1、12016年初二数学竞赛（B 班）培训资料：图形的剪切与折叠问题初二（ ）班 姓名： 学号： .1、将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC、BD 为折痕，则CBD 的度数为（ ）A60 0 B75 0 C90 0 D95 0答案：C2、如图,把一个长方形纸片沿 EF折叠后,点 D、C 分别落在 D、C的位置，若EFB65，则AED等于（ ）A50 B55 C60 D65答案：A 14如图 a是长方形纸带，DEF=20，将纸带沿 EF折叠成图 b，再沿 BF折叠成图 c，则图 c中的CFE 的度数是（ ）图c图b图aCDG FEACGDFEAFDB CA EB BADBC，DEF=EFB=2
2、0，在图 b中，GE = GF，GFC=180-2EFG=140，在图 c中CFE=GFC-EFG=120，6将一张矩形纸条 ABCD按如图所示折叠，若折叠角FEC=64，则1= 度；EFG的形状 三角形四边形 CDFE与四边形 CDFE关于直线 EF对称2 = 3 = 645413 2GDFCDB CAE24 = 180 - 2 64 = 52ADBC1 = 4 = 522 = 5又2 = 33 = 5GE = GFEFG 是等腰三角形7如图，将矩形纸片 ABCD按如下的顺序进行折叠：对折，展平，得折痕 EF（如图） ；延 CG折叠，使点 B落在 EF上的点 B处， （如图） ；展平，得折痕
3、 GC（如图） ；沿 GH折叠，使点 C落在 DH上的点 C处， （如图） ；沿 GC折叠（如图） ；展平，得折痕GC，GH（如图 ） （1）求图 中BCB的大小；（2）图中的GCC是正三角形吗？请说明理由（1）由对称的性质可知：BC=BC，然后在 RtBFC 中，求得 cosBCF= ，利用特12殊角的三角函数值的知识即可求得BCB= 60；（2）首先根据题意得：GC 平分BCB ，即可求得GCC= 60，然后由对称的性质知：GH是线段 CC的对称轴，可得 GC= GC，即可得GCC是正三角形11如图，有一条直的宽纸带，按图折叠，则 的度数等于（ ） = 1，2 = 1 = 22+ABE=1
4、80，即 2+30=180，解得=7512如图，将一宽为 2cm的纸条，沿 BC，使CAB=45，则后重合部分的面积为作 CDAB，CEAB，1=2，a2 130 BEFACD3根据翻折不变性，1=BCA，故2=BCAAB=AC又CAB=45，在 RtADC 中，AC = ，AB = 2 2 2 2S ABCD = 12 2 213将宽 2cm的长方形纸条成如图所示的形状，那么折痕 PQ的长是如图，作 QHPA，垂足为 H，则 QH=2cm，由平行线的性质，得DPA=PAQ=60由折叠的性质，得DPA =PAQ，APQ=60，又PAQ=APQ=60，APQ 为等边三角形，在 RtPQH 中，s
5、inHPQ = HQPQ = ，则 PQ = 32 2PQ 4 3311 如图 2，矩形纸片 ABCD 的长 AD=9cm，宽 AB=3cm，将其折叠，使点 D 与点 B 重合，那么折叠后 DE 的长和折痕 EF 的长分别是多少？解法一：设 ，则，在 中，由勾股定理得，解得 ，即 。4连结 BD，设 BD 与 EF 交于点 O，易得 ，由题意可知 EF 是 BD 的中垂线，所以 ，EFBD，在 中，由勾股定理得，所以 。解法二：求 DE 同上法，再作 EGBC，垂足为点 G。易知 ，所以 ，所以 。12 如图 3，四边形 ABCD 是一块矩形纸片，E 是 AB 上一点，且 BE：EA=5：3，
6、EC=，将BCE 沿折痕 EC 翻折，若点 B 恰好落在 AD 边上的点 F 上，求 AB、BC 的长。解：连结 EF、FC、BF。设 BF 交 EC 于 M。因为 B、F 关于 EC 对称，所以 BFEC， BE=EF， 。设 BE=5x，则 。因为 ，所以因为 ，5所以 ，所以 ，所以 BC=30。所以 ，即 ，所以 ，所以 。13如图 6，把矩形 ABCD 对折，设折痕为 MN，再把 B 点叠在折痕上，得到 RtABE，沿着 EB 线折叠得到AEF，若矩形的宽 CD=4，求AEF 的面积。解：由题意可知：EC/BN/AD。因为 N 是 CD 中点，所以 B 是 EF 中点。又因为EBA=
