1、中档题型专训(四)三角形、四边形中的相关证明及计算纵观近5年遵义市中考题，三角形常与旋转、折叠、平移等知识点结合起来考查；四边形中要特别关注平行四边形、矩形、菱形和正方形的性质和判定，以及运用其性质解决有关计算的问题,中考重难点突破)三角形的有关计算及证明【例1】(2017荆门中考)已知：如图所示，在平面直角坐标系xOy中，C90，OB25，OC20，若点M是边OC上的一个动点(与点O，C不重合)，过点M作MNOB交BC于点N.(1)求点C的坐标；(2)当MCN的周长与四边形OMNB的周长相等时，求CM的长；(3)在OB上是否存在点Q，使得MNQ为等腰直角三角形？若存在，请求出此时MN的长；若
2、不存在，请说明理由【解析】(1)如图，过C作CHOB于H，根据勾股定理得到BC 15，根据三角形的面OB2 OC2 252 202积公式得到CH 12，由勾股定理得到OH 16，于是得到结论；(2)根据相似三角OCBCOB 201525 OC2 CH2形的性质得到 ，设CMx，则CN x，根据已知条件列方程即可得到结论；(3)如图，由(2)知，CMCN OCBC 2015 43 34当CMx，则C N x，MN x，当NMQ 190，MN MQ1时，当MNQ 290，MNNQ 2时；当MQN9034 54，MQNQ时，根据相似三角形的性质即可得到结论【答案】解：(1)如图，过C作CHOB于H，
3、C90，OB25，OC20，BC 15.OB2 OC2 252 202S OBC OBCH OCBC，12 12CH 12，OCBCOB 201525OH 16，C(16，12)；OC2 CH2(2)MNOB，CNMCBO， ，CMCN OCBC 2015 43设CMx，则CN x.34MCN的周长与四边形OMNB的周长相等，CMCNMNO M MNBNOB，即x xMN20xMN15 x25，34 34解得x ，CM ；1207 1207(3)由(2)知，当CMx，则CN x，MN x，34 54当NMQ 190，MNMQ 1时，如图，OMQ 1OBC， .MQ1BC OMOB又MNMQ 1
4、， ， x ，54x15 20 x25 24037MN x ；54 54 24037 30037,图) ,图)当MNQ 290，MNNQ 2时，如图，此时，四边形MNQ 2Q1是正方形，NQ 2MQ 1MN，MN ；30037当MQN90，MQNQ时，如图，过M作MGOB于G，MN MQ，MQ MG，2 2MN2MG，MG x.58又OMGOBC， ，MGBC OMOB ，x ，MN x .58x15 20 x25 48049 54 60049综上所述，符合条件的MN的长为 或 .3007 600491(2017北辰校级模拟)已知，点O是等边ABC内的任一点，连接OA，OB，OC.(1)如图，
5、已知AOB150，BOC120，将BOC绕点C按顺时针方向旋转60得ADC.DAO的度 数是_；用等式表示线段OA，OB，OC之间的数量关系，并证明；(2)设AOB，BOC.当，满足什么关系时，OAOBOC有最小值？请在图中画出符合条件的图形，并说明理由；若等边ABC的边长为1，直接写出OAOBOC的最小值解：(1)90；线段OA，OB，OC之间的数量关系是OA2OB 2OC 2.如图，连接OD.BOC绕点C按顺时针方向旋转60得ADC，ADCBOC，OCD60.CDOC，ADCBOC120，ADOB.OCD是等边三角形，OCODCD，CODCDO60，AOB150，BOC120，AOC90
6、，AOD30，ADO60.DAO90.在 RtADO中，DAO90，OA 2AD 2OD 2.OA 2OB 2OC 2.,图) ,图)(2)当120时，OAOBOC有最小值作图如图，将AOC绕点C按顺时针方向旋转60 得AOC，连接OO.AOCAOC，OCOACA60.OCOC，OAOA，ACAC，AOCAOC.OC O是等边三角形OCOCOO，COOCOO60.AOBBOC120，AOCAOC120，BOOOOA180，B，O，O，A四点共线，OAOBOCOAOBOOBA时值最小；当等边ABC的边长为1时，OAOBOC的最小值AB .3四边形的有关计算及证明【例2】(2017广东中考模拟)如
