1、习 题 411求解下列微分方程1） 224xpy)(dxyp解 利用微分法得 01)(当 时，得0dpxxc从而可得原方程的以 P 为参数的参数形式通解224ypxc或消参数 P，得通解)2(1cy当 时，则消去 P，得特解 0xp2xy2） ； 2()ylnxpd解 利用微分法得 ()0plx当 时，得 0pdxcp从而可得原方程以 p 为参数的参数形式通解：或消 p 得通解 2()ylnpxc 2yClnx当 时，消去 p 得特解 0l21()4l3） 21pxycxdy解 利用微分法，得两边积分得xdp21cP21由此得原方程以 P 为参数形式的通解：，21(pxy.122cxp或消去
2、P 得通解 22)(CX1 用参数法求解下列微分方程1） 4522dxy解 将方程化为 令 22154dxy2sinyt2cos5dytx由此可推出 从而得(si)22co2cosdxdydtdtttctx25因此方程的通解为 ，52xtc2sinyt消去参数 t，得通解 2sin()5yxC对于方程除了上述通解，还有 ， ，显然2y0dxy和 是方程的两个解。2y2） 23()1dx解：令 ，ucsuxycot3又令 则tan2t t21sinduudy322sinco1ct3dttt222113tt)(43积分得， 2211(ln)yttc22(4ln)83ttC由此得微分方程的通解为，t
3、x212211(4ln)83yttc3） dx)(解：令 则tytxt234解得 又314tx 322332 )1(6)(tttdyt dutut 333)(1)1(62231()(6udud228()yC32381(1)Ctt由此得微分方程的通解为， 。314tx32381(1)ytt习题 421得用 P判别式求下列方程的奇解：2） 2)(dxyy解：方程的 P判别式为2,0xp消去 p，得 42xy经验证可知 是方程的解。2令 则有 ，2),(pxypxF2(,)14yxF2“(,)4pxF和2(,)04p因此，由定理 4.2 可知， 是方程的奇解。241xy2） 2)(dxy解：方程的
4、P判别式为，2pxy0消去 P，得 ，而 不是方程的解，故 不是方程的奇解。2xy2xy2xy3） qd4)(12解：方程的 P判别式为，9)(2py0)1(2py消去 P，得 ，显然 是方程的解，0令 则有ypyxF94)1(),(2 409y “(,0)2pFx和 (,)px因此，由定理 4.2 知， 是方程的奇解。y2举例说明，在定理 4.2 的条件 (,)(0yFx中的两个不等式是缺一不可的，“(,)(0pFx解：考虑方程 2ydx方程（1）的 P判别式为消去 P，得02yp0p0)(xy令 ，于是有 2),(yxF,2pFy(,)2pFxp因此虽然有 和“,py“()x 0但是 (0
5、)yx又 虽然是方程的解，且容易求出方程（1）的通解为 xye因此容易验证 却不是奇解。因此由此例可看出。定理 4.2 中的条件y是不可缺少的。(),0yFx又考虑方程 ydx)sin(方程（2）的 P判别式为 p()0cosyp消去 P，得 。令 于是有 ，0yyF)si(),( ,)()1yFxpcosy因此，虽然有(,)pFxcosp“2in()px和 但 ，而经检验知 是方程 1y(,0)“,0p 0y（2）的解，但不是奇解。因此由此例可看出定理 4.2 中的条件是不可缺少的。“(,)(pFx3研究下面的例子，说明定理 4.2 的条件 是不可缺少 (,)(0pFx的 312()yxy解
6、：方程的 P判别式为3p02p消去 P，得 xy检验知 不是解，故不是奇解，而 虽然是解，但不32 32xy是奇解。令 31),(pxypxF， 1y 2(,)F， 所以虽有“(,)2px ,03yF“(,)4px但是 2,因此此例说明定理 4.2 的条件 是不可缺少的。 (,)(0pFx习题 431试求克莱罗方程的通解及其包络解：克莱罗方程 （1）)(pfxy)(dxy其中 。“()0fp对方程（1）求导值 0)(dxfx由 即 时 代入（1）得（1）的通解dxc（2）)(fcy它的 C判别式为 0)(cfxy由此得 ， :()xf()()fcfc令 故(,)()Vxycfyx(),1yvc
7、所以 又(,)(0,y（由于 ）“),()0,cfcf0)(“cf因此 满足定理 4.5 相应的非蜕化性条件。故 是积分曲线族（2）的一支包络。课外补充1求下列给定曲线族的包络。1） 4)()(22cyx解：由相应的 C判别式22(,)()0Vccxyxcy消去 C 得 C判别曲线 8)(2它的两支曲线的参数表示式为： ，1cx2cy： ，2 2对 ，我们有1(),(1,)(0,c),xVc(2()2yc ),(0,)xyvVc因此 满足定理 4.5 的相应的非蜕化条件，同理可证， 也满足定理 4.5 的相1 2应的非蜕化条件，故 ， 是曲线族的两支包络线。122 cycx4)(2解：由相应的
8、 C判别式2(,)(40Vxycyc)cx消去 C 得 C判别曲线 它的两支曲线的参数表示式为)1(2xy，1:2xcc， 2y对 ，我们有 1 1(),(,)(0,cc (,),(4,1)(0.xyVvVc因此 满足定理 4.5 的相应的非蜕化条件，同理可证， 也满足定理 4.5 的相1 2应的非蜕化条件，故 ， 是曲线族的两支包络线。123. 证：就克莱罗方程来说，P判别曲线和方程通解的 C判别曲线同样是方程通解的包络，从而为方程的奇解。证：已知克莱罗方程的形式为（1）)(pfxy)0(“,(pfdxy（1）的通解为 （2）)c（2）的包络由 确定，(fy)(cf即为 （3）)cfy又知方程（1）还有解 0)(pfx )(pfxy由此得 ， （4）)(pfx)(fcy而（4）是方程（1）的 P判别曲线，它和（3）有相同的形式，因而同样是通解（2）的包络，消去 P 得方程（1）的奇解。
