1、难点四 解析几何中的范围、定值和探索性问题(对应学生用书第 68页)解析几何中的范围、定值和探索性问题仍是高考考试的重点与难点，主要以解答题形式考查，一般以椭圆为背景，考查范围、定值和探索性问题，试题难度较大复习时不能把目标仅仅定位在知识的掌握上，要在解题方法、解题思想上深入下去解析几何中基本的解题方法是使用代数方程的方法研究直线、曲线的某些几何性质，代数方程是解题的桥梁，要掌握一些解方程(组)的方法，掌握一元二次方程的知识在解析几何中的应用，掌握使用根与系数的关系进行整体代入的解题方法；其次注意分类讨论思想、函数与方程思想、化归与转化思想等的应用，如解析几何中的最值问题往往需建立求解目标函数
2、，通过函数的最值研究几何中的最值下面对这些难点一一分析：1圆锥曲线中的定点、定值问题该类问题多以直线与圆锥曲线为背景，常与函数与方程、向量等知识交汇，形成了过定点、定值等问题的证明，难度较大定点、定值问题是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点、一个值，就是要求的定点、定值化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量【例 1】 (2017江苏省南京市迎一模模拟)设椭圆 C： 1( a b0)的离心率 e ，x2a2
3、y2b2 32直线 y x 与以原点为圆心、椭圆 C的短半轴长为半径的圆 O相切2(1)求椭圆 C的方程；(2)设直线 x 与椭圆 C交于不同的两点 M， N，以线段 MN为直径作圆 D，若圆 D与 y轴相12交于不同的两点 A， B，求 ABD的面积；(3)如图 1， A1， A2， B1， B2是椭圆 C的顶点， P是椭圆 C上除顶点外的任意点，直线 B2P交 x轴于点 F，直线 A1B2交 A2P于点 E，设 A2P的斜率为 k， EF的斜率为 m，求证：2 m k为定值. 【导学号：56394098】图 1解 (1)直线 y x 与以原点为圆心、椭圆 C的短半轴长为半径的圆 O相切，2
4、 b，化为 b1.|0 2|2离心率 e ， b2 a2 c21，联立解得 a2， c .32 ca 3椭圆 C的方程为 y21；x24(2)把 x 代入椭圆方程可得： y21 ，解得 y .12 116 154 D的方程为： 2 y2 .(x12) 1516令 x0，解得 y ，114| AB| ， S ABD |AB|OD| .112 12 12 112 12 118(3)证明：由(1)知： A1(2,0)， A2(2,0)， B2(0,1)，直线 A1B2的方程为 y x1，12由题意，直线 A2P的方程为 y k(x2)， k0，且 k ，12由Error!解得 E .(4k 22k
5、1， 4k2k 1)设 P(x1， y1)，则由Error!得(4 k21) x216 k2x16 k240.2 x1 ， x1 ， y1 k(x12) .16k2 44k2 1 8k2 24k2 1 4k4k2 1 P .(8k2 24k2 1， 4k4k2 1)设 F(x2,0)，则由 P， B2， F三点共线得， kB2P kB2F.即 ， x2 ， F . 4k4k2 1 18k2 24k2 1 0 0 1x2 0 4k 22k 1 (4k 22k 1， 0) EF的斜率 m .4k2k 1 04k 22k 1 4k 22k 1 2k 142 m k k 为定值2k 12 12方法总结
6、 定值问题是解析几何中的一种常见问题，基本的求解思想是：先用变量表示所需证明的不变量，然后通过推导和已知条件，消去变量，得到定值，即解决定值问题首先是求解非定值问题，即变量问题，最后才是定值问题(1)求定值问题常见的方法有两种从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值(2)定点的探索与证明问题探索直线过定点时，可设出直线方程为 y kx m，然后利用条件建立 k， m等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关2圆锥曲线中的最值、范围问题圆锥曲线中参数的范围及最值问题，由于其能很好地考查学生
7、对数学知识的迁移、组合、融会的能力，有利于提高学生综合运用所学知识分析、解决问题的能力该类试题设计巧妙、命题新颖别致，常求特定量、 特定式子的最值或范围常与函数解析式的求法、函数最值、不等式等知识交汇，成为近年高考热点解决圆锥曲线中最值、范围问题的基本思想是建立目标函数和建立不等关系，根据目标函数和不等式求最值、范围，因此这类问题的难点，就是如何建立目标函数和不等关系建立目标函数或不等关系的关键是选用一个合适变量，其原则是这个变 量能够表达要解决的问题，这个变量可以是直线的斜率、直线的截距、点的坐标等，要根据问题的实际情况灵活处理图 2【例 2】 (苏北四市(徐州、淮安、连云港、宿迁)2017
