1、2018 届高三数学（理）寒假模拟（一）一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的 ）1已知集合 4|0log1Ax， 3=|12Bx，则 AB （ ）A. (0,1) B. (0,2 C. 2,4) D. (1,22已知复数 132zi，则 z （ ）A. 132i B. 132i C. 132i D. 132i3设 ， 是非零向量，则“存在负数 ，使得 ”是“ ”的 （ mnmn0）A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件4若点 cos,Pin在直线 2yx上，则 cos2的值等于
2、（ ）A. 5 B. 45 C. 35 D. 355已知等差数列 na满足 3，且 1a， 2， 4成等比数列，则 =a（ ）A. 5 B. 3 C. 5 或 3 D. 4 或 36设随机变量 服从正态分布 ，则函数 不存在零点的概率为 （ 2(,)N2()fx）A B C D12131557函数 = 在2，2上的大致图象是 （ ()fxcosxe）A B C D8.设椭圆 的两个焦点分别为 F1,F2,点 P 在椭圆上,且21(0)xyab 120,FP，则该椭圆的离心率是 （ 123tanPF）A. B. C. D.3312132319刍薨（ ） ，中国古代算术中的一种几何形体， 九章算术
3、chuong中记载“刍薨者，下有褒有广，而上有褒无广.刍，草也.薨，屋盖也.”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱，刍薨字面意思为茅草屋顶” ，如图，为一刍薨的三视图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形，则搭建它（无底面，不考虑厚度）需要的茅草面积至少为 （ ）A.24 B. C.64 D.32532610如图，已知 A， B， C 三点都在半径为 的球面上，球心 O 到平面 ABC 的距离为 1， ABC= ， CAB= ， D 是线段 AB 的中点，过点 D 作球 O 的截面，23则此截面圆面积的最小值是 （ ）A B C 494D411在锐角三角形中 C， 1tan
4、2A， D为边 B上的点， ABD与 C的面积分别为 2和 4.过 作 EB于 ， F于 ，则 EF（ ）A. 134 B. 165 C. 175 D. 15412已知当 0,x时，函数2yxm的图象与 2yxm 的图象有且只有一个交点，则 正实数 m 的取值范围是 （ ）A. (0,13,） B. 0,123, C. 2 D. 二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 ）13若 展开式中的常数项为 261()xx14设 满足约束条件 ，则目标函数 的最大值 为 5，,y02y0,zaxby则 满足的关系为 ； 的最小值为 ,ab2ab15已知为抛物线 C： 2(0)ypx的
5、焦点，过 F作斜率为 1 的直线交抛物线 C于 A、 B两点，设 FAB，则 _16如图，为了测量河对岸 、 两点之间的距离，观察者找到一个点C，从点 可以观察到点 A、 ；找到一个点 D，从点可以观察到点 、 ；找到一个点 E，从点可以观察到点 B、 C；并测量得到一些数据： 2D， 3C， 45， 105A， 48.19B， 7E， 6E，则 、B两点之间的距离为_ （其中 cos.取近似值 23）三、解答题（本大题共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ）17 （本小题满分 12 分）已知 na为等差数列，前 n项和为 *nSN， nb是首项为 2 的等比数列， 且公比大于
6、 0， 231b， 3412ba， 4=.（1）求 na和 b的通项公式； （2）求数列 21nab的前 项和 *nN.18(本小题满分 12 分)如图，三棱台 中， 侧面 与侧面 是 全等的1ABC1AB1CA梯形， 若 ,且 .111,AB24（1）若 ， ，证明： 平面 ；2CD2EDE1（2）若二面角 为 ，求平面 与平面131所成的锐二面角的余弦值. 119 （本小题满分 12 分）汽车 4S店是一种以“四位一体”为核心的特许经营模式，包括整车销售、零 配件销售、售后服务、信息反馈等.某品牌汽车 4S店为了了解 A， B， C三种类型汽车质量问题, 对售出的三种类型汽车各取 100
7、辆进行跟踪服务,发现各车型一年内需要维修的车辆如下表所示 1.（1）某公司一次性从 4S店购买该品牌 A， B， C型汽车各一辆,记 表示这三辆车的一年内需要维修 的车辆数，求 的分布列及数学期望.(各型汽车维修的频率视为其需要维修的概率).（2）该品牌汽车 店为了对厂家新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按使事先拟定的各种价格 进行试销相等时间，得到数据如表 2.预计在今后的销售中,销量与单价仍然服从 0.2,ybxaybx的关系,且该产品的成本是 500 元/件,为使 4S 店获得最大利润(利润=销售收入-成本)，该产品 的单价应定位多少元？表 1车型 A B C 频数 20 20 40
8、表 2单价 x (元) 800 820 840 850 880 900销量 y (件) 90 84 83 80 75 6820 （本小题满分 12 分）已知点（2,3）在椭圆21(0)xyab上，设 A， B， C分别为椭 圆的左顶点、上顶点、下顶点、且点 C到直线 AB的距离为 47.（1）求椭圆 C的方程； （ 2）设 1,Mxy， 2,Nxy 12x为椭圆上的两点，且满足 211axbyOMN，求证： O的面积为定值，并求出这个定值 .21 （本小题满分 12 分）已知函数 (aR)()2lnfxx（1）若 a0，求函数 的极值点；21()()gxfx（2）若 0 对任意的 x(1，+)
9、恒成立，求实数 a 的取值范围3()fx22 （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点 O为极点， x轴的正半轴为极轴建立坐标系，已知点 M的直角坐标为 1,0，若直线 l的极坐标方程为 2cos104.曲线 C的参数方程是24xty（ 为参数）.（1）求直线 和曲线 C的普通方程；（2）设直线 l和曲线 交于 ,AB两点，求 MB.23 （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲已知函数 21fxx.（1）解不等式 3；（2）记函数 gxfx的值域为 M，若 t，证明： 231tt.模拟（一） 1.D 2.D 3.A 4.B 5.C 6.A 7.A 8.
