1、濮阳市 2018 届高三毕业班第一次模拟考试数学(理科)一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 ， ，则 ( )20Ax=-1xxaaA. B. C. D.e1e 2ln2二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.正三角形 的边长为 1， 是其重心，则 .CGABG=14. 的展开式中， 的系数为 .82017x+3x15.已知椭圆 ， 和 是椭圆的左、右焦点，过 的直线交椭圆于 ，()20yab=1F2 1F()1,Axy两点，若 的内切圆半径为 1， ， ，则椭圆离心率为(
2、)2,Bxy2AB 2=123y-.16.先将函数 的图象上的各点向左平移 个单位，再将各点的横坐标变为原来的 倍(sinfx=6p 1w(其中 )，得到函数 的图象，若 在区间 上单调递增，则 的最大值为*Nw()gx()gx,4.三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知数列 是等差数列， ， ， .na21at=-2423at=+(1)求数列 的通项公式；(2)若数列 为递增数列，数列 满足 ，求数列 的前 项和 .nanb2lognba()1nab-nnS18.为创建国家级文明城市，某城市号召出租车司机在高考期间至少参加一次“
3、爱心送考” ，该城市某出租车公司共 200 名司机，他们参加“爱心送考”的次数统计如图所示.(1)求该出租车公司的司机参加“爱心送考”的人均次数；(2)从这 200 名司机中任选两人，设这两人参加送考次数之差的绝对值为随机变量 ，求 的分布X列及数学期望.19.如图，正方形 中， ， 与 交于 点，现将 沿 折起得到三棱锥ABCD2=ACBDOACD， ， 分别是 ， 的中点.D-MNO(1)求证： ；ACMN(2)若三棱锥 的最大体积为 ，当三棱锥 的体积为 ，且二面角 为DB-0VDABC-032VDACB-锐角时，求二面角 的正弦值.-20.已知点 在抛物线 上， 是抛物线上异于 的两点
4、，以 为直径的圆过点()2,12:Cyax=, MB.M(1)证明：直线 过定点；AB(2)过点 作直线 的垂线，求垂足 的轨迹方程.N21.已知函数 .()()21lnfxmxR=-(1)若函数 在 上是减函数，求实数 的取值范围；f0,+m(2)若函数 在 上存在两个极值点 ，且 ，证明： .()fx, 12,x12x22.在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 ( 为参数) ，以平面直角坐标系的原OyC3cosinya=+点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.x(1)求曲线 的极坐标方程；C(2)过原点 的直线 分别与曲线 交于除原点外的 两点，若 ，求 的面积O12,lC,AB3AO
5、Bp= AB的最大值.23.已知函数 .()()fxaaR=-+(1)求不等式 的解集；()0fxf+-(2)若函数 在 上有最大值，求实数 的取值范围 .yf=Ra濮阳市 2018 届高三毕业班第一次模拟考试数学(理科)参考答案一、选择题1-5:CABCB 6-10:DDDAC 11、12：BA二、填空题13. 14.56 15. 16.9223三、解答题17.解：(1)由题意得 ，所以 ，228tt-+=2t=时， ，公差 ，所以 ，2t=1adna时， ，公差 ，所以 .t-62-82-(2)若数列 为递增数列，则 ，nana=所以 ， ，2logb=4n，()1na-所以 ，()()2
6、314523424nnS-+，234 11n +=-所以 ()23244nnS-()2114nn-+=+-，10653n+-所以 .()4209nS=18.解：由图可知，参加送考次数为 1 次，2 次，3 次的司机人数分别为 20，100，80.(1)该出租车公司司机参加送考的人均次数为：.1203802+=(2)从该公司任选两名司机，记“这两人中一人参加 1 次，另一个参加 2 次送考”为事件 ， “这两A人中一人参加 2 次，另一人参加 3 次送考”为事件 ， “这两人中一人参加 1 次，另一人参加 3 次B送考”为事件 ， “这两人参加次数相同”为事件 .CD则 ，()()1120082
7、1 9CPXAPB=+=+=，1208629C.()22018030PXD+=的分布列：0 1 2P831909169的数学期望 .X63201EX=+=19.解：(1)依题意易知 ， ， ， 平面 ，OMACNOMN=ACOMN又 平面 ， .N(2)当体积最大时三棱锥 的高为 ，当体积为 时，高为 ，DB- 032V32D中， ，作 于 ， ， ，OBD =SODSO=6B= 为等边三角形， 与 重合，即 平面 . NAGC以 为原点， 所在直线为 轴，过 且平行于 的直线为 轴， 为 轴，建立如图所示的Ny xNDz空间直角坐标系. ， ， ， .()0,)2,10C-(,3D130,2
8、M-设 为平面 的法向量，11,xyz=nN ， ，()2,0NC-130,2=- ，111203NCxyMz=-+=n取 ，12,3=-n设 是平面 的法向量， ， ，()22,xyzCND()2,10C=-(),03ND= ，取 ，2203NDz=-n()21,0-n ，1215cos, 93当 时，直线 方程为 ，恒过定点 ，不合题意，1k- ()21ykx=-2,1所以直线 恒过定点 .AB()2,5-(2)由(1)，设直线 恒过定点 ，则点 的轨迹是以 为直径的圆且去掉 ，方程AB()2,5R-NMR()2,1为 .()22381xyy+-=21.解：(1)由函数 在 上是减函数，知
9、 恒成立，(fx)0,+()0fx.()2lnlnfxmfxm-=-由 恒成立可知 恒成立，则 ，0l0-maxln设 ，则 ，()lxj=()21xj由 ， 知，0,ej0ej函数 在 上递增，在 上递减， ，()xj,(),+()max1ejj= .1me(2)由(1)知 .()lnfxmx=-由函数 在 上存在两个极值点 ，且 ，知 ，f0,+12,x12x只需证 ，只需证 ，只需证 .()ltt- ()2ln1t-故 在 上递增， ，即 ，()l1tt-0,t()10g22.解：(1)曲线 的普通方程为 ，即 ，C()22314xy-+-=2320xyxy+-=所以，曲线 的极坐标方程为 ，即 .2cosin0rrqr4sinprq(2)不妨设 ， ， .()1,Arq2,3Bp,3p-则 ， ，14sin3pr=+4sinrq=+的面积 .OB 12 2isin4sisin3cos232333SOpprqq=+=+所以，当 时， 的面积取最大值为 .0qAB23.解：(1)设 ，()()14,2,14,2xxffxj +-=-=由函数 在 上有最大值可得 解得 .yfxR20a+- 2,a-