8、 届高三上学期期末)如图 2，在平面直角坐标系 xOy中，已知椭圆 C： 1( a b0)的离心率为 ，且右焦点 F到左准线的距离x2a2 y2b2 22为 6 .2(1)求椭圆 C的标准方程；(2)设 A为椭圆 C的左顶点， P为椭圆 C上位于 x轴上方的点，直线 PA交 y轴于点 M，过点 F作 MF的垂线，交 y轴于点 N.()当直线的 PA斜率为 时，求 FMN的外接圆的方程；12()设直线 AN交椭圆 C于另一点 Q，求 APQ的面积的最大值解 (1)由题意，得Error!解得Error!则 b2 ，2所以椭圆 C的标准方程为 1.x216 y28(2)由题可设直线 PA的方程为 y
9、 k(x4)， k0，则 M(0,4k)，所以直线 FN的方程为 y (x2 )，则 N .224k 2 (0， 2k)()当直线 PA的斜率为 ，即 k 时， M(0,2)， N(0，4)， F(2 ，0)， (2 ，2)，12 12 2 MF 2(2 ，4)， 880.FN 2 MF FN 所以 MF FN，所以圆心为(0，1)，半径为 3，所以 FMN的外接圆的方程为 x2( y1) 29.()联立Error!消去 y并整理得，(12 k2)x216 k2x32 k2160，解得 x14 或 x2 ，所以 P ，4 8k21 2k2 (4 8k21 2k2， 8k1 2k2)直线 AN的
10、方程为 y (x4)，同理可得， Q ，12k (8k2 41 2k2， 8k1 2k2)所以 P， Q关于原点对称，即 PQ过原点所以 APQ的面积 S OA(yP yQ)2 8 ，当且仅当 2k ，即 k12 16k1 2k2 322k 1k 2 1k时，取“” 22所以 APQ的面积的最大值为 8 .2方法总结 这类问题在题目中往往没有给出不等关系，需要我们去寻找求最值或范围常见的解法：(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，可考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求最值，求函数最值常用的方法有配方法、
11、判别式法、导数法、基本不等式法及函数的单调性、有界性法等用这种方法求解圆锥曲线的最值与范围问题时，除了重视建立函数关系式这个关键点外，还要密切注意所建立的函数式中的变量是否有限制范围，这些限制范围恰好制约了最值的取得，因此在解题时要予以高度关注3圆锥曲线中的探索性问题探索性问题主要考查学生探索解题途径，解决非传统完备问题的能力，是命题者根据学科特点，将数学知识有机结合并赋予新的情境创设而成的，要求学生自己观察、分析、创造性地运用所学知识和方法解决问题，它能很好地考查数学思维能力以及科学的探索精神因此越来越受到高考命题者的青睐探索性问题实质上是探索结论的开放性问题相对于其他的开放性问题来说，由于
12、这类问题的结论较少(只有存在、 不存在两个结论有时候需讨论)，因此，思考途径较为单一，难度易于控制，受到各类考试命题者的青睐解答这一类问题，往往从承认结论、变结论为条件出发，然后通过特例归纳，或由演绎推理证明其合理性探索过程要充分挖掘已知条件，注意条件的完备性，不要忽略任何可能的因素图 3【例 3】 (苏北四市(淮安、宿迁、连云港、徐州)2017 届高三上学期期中)如图 3，在平面直角坐标系 xOy中，已知圆 C： x2 y24 x0 及点 A(1,0)， B(1,2)(1)若直线 l平行于 AB，与圆 C相交于 M， N两点， MN AB，求直线 l的方程；(2)在圆 C上是否存在点 P满足
13、条件，使得 PA2 PB212？若存在，求点 P的个数；若不存在，说明理由【导学号：56394099】解 (1)圆 C的标准方程为( x2) 2 y24，所以圆心 C(2,0)，半径为 2.因为 l AB， A(1,0)， B(1,2)，所以直线 l的斜率为 1，2 01 1设直线 l的方程为 x y m0，则圆心 C到直线 l的距离为 d .|2 0 m|2 |2 m|2因为 MN AB 2 ，22 22 2而 CM2 d2 2，所以 4 2，(MN2) 2 m 22解得 m0 或 m4，故直线 l的方程为 x y0 或 x y40.(2)假设圆 C上存在点 P满足条件，设 P(x， y)，
14、则( x2) 2 y24，PA2 PB2( x1) 2( y0) 2( x1) 2( y2) 212，即 x2 y22 y30，即 x2( y1) 24，因为|22| 22， 2 0 2 0 1 2所以圆( x2) 2 y24 与圆 x2( y1) 24 相交，所以点 P的个数为 2.方法总结 (1)解决存在性问题的解题步骤：第一步：先假设存在，引入参变量，根据题目条件列出关于参变量的方程(组)或不等式(组)；第二步：解此方程(组)或不等式(组)，若有解则存在，若无解则不存在；第三步：得出结论(2)解决存在性问题应注意以下几点：当条件和结论不唯一时要分类讨论；当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径