7、图，等边ABO放置在平面直角坐标系中，OA4，动点P，Q同时从O，B两点出发，分别沿OA，BO方向匀速运动，它们的速度均为每秒1个单位长度，当点P到达点A时，P，Q两点停止运动，设点P的运动时间为x( s)(0x4)，解答下列问题：(1)求点Q的坐标；(用含x的代数式表示)(2)设OPQ的面积为S，求S与x之 间的函数关系式；当x为何值时，S有最大值？最大值是多少？(3)是否存在某个时刻x，使OPQ的面积为 个平方单位？若存在，求出相应的x值；若不存在，请说明理334由【解析】(1)过点Q作QDOA于点D，解直角三角形QOD，分别求出OD，QD和x的关系式，即可得到点Q的坐标；(2)由三角形面
8、积公式可得s与x之间的二次函数关系式，然后利用配方法求得其最大值即可；(3)存在某个时刻x的值，使OPQ的面积为 个平方单位，由(2)可知把y 代入求出对应的x值即可334 334【答案】解：(1)过点Q作QDOA于点D，ABO是等边三角形，AOB60，动点Q从B点出发，速度为每秒1个单位长度，BQx，OQ4x，在 RtQOD中，ODOQ cos60(4x) 2 x，12 12QDOQ sin60(4x) 2 x，32 3 32点Q的坐标为 ；(212x， 23 32x)(2)动点P从O点出发，速度为每秒1个单位长度，OPx，S OPQD x12 12(23 32x) x2 x (x2) 2
9、(0x4)，34 3 34 3a 0，34当x2时，S有最大值，最大值为 ；3(3)存在某个时刻x的值，使OPQ的面积为 个平方单位，理由如下：334假设存在某个时刻，使OPQ的面积为 个平方单位，334由(2)可知 x2 x ，34 3 334解得x1或x3，0x4，x1或x3都合题意，即当x1 s或3 s时，能使OPQ的面积为 个平方单位3342(2017常州中考)如图，在四边形ABCD中，如果对角线AC和BD相交并且相等，那么我们把这样的四边形称为等角线四边形(1)在“平行四边形、矩形、菱形”中，_矩形_一定是等角线四边形；(填写图形名称)若M，N，P，Q分别是等角线四边形ABCD四边A
10、B，BC，CD，DA的中点，当对角线AC，BD还要满足_ACBD_时，四边形MNPQ是正方形；(2)如图，已知ABC中，ABC90，AB4，BC3，D为平面内一点若四边形ABCD是等角线四边形，且ADBD，则四边形ABCD的面积是_；设点E是以C为圆心，1为半径的圆上的动点，若四边形ABED是等角线四边形，写出四边形ABED面积的最大值，并说明理由解：(1)矩形；ACBD；(2)32 ；21图如图中，设AE与BD相交于点Q，连接CE，作DHAE于H，BGAE于G.则DHDQ，BGBQ，四边形ABED是等角线四边形，AEBD，S 四边形ABED S ABE S ADE AEDH AEBG12 1
11、2 AE(GBDH) AE(BQQD)，12 12即S 四边形ABED AEBD，12当G，H重合时，即BDAE时，等号成立，AEBD，S 四边形ABED AE2，12即线段AE最大时，四边形ABED的面积最大，AEACCE，AE51，AE6，AE的最大值为6，当A，C，E共线时，取等号，四边形ABED的面积的最大值为 6218. 123(2017海南中考)如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，点E在AD边上运动，且不与点A和点D重合，连接CE，过点C作CFCE交AB的延长线于点F，EF交BC于点G.(1)求证：CDECBF；(2)当DE 时，求CG的长；12(3)连接AG，在点E运动过程中
12、，四边形CEAG能否为平行四边形？若能，求出此时DE的长；若不能，说明理由解：(1)在正方形ABCD中，DCBC，DABCDCB90，CBF180ABC90，DCEECBDCB90，CFCE，ECF90，ECBBCFECF90，DCEBCF，在CDE和CBF中， D CBF，DC BC， DCE BCF， )CDECBF；(2)在正方形ABCD中，ADBC，GBFEAF， ，BGAE BFAF由(1)知，CDECBF，BFDE ，正方形的边长为1，12AFABBF ，AEADDE ，32 12 ，BG ，CGBC BG ；BG121232 16 56(3)不能理由：若四边形CEAG是平行四边形，则必须满足AECG，AECG，ADAEBCCG，DEBG，由(1)知，CDECBF，DEBF，CECF，GBF和ECF是等腰直角三角形，G FB45，CFE45，CFAGFBCFE90，此时点F与点B重合，点D与点E重合，与题目条件不符，点E在运动过程中，四边形CEAG不能是平行四边形