7、90，所以 ABEF，所以 AB 是 EF 的中垂线，所以 AE=AF。因为 AE 是折痕，所以 2EAB+BAF=90，所以 3EAB=90所以EAB=30，所以EAF=60，所以AEF 是等边三角形。设 BE=x，则 AE=2x，又因为 AB=4，所以 ，解得 ，所以 ，所以 。19在ABC 中，已知A=80，C=30，现把CDE 沿 DE进行不同的折叠得CDE，对折叠后产生的夹角进行探究：（1）如图（1）把CDE 沿 DE折叠在四边形 ADEB内，则求1+2 的和；（2）如图（2）把CDE 沿 DE折叠覆盖A，则求1+2 的和；（3）如图（3）把CDE 沿 DE斜向上折叠，探求1、2、C
8、 的关系6（1）根据折叠前后的图象全等可知，1=180-2CDE，2=180-2CED，再根据三角形内角和定理比可求出答案；（2）连接 DG，将ADG+AGD 作为一个整体，根据三角形内角和定理来求；（3）将2 看作 180-2CED，1 看作 2CDE-180，再根据三角形内角和定理来求解：（1）如图(1) 1+2=180- 2CDE +180- 2CED=360- 2（CDE+CED）=360-2（180- C）=2C=60；（2）如图(2)连接 DG，1+2=180- C-（ADG +AGD）=180-30-（180-80）=50；（3）如图(3) 2-1=180- 2CED -（2CD
9、E - 180）=360- 2（CDE + CED）=360- 2（180- C）=2C所以：2 - 1=2C由于等腰三角形是轴对称图形，所以在折叠三角形时常常会出现等腰三角形21直角三角形纸片 ABC中，ACB=90，ACBC，如图，将纸片沿某条直线折叠，使点A落在直角边 BC上，记落点为 D，设折痕与 AB、AC 边分别交于点 E、点 F探究：如果折叠后的CDF 与BDE 均为等腰三角形，那么纸片中B 的度数是多少？写出你的计算过程，并画出符合条件的后的图形21图(1)CAC BDE12图(3)C ABCDE21图(2)GCABCDE7CDF 中，C=90，且CDF 是等腰三角形，CF=C
10、D，CFD=CDF=45，设DAE=x，由对称性可知，AF=FD，AE=DE，FDA= CFD=22.5，DEB=2x，12分类如下：当 DE=DB时，B=DEB=2x，由CDE=DEB+B，得 45+22.5+x=4x，解得：x=22.5此时B=2x=45；见图形（1），说明：图中 AD应平分CAB当 BD=BE时，则B=（180-4x），由CDE=DEB+B 得：45+22.5+x=2x+180-4x，解得 x=37.5，此时B=（180-4x）=30图形（2）说明：CAB=60，CAD=22.5DE=BE 时，则B=180- 2x2由CDE=DEB+B 的，45+22.5+x=2x+18
11、0- 2x2此方程无解DE=BE 不成立综上所述B=45或 30先确定CDF 是等腰三角形，得出CFD=CDF=45，因为不确定BDE 是以那两条边为腰的等腰三角形，故需讨论，DE=DB，BD=BE，DE=BE，然后分别利用角的关系得出答案即可20观察与发现：将三角形纸片 ABC（ABAC）沿过点 A的直线折叠，使得 AC落在 AB边上，折痕为 AD，展开纸片（如图） ；在第一次折叠的基础上第二次折叠该三角形纸片，使点 A和点 D重合，折痕为 EF，展平纸片后得到AEF（如图） 小明认为AEF 是等腰三角形，你同意吗？请说明理由实践与运用：(1)将矩形纸片 ABCD沿过点 B的直线折叠，使点
12、A落在 BC边上的点 F处，折痕为 BE（如图） ；再沿过点 E的直线折叠，使点 D落在 BE上的点 D处，折痕为 EG（如图） ；再展平纸片（如图） 求图中 的大小8在第一次折叠中可得到EAD = FAD在第二次折叠中可得到 EF是 AD的垂直平分线，则 ADEFAEF = AFEAEF 是等腰三角形(1)由折叠可知AEB = FEB，DEG = BEG而BEG = 45+ 因为AEB + BEG + DEG = 180所以 45+ 2（45+）= 180 = 22.5由于角平分线所在的直线是角的对称轴，所以在三角形中的折叠通常都与角平分线有关。要抓住折叠前后图形之间的对应关系17如图，把
