1、专项限时集训(四) 解析几何中的范围、定值和探索性问题(对应学生用书第 119 页)(限时：60 分钟)1(本小题满分 14 分)(2017盐城市滨海县八滩中学二模)如图 4，点 A(1， )为椭圆3 1 上一定点，过点 A 引两直线与椭圆分别交于 B， C 两点x22 y2n图 4(1)求椭圆方程；(2)若直线 AB， AC 与 x 轴围成以点 A 为顶点的等腰三角形，求 ABC 面积的最大值，并求出此时直线 BC 的方程解 (1)把点 A(1， )代入 1 得 n6，3x22 y2n故椭圆方程为 1. 4 分y26 x22(2)显然题中等腰三角形腰所在的直线不可能与 x 轴垂直，因此其斜率
2、必存在，设 AB， AC 的斜率分别为 k1、 k2，由Error!得点 B 的横坐标为 x1 ，6 23k1k21 3点 B 的纵坐标为 y ，323k21 6k1k21 3即 B .(16 23k1k21 3 ， 3 23k21 6k1k21 3 )同理可得点 C 的坐标为 C ，(16 23k2k2 3 ， 3 23k2 6k2k2 3 ) k1 k20，直线 BC 的斜率为 kBC .3设直线 BC 的方程为 y x m，代入方程 1 得 6x22 mx m260，3x22 y26 3xB xC m， xBxC ，| BC| |xB xC|2 ，33 m2 66 1 3 13m2 2
3、m2 6310 分| BC| ，233 12 m2又点 A 到直线 BC 的距离为 d ，|m|2 S |BC|d ，12 36 m2 12 m2 36 m2 6 2 36当 m26，即 m 时， ABC 面积取得最大值为 .6 3此时，直线 BC 的方程为 y x . 14 分3 62(本小题满分 14 分)(2017江苏省宿迁市三模)如图 5，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆C： 1 的左、右顶点分别为 A， B，过右焦点 F 的直线 l 与椭圆 C 交于 P， Q 两点(点 Px24 y23在 x 轴上方)图 5(1)若 QF2 FP，求直线 l 的方程；(2)设直线 AP， BQ
4、 的斜率分别为 k1， k2，是否存在常数 ，使得 k1 k 2？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由. 【导学号：56394100】解 (1)因为 a24， b23，所以 c 1，a2 b2所以 F 的坐标为(1,0)，设 P(x1， y1)， Q(x2， y2)，直线 l 的方程为 x my1，代入椭圆方程 1，得(43 m2)y26 my90，x24 y23则 y1 ， y2 . 3m 61 m24 3m2 3m 61 m24 3m2若 QF2 FP，即 2 ，QF FP 则 2 0， 3m 61 m24 3m2 3m 61 m24 3m2解得 m ，255故直线 l 的方程为 x2
5、 y 0. 6 分5 5(2)由(1)知， y1 y2 ， y1y2 ，6m4 3m2 94 3m2所以 my1y2 (y1 y2)，9m4 3m2 32由 A(2,0)， B(2,0)， P(x1， y1)， Q(x2， y2)， x1 my11， x2 my21，所以 ，k1k2 y12 x1 x2 2y2 y1 my2 1y2 my1 332 y1 y2 y132 y1 y2 3y2 13故存在常数 ，使得 k1 k2. 14 分13 133(本小题满分 16 分)如图 6，在平面直角坐标系 xOy 中，已知 R(x0， y0)是椭圆 C： 1x224 y212上的一点，从原点 O 向圆
6、 R：( x x0)2( y y0)28 作两条切线，分别交椭圆于点 P， Q.图 6(1)若 R 点在第一象限，且直线 OP， OQ 互相垂直，求圆 R 的方程；(2)若直线 OP， OQ 的斜率存在，并记为 k1， k2，求 k1k2的值. 【导学号：56394101】解 (1)连接 OR(图略)设圆 R 的半径为 r，由圆 R 的方程知 r2 ，因为直线 OP， OQ2互相垂直，且和圆 R 相切，所以| OR| r4，即 x y 16.2 20 20又点 R 在椭圆 C 上，所以 1，x2024 y2012联立，解得Error!所以圆 R 的方程为( x2 )2( y2 )28. 6 分
7、2 2(2)因为直线 OP： y k1x 和 OQ： y k2x 都与圆 R 相切，所以 2 ，|k1x0 y0|1 k21 22 ，|k2x0 y0|1 k2 2化简得( x 8) k 2 x0y0k1 y 80，( x 8) k 2 x0y0k2 y 80.20 21 20 20 2 20所以 k1， k2是方程( x 8) k22 x0y0k y 80 的两个不相等的实数根，由根与系数的关20 20系，得 k1k2 ，y20 8x20 8因为点 R(x0， y0)在椭圆 C 上，所以 1，即 y 12 x ，所以 k1k2 .x2024 y2012 20 1220 4 12x20x20
8、8 1216 分4(本小题满分 16 分)已知椭圆 C： 1( a b0)的离心率为 ， A(a,0)， B(0， b)，x2a2 y2b2 32O(0,0)， OAB 的面积为 1.(1)求椭圆 C 的方程；(2)设 P 是椭圆 C 上一点，直线 PA 与 y 轴交于点 M，直线 PB 与 x 轴交于点 N.求证：|AN|BM|为定值【解】 (1)由题意得Error!解得Error!所以椭圆 C 的方程为 y21. 4 分x24(2)证明：由(1)知， A(2,0)， B(0,1)设 P(x0， y0)，则 x 4 y 4.20 20当 x00 时，直线 PA 的方程为 y (x2)y0x0 2令 x0，得 yM ，2y0x0 2从而| BM|1 yM| .|12y0x0 2|直线 PB 的方程为 y x1.y0 1x0令 y0，得 xN ，x0y0 1从而| AN|2 xN| . 10 分|2x0y0 1|所以| AN|BM| |2x0y0 1| |1 2y0x0 2| |x20 4y20 4x0y0 4x0 8y0 4x0y0 x0 2y0 2 | |4x0y0 4x0 8y0 8x0y0 x0 2y0 2|4.当 x00 时， y01，| BM|2，| AN|2，所以| AN|BM|4.综上，| AN|BM|为定值. 16 分
