1、衡阳县 2017 年下学期期末质量检测试题高三理科数学一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.已知集合 M ,则 MN=( )2,(2,4)1yxNxyA. B. C. D. 31x63626x2.若复数 Z 满足 为虚数单位), 则 Z=( )()(iziA. 1+i B.1-i C. i D.-i3.已知 ,若 与 平行,则 m=( )(1,)(,0)(12)abcabmcA.-1 B.1 C.2 D.34.若函数 在区间( a-1,a+1)上递增,且 ,则( )2(54)0.9)logxf 0.9lg.,2cA.
2、 cba B. bca C. abc D. bac5.日本数学家角谷静夫发现的“3x+1 猜想” 是指:任取一个自然数,如果它是偶数,我们就把它除以 2，如果它是奇数我们就把它乘 3 再加上 1.在这样一个变换下，我们就得到了一个新的自然数.如果反复使用这个变换，我们就会得到一串自然数，猜想就是:反复进行上述运算后，最后结果为 1.现根据此猜想设计一个程序框图如图所示，执行该程序框图输入的 N=6，则输出A.6 B.7 C.8 D.96.在ABC 中，a 、 b、 c 分别为内角 A、B、C 的对边,若 32sinisn,co5CABC且 S=4，则 c=( )A. B. C. D. 4634
3、6357.设 、 是空间两个平面，m、n、l 是空间三条直线，则下列四个命题中，逆命题成立的个数是( ).当 时，若 n，则 .当 l 时，若 l，则 .当 ，且 时，若 l ,则 nl .当 ,且 l 是 m 在 内的射影时，若 nl 则 mnlA.1 B.2 C.3 D.48.若实数 x、y 满足不等式组 ，则目标函数 的最大值是( )1024xy23xyzA. B. C. D. 13259.已知某几何体的三视图如图所示，正视图是斜边长为 4 的等腰直角三角形，侧视图是等腰直角三角形，则该几何体的外接球的体积为( )A. B. C. D. 10535205310510.已知点 P 为双曲线
4、 右支上一点 F1、F 2 分别为双曲线的左右焦点，点 I 为21(0)xyabPF1F2 的内心 (三角形内切圆的圆心 )，若恒有 成立,则双曲线的离心率取值范12123IPIISS围为( )A.(1，2 B.(1， 2) C.(0，3 D.(1，311.若 P 是面积为 3 的 ABC 内的一点(不含边界) ，若 PAB， PAC 和PBC 的面积分别为x、y、z，则 的最小值是( )1zxyA. B. C. D.323321312.定义函数 若存在实数 b，使得方程2(),(),()4,fxafxgxg无实数根，则实数 a 的取值范围是( )()0xbA.(-，-1)U(4 ，+) B.
5、(-1，4) C.(-，-5)U(4，+) D.(4，+)二、填空题:本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.已知等比数列 的前 n 项和是 Sn，若 S2、S 6、S 4 成等差数列，则 的值为_。a 246a14.已知函数 ，若 a、 b 都是从区间0，3 内任取的实数，则不等式2()fx (2)0f成立的概率是_。15.定义在实数集 R 上的函数 f(x)满足 ，当 时，()4)(4)fxf0,x，则函数 |的零点个数为_。()31xf(1)2logg16.在ABC 中，AB=3AC=9， ，点 P 是 ABC 所在平面内一点，则当ACB取得最小值时，22PAB_三、解答题
6、:共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.)必考题:共 60 分17.(12 分) 设数列 的前 n 项积是 Tn，满足 ，且 a112(,2)nnTNn120,3na(1)求数列 的通项公式n(2)若数列 满足 .求数列 的前 n 项和 Sn 的最值。nb1nnab18.(12 分) 如图，在四棱锥中 P-ABCD 中，PA 底面ABCD，AD AB，ABDC，AD=DC=AP=2 ，AB=1 ，点 E 为棱 PC 的中点。(1)证明:BEPD;(2)若 F 为棱 PC 上一点，满足
7、 BFAC，求二面角 F-AB-D 的余弦值.19.(12 分)1999 年 3 月 24 日，在以美国为首的北约的推动下，引发了科索沃战争 .科索沃战争以大规模空袭为作战方式.美军派甲、乙两架轰炸机对同一地面目标进行轰炸，甲机投弹一次命中目标的概率为 ，乙机投弹一次命中目标的概率为 ，两机投弹互不影响，每机各423投弹两次，两次投弹之间互不影响.(1)若至少两次投弹命中才能摧毁这个地面目标，求目标被摧毁的概率；(2)记目标被命中的次数为随机变量 X，求 X 的分布列和数学期望。20.(12 分) 已知椭圆 C: 的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，21(0)xyab以椭圆 C 的长轴长为直
8、径的圆与直线 相切.2xy(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)设过椭圆右焦点的动直线( x 轴除外) 与椭园 C 相交于 A、B 两点，探究在 x 轴上是否存在定点 E，使得 为定值 ?若存在，试求出定值和点 E 的坐标；若不存在，请说明理由.AB21.(12 分) 已知函数 ()()ln,xfeaxaR(1)当 a=1 时，求函数 f(x)的图象在 x=0 处的切线方程；(2)若函数 f(x)在定义域上为单调增函数.求 a 最大整数值；证明 : 32 1ln2(3l)(ln4)(ln1)lne(二)选考题:共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多，做则按所做的第一题计分