13、RtABC（C=90），使 A，B 两点重合，得到折痕 ED，再沿 BE折叠，C点恰好与 D点重合，则 CE：AE=【母题】 （2012 达州中考题）将矩形纸片 ABCD，按如图所示的方式折叠，点 A、点 C恰好落在对角线 BD上.得到菱形 BEDF.若 BC6，则 AB的长为_.【变式】将矩形纸片 ABCD，按如图所示的方式折叠，点 B、点 D恰好落在对角线 AC上.若AD ，则菱形 AECF的面积为_.3【变式】如图，在矩形 ABCD中，AB5，BC12，将矩形 ABCD沿 CE折叠后，使点 D恰好落在对角线 AC上的点 F处求 EF的长9【变式】如图，将矩形纸片 ABCD折叠，使边 AB
14、、CD 均落在对角线 BD上，得折痕BE、BF，则EBF_【母题】如图所示，把一张矩形纸片 ABCD沿对角线 BD折叠，若 AB6、BC8，求BF_，求BFD 的面积_；若ABF40，则ADB_【变式】 （2009丰台区一模）如图 1，矩形纸片 ABCD中，AB4，BC ，将矩形纸片34沿对角线 AC向下翻折，点 D落在点 D处，连接 B D，如图 2，求线段 BD的长【母题】如图，把矩形 ABCD纸片折叠，使点 B落在点 D处，点 C落在 C处，折痕 EF与BD交于点 O，已知 AB16，AD12，求折痕 EF的长【变式】 （1）如图，把一矩形 ABCD的纸片，沿 EF折叠后，点 D、C 分
15、别落在 D、C的10位置上，ED与 BC的交点为 G，若EFG55，求1、2 的度数（2）如图，把一矩形纸片 ABCD，沿 EF折叠后，点 D和点 B重合，点 C落在 C位置，若AB4cm，AD12cm，求 BE的长度【练习】如图，对折矩形纸片 ABCD，使 AD与 BC重合，得到折痕 EF，把纸片展平，再一次折叠纸片，使 A 点落在 EF上，并使折痕经过点 B，得到折痕 BM，同时得到了线段 BN，过N作 NHBC 于 Q，则NBC 的度数是_【练习】 （2012宽城区一模）如图，正方形纸片 ABCD，对角线 AC、BD 交于点 O，折叠纸片，使 AD落在 BD上，点 A恰好与 BD上的点
16、F重合，展开纸片后，折痕 DE分别交 AB、AC 于点E、G，则AGD 的度数为_5、如图，三边长分别为 5cm、12cm 和 13cm的直角三角形 ABC，将它的短直角边对折到斜边上与斜边重合，那么，图中阴影部分（即未被盖住部分）的面积是多少？6、如图，将长为 12，宽为 5的矩形 ABCD沿对角线 AC对折，然后放到方桌面上，折叠后所成的图形覆盖桌面的面积是 。B CAC51213B CDADE118、如图（8） ，把矩形纸条 沿 同时折叠， 两点恰好落在 边的ABCDEFGH， BC， AD点处，若 ， ， ，则矩形 的边 长为（ ）P90FH 8P6A 22430【变式】 （2011莱
17、芜）已知矩形纸片 ABCD中，AB2，BC3操作：将矩形纸片沿 EF折叠，使点 B落在边 CD上探究：（1）如图 1，若点 B与点 D重合，你认为EDA1 和FDC 全等吗？如果全等给出证明，如果不全等请说明理由；（2）如图 2，若点 B与 CD的中点重合，求FCB1 和B1DG 的周长之比解：（1）全等。证明如下： 四边形 ABCD 是矩形， A=B=C=ADC=90，AB=CD，由题意知：A=A ，B=ADF=90，AB=CD， A=C=90，AD=CD ，ADE+EDF=90，CDF+EDF=90， AE PDGHFBACD图（5）12ADE=CDF，EDAFDC（ASA）；（2）DGB
18、+DBG=90，DBG+CBF=90， DGB=CBF，又D=C=90，FCBBDG，设 FC=x，则 BF=3-x，BC= DC=1，在 RtBCF 中 FC2+BC2=FB2， x2+12=（3-x） 2， ，FCBBDG， 。【7】如图，已知边长为 5的等边三角形 ABC纸片，点 E在 AC边上，点 F在 AB边上，沿着EF折叠，使点 A落在 BC边上的点 D的位置，且 ，则 CE的长是（ ）BC（A） （B） 103103（C） （D）52答案：D【18】如图，一张矩形报纸 ABCD的长 ABa cm，宽 BCb cm，E、F 分别是 AB、CD 的中点，将这张报纸沿着直线 EF对折后