10、D 9.B 10.B 11.B 12.A 13.60 14. 15. 16.345ab231017 【解析】 （1）设等差数列 n的公差为 d，等比数列 n的公比为 q.由已知 231b，得2bq，而 12b，所有 260q.又因为 ，解得 .所以， n.由 34a，可得 38da. 由 14Sb，可得 1+56ad.联立，解得 1， ，由此可见 32n.所以，数列 n的通项公式为 32na，数列 nb的通项公式为 2nb.18 【解析】 （1）证明：连接 ，梯形 ，1,ACB1CA,易知： ，又2AC,2D，则 ， 平面 ，EB11B平面 ，可得： 平面 ；D1EC（2）侧面 是梯形， ，
11、, ,则 为二面角1AC11A1A1ABC的平面角， 均为正三角形，在平面 内，B3BA过点 作 的垂线，如图建立空间直角坐标系，不妨设 ，则1112,故点 ，41(0,)(,40)C9 分；设平面 的法向量为 ，则有：1(23,0)()B1A1(,)mxyz113(,3)0mAxyz 设平面 的法向量为 ，则有：C2(,)n，故平12203(1,32)0Bxynz 1cos,4nm面 与平面 所成的锐二面角的余弦值为 .A1C419 【解析】(1)根据表格, A型车维修的概率为 5, B型车维修的概率为 15, C型车维修的概率为 25.由题意, 的可能值为 0,1,2,3,所以 43805
12、125p ； 143256+51p1492+2； p所以 的分布列为 0 1 2 3p481256951所以 4869403125E .(2) 设获得的利润为 w元,根据计算可得, 80x , y，代入回归方程得 0.25yx ,所以 2.0.51x ，此函数图象为开口向下,以350872.x为对称轴的抛物线，所以当 7x时, Wx取的最大值，即为使 4S店获得 最大利润,该产品的单价应定为 875 元.20 【解析】 （1）由题意，得直线 AB的方程为 1yab，点 0,Cb，点 C到直线 的距离 2d 47，整理，得 32a.又点 2,3在椭圆上， 2491ab.联立解得 ， 3， 椭圆
13、E的方程为216xy.（2）设直线 MN的方程为 ykxm，代入椭圆方程，并整理得 2348kxm 480m. 226134kk148 2160k， 1，122834kmx， 21243xk，121y21212xmx 2348mk.又 12OMNxy，则由题意，得 12y 211aby12126xy.整理，得 122340，则 243k23480k，整理，得 228mk（满足 0）. 2Nk12x2 211xx2248613mk222183k.又点 O到直线 MN的距离 21mdk.12MONSdA21832km2431，为定值.21 【解析】 （1）函数 的定义域为(0，+)，()lngxa
14、x2()gxa令 =0，则 ，= ，20x22()418aa当 A 0，即 00，即 a2 时，方程 有两根， = ， =，2xa1x28a2x28a显然 00，函数 单调递增；1()gx()gx当 x( ， )时， 0，函数 单调递增()x()x所以函数 的极大值点为 = ，极小值点为 = ()g128a2x28a综上，当 02 时，函数 的极大值点为 = ，128a极小值点为 = 2x28a（2） 0，即 +2lnx，3()f 3所以 a + 对任意的 x(1，+)恒成立，2xln记 = + ，则 =2x+ ()p2l()p322lnlnx设 = ，则当 x1 时， 1 时， 1 时， =
15、 + =1，所以 aA1()2l所以实数 a 的取值范围是1，+)22 【解析】 （1）因为 cos04，所以 cosin0，由cos,inxy，得 1xy，因为24xty，消去 t得 24yx，所以直线 l和曲线 C的普通方程分别为 10xy和 24x（2）点 M的直角坐标为 1,0，点 M在直线 l上，设直线 l的参数方程： 21ty（ 为参数） ， ,AB对应的参数为 12,t 480tt， 124t， 128t，12121 3tt23 【解析】24 （2） 12213gxfxxx，当且仅当10时，取等号， 3,M.原不等式等价于22233tttt. tM， 0t， 21t. 2310t. 231tt.