9、.22.选修 4-4:坐标系与参数方程(10 分)已知在平面直角坐标系 xoy 中，曲线 C 的参数方程为 为参数）2cos(inx(1)求曲线 C 的普通方程；(2)经过点 (平面直角坐标系 xoy 中的点) 作直线 l 交曲线 C 于 A、B 两点，若 P 恰1,)2P好为线段 AB 的中点，求直线 l 的方程.23.选修 4-5:不等式选讲 (10 分)已知函数 ()1fx(1)求不等式 的解集；2(2)关于 x 的不等式 的解集不是空集，求实数 a 的取值范围.()(3)fxfa衡阳县 2017 年下学期高三期末考试数学（理科）参考答案1、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10、 10 11 12答案 B C A B D A C B C D A C2、填空题13.2 14. 15.512 16.24712三、解答题17.(1)由 11nnTT4 分131222nnn T 6 分11,n nTaa12 21=2211+b()()+()34nnnna nS （ ） 由 （ ） 知 ，10 分n*2113,6n nSNS显 然 在 上 单 调 递 增 ， 当 的 最 小 值 为 无时 ， 最 大 值 .12 分18.依题意，以点 A为原点建立空间直角坐标系（如图） ，可得 ()1,0B， ()2,0C， (),2D， ()0,2P.zyxPED CBA由 E为棱 PC的中点
11、，得 ()1,E.2 分（1）向量 0,B=， ，02,D故 ， 所以 .5 分(,),)ABEPD（2）向量 12C， (,P=-， ()2,0AC=， ()1,0AB=.由点 F在棱 上， ,01.F设6 分(2,).BB故 AC=,由 ， 得8 分3(12+=4因 此 ， ） （ ） 0， 解 得 ， 132BF即 （ ， ， ） .设 )1,nxyz=为平面 FB的法向量，则.1 00,xnAyz即不妨令 ，可得 ()10,3n=-为平面 FB的一个法向量.10 分取平面 的法向量 ，则 ，ABD2,1212 10cos,nA所以二面角 的 余弦值为 .12 分F019.设 Ak 表示
12、甲机命中目标 k 次，k0,1,2，B l 表示乙机命中目标 l 次，l 0,1,2，则Ak，B l 独立由独立重复试验中事件发生的概率公式有，2 22 2311,()()43kklllk lPCPC 据此算得 P(A0) ，P (A1) ，P (A2) .6696P(B0) ，P(B 1) ，P(B 2) .2 分94(1)所求概率为 1P(A 0B0A 0B1A 1B0) 4 分146136994(2)X 的所有可能值为 0,1,2,3,4，5 分且 P(X0)P( A0B0)P (A0)P(B0) ，1694P(X1)P (A0B1)P (A1B0) ，0P(X2)P (A0B2)P (
13、A1B1)P(A 2B0) 8 分19137664P(X3)P (A1B2)P (A2B1) ，494P(X4)P (A2B2) .10 分936综上知，X 的分布列如下：X 0 1 2 3 4P 474601从而 X 的期望为 E(X)0 1 2 3 4 .12 分361720.（1）由题意知， ，解得 ，3 分22 bca 1abc则椭圆 的方程为 .4 分C1xy（2）当直线的斜率存在时，设直线 ,10ykx联立 ，得 ，21xyk2224,80kk .6 分224,11ABABxxk假设 轴上存在定点 ，使得 为定值，0,EEB 2000,ABAABABExyxyxxy2001ABAB
14、ABxxkx2 201k k.8 分2004xx要使 为定值，则 的值与 无关， ，EABEABk220041xx解得 ，此时 为定值，定点为 .10 分054x7165,当直线的斜率不存在时， 2(,)(,),716AEB也 成 立 .所以，综上可知，在 轴上存在定点 ，使得 为定值.12 分x5,04E21.（1）当 时， ， ，a1lnxfex01f又 ， ，ln1xfe 0则所求切线方程为 ，即 .4 分yxy（2）由题意知， ，lnfea若函数 在定义域上为单调增函数，则 恒成立.fx 0fx先证明 .设 ，则 ，1e1xge1xge则函数 在 上单调递减，在 上单调递增，gx,0,
15、 ，即 .xe同理可证 ， , .ln1x21lnln2xex当 时， 恒成立.2a0f当 时， ，即 不恒成立. 3lal0xfea综上所述， 的最大整数值为 2. 8 分由知， ，令 ，ln2xe1tx ， .1llttt1lntte由此可知，当 时， .当 时， ，t0ln2et213l当 时， ， ，当 时， .3t324lt1lne累加得 .10 分23012141lnllnee 又 ，01211n eee234lnlnlne.12 分23 1llll(1)lne即22.（1）由曲线 的参数方程，得 ，所以C2xcosiny22()1,xcosiy所以曲线 的普通方程为 5 分214xy（2）设直线 的倾斜角为 ，则直线的参数方程为 （ 为参数） ，l112xtcosyint代入曲线 的直角坐标方程，得 ，C221111cos4incs4i20tt所以 ，由题意可知 111222cos4int12t所以 ，得 ，所以直线 的方程为 10 分112cos4in012kl20xy23.（1） ， .2fx10x当 时，不等式可化为 ，解得 ， ；x1当 ,不等式可化为 ，解得 ， 无解；2x12x当 时，不等式可化为 ，解得 ， .10x综上所述， 或 .5 分 Axx（2） ，(2)(3)=12121ff x且 的解集不是空集，xa ，即 的取值范围是 .10 分1a,