19、，矩形 AEFD的长与宽之比等于矩形 ABCD的长与宽之比，则 ab 等于（ ） A B C D1:22:11:33:AB CDEF 第 7 题图13答案：A二折叠后求面积【4】如图,有一矩形纸片 ABCD,AB=10,AD=6,将纸片折叠，使 AD边落在 AB边上，折痕为AE，再将AED 以 DE为折痕向右折叠，AE 与 BC交于点 F，则CEF 的面积为（ ）A4 B6 C8 D10答案：C【6】如图 a，ABCD 是一矩形纸片，AB6cm，AD8cm，E 是 AD上一点，且 AE6cm。操作：（1）将 AB向 AE折过去，使 AB与 AE重合，得折痕 AF，如图 b；（2）将AFB 以
20、BF为折痕向右折过去，得图 c。则GFC 的面积是（ ）A.1cm2 B.2 cm2 C.3 cm2 D.4 cm2答案：B【变式】将矩形纸片 ABCD，按如图所示的方式折叠，点 B、点 D恰好落在对角线 AC上.若AD ，则菱形 AECF的面积为_.3EA A ABB BC C CGD D DFFF图 a 图 b 图 c第 6 题图14四折叠后得图形【12】将一圆形纸片对折后再对折，得到图 1，然后沿着图中的虚线剪开，得到两部分，其中一部分展开后的平面图形是（ ）答案：D【11】如图，把矩形 ABCD对折，折痕为 MN（图甲） ，再把 B点叠在折痕 MN上的 处。得B到 （图乙） ，再延长
21、交 AD于 F，所得到的 是（ ）RtABE EB EAFA. 等腰三角形 B. 等边三角形C. 等腰直角三角形 D. 直角三角形答案：B【8】将一张矩形纸对折再对折（如图） ，然后沿着图中的虚线剪下，得到、两部分，将展开后得到的平面图形是（ ）A B C D图 3图 1第 12 题图第 8 题图15A矩形 B三角形 C梯形 D菱形答案：D5. 将平行四边形纸片 ABCD按如图方式折叠，使点 C与 A重合，点 D落到 D处，折痕为EF（1）求证：ABEADF；（2）连接 CF，判断四边形 AECF是什么特殊四边形？证明你的结论解：（1） 由折叠可知：D=D，CD=AD，C=DAE四边形 ABC
22、D 是平行四边形 B=D，AB=CD，C=BADB=D，AB=ADDAE=BAD，即1+2=2+3 1=3 ABE A DF （ASA） ；（2）结论： 四边形 AECF 是菱形理由：由折叠可知：AE=EC，4=5 四边形 ABCD 是平行四边形，ADBC5=6164=6AF=AEAE=EC， AF=EC 又AFEC，四边形 AECF 是平行四边形AF=AE，四边形 AECF 是菱形。17【练习】如图，矩形纸片 ABCD的边长分别为 a、b（ab） ，点 M、N 分别为边 AD、BC 上两点（点 A、C 除外） ，连接 MN（1）如图，分别沿 ME、NF 将 MN两侧纸片折叠，使点 A、C 分
23、别落在 MN上的 A、C处，直接写出 ME与 FN的位置关系；（2）如图，当 MNBC 时，仍按（1）中的方式折叠，请求出四边形 AEBN 与四边形CFDM 的周长（用含 a的代数式表示） ，并判断四边形 AEBN 与四边形 CFDM 周长之间的数量关系；（3）如图，若对角线 BD与 MN交于点 O，分别沿 BM、DN 将 MN两侧纸片折叠，折叠后，点 A、C 恰好都落在点 O处，并且得到的四边形 BNDM是菱形，请你探索 a、b 之间的数量关系；（4）在（3）情况下，当 a3 时，求菱形 BNDM的面积解：（1）AEM 是AEM 沿 EM 翻折而成，NCF 是NCF 沿直线 NF 翻折而成，
24、AEMAEM，NCFNCF ，EMN= AMN，FNC= MNC，ADBC，AMN=MNC，EMN=FNC，MEFN；（2）由折叠得知：AE=AE，四边形 AEBN 是矩形，四边形 AEBN 的周长=2（AE+EB ）=2（AE+EB）=2AB=2a，18同理，四边形 CFDM 的周长 =2a，四边形 A?EBN 的周长=四边形 CFDM 的周长；（3）OND 是由CND 折叠得到的，OD=CD=a，同理，OB=a，BD=2a在BCD 中，C=90 ，由勾股定理得，BC2+CD2=BD2，b2+a2=（2a） 2 ；（4）当 a= 时，CD= ， BC=3，在菱形 BNDM 中，DN=BN ，设 DN=BN=x，则 CN=3x在DCN 中，C=90，由勾股定理得，NC2+CD2=ND2 ，解得，x=2，菱形 BNDM 的面积=
