时针在分针之后( 如图(c)，此时，有关系，90，所以 21用时（分钟）043811综上所述，在 4 点到 5 点之间，在 4 点 分与 4 点 分两个时间时，时针与分针成 51238190评注由于时针与分针所成角依时针与分针的“前” “后”次序有两种情
13、况，因此，按两针夹角情况会出现一解或两解8121如图所示，在 中， ， ，点 、 分别在边 、 上，且ABC A45 PQACB，求 的大小APQB ABCQPRx 2x3x2x解析在线段 上取点 ，使得 （事实上，只要以点 为圆心， 为半径作圆，与 交于PCRQPQPCP点 即可） 设 ，则 ， ， ，于是RAxAx2Rx2Px3BQRAx又 ，所以 ，于是1802xBR，xC而 ，所以 1802xBRC故 为正三角形，所以 ， ，即 Q 360x220A8122如图(a)，在四边形 中， ， ， ，求ABDBCD70170BCD的度数BAD AB C D(a)解析作点 ，如图(b) 其与点
14、 在边 的同侧，使得 是正三角形，则 与 是等MABM ABM CD腰三角形，其中 ， ，10B10MD AB C DM(b)因此， ，85AMB35CD故 ，所以，点 在线段360ABMD360853180M上，所以 D88.2 特殊角821以 的边 为直径作圆，与边 交于 ，与 交于 ( 、 不与 、 重合)， ACMBNAB， 中有一内角是另一个的 2 倍，求 的 3 个内角4ABCMNS ABC A BCMN解析 、 为 的高，在 内部，故 为锐角三角形BMANBC BC AC如图，由于 ，故 ，故 CMBNA 1cos 2CMNABSCNMBA 60剩下的角中，不可能有 或 ，故只可
15、能是一个为 ，另一个为 30124080822 中， ， ，点 为 内一点， ， 780P P求 AP AB CP解析如图， ，又 ，故 为 的外心， 1602BPCACAB PAB又 ，故 ， 为正三角形，所以 3A 60823将一个等腰三角形 划分成两个较小的等腰三角形，问这样的 有几种形状？并C将所有形状都列出来 B ADC解析如图，设等腰三角形 分成 与 不妨设 ，于是，等腰三角形AC A 90AB中，只能有 这时 ，而 有三种情况ABDBDR(1) ，则 ， 为等腰直角三角形C90R(2) 设 ，则 ， ， ，由于 ，18023BC18490ADB若 ，则 ，得 ；若 ，则 得45
16、4630，1807这两种情况都是解(3) ， ， ，显然 由 得 ，ADC21803BACBCAC21803故 36综上，总共有 4 组解，所求等腰三角形的三个内角分别为( ， ， )、( ， ， )、459036、 1805,736,7824设 内有一点 ， ， ，又 ， ，求ABC M30BA1MB8ACBBCAM CA BDM解析如图，作 ，则CDAB2sin40AB又由正弦定理，sin402si3ABM于是 ， CAM而 ，所以 4070825已知 中， ， ， 在 内，且 ，求 的大小B AC20DABCDA解析如图，在 外作正三角形 ，则 ， ， ，故 E8EBC， ，又 ， ，有
17、 ，故FA EC 1102DC ABCDE826已知 中， ， ，求证： 为 外接圆半径ABC 1836ABC解析如图，延长 至 ，使 ，则 ， 取 中点 ，则EE90ED， ，又作 的外心 ，则 为 外接圆半径，DEB0DA O18CO CA ODBE故 ， COBED CBA而 ，故 72ODCBA评注证明四边形 为等腰梯形也可，这样就无须点 了827 已知 中， ， ，延长 至点 ，使 ，求 A 10DABCD解析如图，在 上找一点 ，使 3E易知 ，sin305ECAB CDE40-40 30，2cos40ADBC两式相乘，得 ，2sin3co4015EA于是 ，故 ， ，所以 2CA
18、D 30ACE401BCD828已知等腰 ，底角 ，点 、 分别在 、 上， 、B 5BADB交于点 ， ， ，连结 ，求 P30AE50解析如图，在 上找一点 ，使 或 ，连结 Q130PQAQ AB CDEQP505020330由于 ，故 30DAC817QDAsin72sicos703又 ，故 若设 在 上的垂足为 ，则 因此 ，B2cos0QKQDAQD， 7Q4而 、 、 、 共圆，故 AE40BA829 中， ， ，点 为 内一点， ，C 10CPABC 20PAC求 PB解析如图，在 内作 ，则 ，于是 ， Q Q1046Q为正三角形， ， 为 外心，因此 QA APBAP 32
19、PBAPQCBA8210设点 为 内一点， ， ， ， ，PAC 10A20B30PB40CP求证： 是等腰三角形ABC解析如图，作 ，且 ，连结 、 、 AQBCABQPBC AB CQP易知 ，于是 40BAQAP， 又 ，所以 ， 为正三角形P 150BAP60BBPQ又 ， ，所以 为 之外心，于是 垂直平分 ，62CC CABC所以 ABC8211已知 中， ， 在 上， ， 在 上， ，A D60ED30求 的大小E AB CDEF解析如图，作 关于 的对称点 ，连结 、 、 、 ，则 为正三角形，EBCFEBAEFFC设 ，则 ， 由于 和 关BA906022A1802CDCEF
20、于 对称，故 18FBE在以 为圆心、 为半径的圆中， 恰好是圆心角 的一半 的补角，故 在该圆上，FBA2，又 ，故 ， AFCAC 360150FECE8212 中 是角平分线， 为边 上的高，若 ，求 B D4DABED解析 ，故 ， ， 在 上（而不是延长线上） 45B9AB AB CDEF， ，故 90ECB180ACBA2701802AECBAB于是延长 后， 至 、 距离相等，又 为角平分线，故 至 、 距离相等，因此DEDDC至 、 等距， 平分 ， D45（本题几条辅助线用语言即可说明，不添亦可 ）8213 中， ， ，点 为 内一点， ，AB 10ABPAB 10AP，求
21、0PACP AB CQP解析如图，与 在 同侧作正三角形 ，则 又 ，故ABC A20PAQABC， 而 ， ，故 为 外心，PQ 150PQ60BBP而 ，所以 B8028214如图，凸四边形 中， 、 交于点 ， ， ，BDC6DC50， ，求 0AD3AA AB CDOP 30506020解析作 的外心 ，则 为正三角形， 连结 ，易知 ，故ADC OAD AOBABC，则 ， ，B 1402BC20D于是 而 ，sinsin20 364026180B故 ，于是 ，所以 ADOADO 12AO8215设 中， ， ， 是三角形内一点，BC 80P， ，求 10PB20P AB CPQ解析
22、如图，作 ，则 又 ，CQAPcos70Csin2015APB AB CDEF G故 ，于是 ， 垂直平分 ， ，2sin02cos70APBAC2APQAPCC故 48216 中， ， ，点 、 分别是边 、 上的点， 4B60BCDEAB， ，点 是直线 和 的交点，证明：直线 和 垂直0BD70EFDEF解析如图，在 外作正三角形 ，连结 ，则 GG，6CAC故 、 、 、 共圆， 又易知 ，于是 ，而FG120A70CC，所以 ，于是 ，从而 ，故B 20BABAD 于是易见 ， 由于 ，故 ，这样便BF FC810F有，与 互余，因此 10CAAC8217已知 中， ， ，延长 至点
23、 ，设点 是 的中点，B 108ABAJB求证：当 时有 DJ解析如图，取 中点 ， 中点 ，连结 、 、 、 在 上取一点 ，使KMKMJKCE，则由 得 (设为 1)，于是 ， ，CEACE72E36A AB CDEMKJ易见 ， ， ，设 在 上的垂足为 ，则22cos7KJCDAEAC1272JMKIN，于是 为 中点， 垂直平分 ， ，因此1csNKJNJMNKACJ8218如图(a)，在凸四边形 中， ， ， 设线段ABD7BC150D、 的垂直平分线的交点为 ，求 的度数BCADPCAB CDMNPABMNDCP(a) (b)解析如图(b)，连结 、 、 、 ，另知 ，所以 AB
24、CDABDC ABPDC设 ，则CBP7AD所以 360P，15所以， 于是290BPCM，180478219 中， ， ，点 为 内一点， ，ABC 305BPABC 20PAB，A求 PB A BDCQP解析如图，延长 至 ，使 为正三角形，则 ， 于是CPDBC C602CDAB是 的外心，因此 ， ， 于是DAB 401A，30P， ，故 1A ABPD今作 的平分线 ， 在 上，则 ， ，故 ，ACQ20CO50QBACQB，而 ，于是 ，即 BP20B 30P8220已知点 是 内一点， 延长后交 于点 ，EA BE， ，10DE3， ，求 C40A AFB CEDK解析如图，作 平分线 ，与 交于 ，与 交于 易知 ，ECBFABFEK80AFCA， ， AF E由 ，知 ，又由正弦定理及角平分线性质，有40KK2cos40sin52cos403BE于是 ，因此 ，而 ，故 ，由 ，得0F8AFC60AFEAFE60A8221 中， ， ，点 为 内一点， ，ABC 86BPB 10PC求 PB解析如图，在 外作 ，使 ，则 ，而 D 40D10BD，故 为等腰梯形，且 0C AC今在梯形 内作正三角形 ，则 ， ，得 ， ，DP7A 10A同理， ，因此 与 重合，故 1AB ABDCP
