1、第一章 绪论 1.21. 什么是博弈论?博弈有哪些基本表示方法?各种表示法的基本要素是什么?（见教材）2. 分别用规范式和扩展式表示下面的博弈。 两个相互竞争的企业考虑同时推出一种相似的产品。如果两家企业都推出这种产品，那么他们每家将获得利润 400 万元；如果只有一家企业推出新产品，那么它将获得利润 700 万元,没有推出新产品的企业亏损 600 万元；如果两家企业都不推出该产品，则每家企业获得 200 万元的利润。 企业 B 推出 不推出 推出 (400,400) (700,-600)企业 A不推出 (-600,700)(-500,-500)3. 什么是特征函数? （见教材） 4. 产生“
2、囚犯困境”的原因是什么？你能否举出现实经济活动中囚徒困境的例子？ 原因：个体理性与集体理性的矛盾。 例子：厂商之间的价格战，广告竞争等。第二章 完全信息的静态博弈和纳什均衡 1. 什么是纳什均衡? （见教材） 2. 剔除以下规范式博弈中的严格劣策略，再求出纯策略纳什均衡。 先剔除甲的严格劣策略 3,再剔除乙的严格劣策略 2,得如下矩阵博弈。然后用划线法求出该矩阵博弈的纯策略 Nash 均衡。 乙 甲 1 31 2,0 4,22 3,4 2,33. 求出下面博弈的纳什均衡。 乙 L RU 5,0 0,8甲 D 2,6 4,5由划线法易知，该矩阵博弈没有纯策略 Nash 均衡。 由表达式(2.3.
3、13)(2.3.16)可得如下不等式组 Q=a+d-b-c=7,q=d-b=4,R=0+5-8-6=-9,r=-1将这些数据代入(2.3.19)和(2.3.22),可得混合策略 Nash 均衡( ),( )4. 用图解法求矩阵博弈的解。 解：设局中人 1 采用混合策略(x,1-x),其中 x0,1,于是有: ,其中 F(x)=minx+3(1-x),-x+5(1-x),3x-3(1-x) 令 z=x+3(1-x),z=-x+5(1-x),z=3x-3(1-x) 作出三条直线，如下图，图中粗的折线，就是 F(x)的图象 由图可知，纳什均衡点与 1 无关，所以原问题化为新的 2*2 矩阵博弈：由公
4、式计算得： 。 所以该博弈的纳什均衡点为（2/3，1/3），（0，1/2，1/2），博弈的值为1。 5. 用线性规划法求矩阵博弈的解。 将矩阵中的所有元素都加 4,得将数据代入(2.4.34)和(2.4.35)可得局中人 1 的混合策略,(0.45,0.24,0.31), 将数据代入(2.4.36)和(2.4.37)可得局中人 2 的混合策略,(0.31,0.24,0.45)6. 某产品市场上有两个厂商，各自都可以选择高质量，还是低质量。相应的利润由如下得益矩阵给出： (1) 该博弈是否存在纳什均衡？如果存在的话，哪些结果是纳什均衡?由划线法可知，该矩阵博弈有两个纯策略 Nash 均衡，即(低
5、质量, 高质量)， (高质量,低质量)。 乙企业 高质量 低质量 高质量 50,50 100,800甲企业 低质量 900,600 -20,-30该矩阵博弈还有一个混合的纳什均衡 Q=a+d-b-c= -970,q=d-b= -120,R= -1380,r= -630，可得 ? 因此该问题的混合纳什均衡为 。 (2) 如果各企业的经营者都是保守的，井都采用最大最小化策略，结果如何?乙企业 高质量 低质量 高质量 50,50 100,800甲企业 低质量 900,600 -20,-30?(高质量, 高质量),(低质量,低质量)。 7. 甲、乙两人就如何分 100 元钱进行讨价还价。假设确定了以下
6、规则：双方同时提出自己要求的数额 s1 和 s2，0s1，s2100。如果 s1+s2100，则两人各自得到自己所提出的数额；如果 s1+s2100，双方均获得 0 元。试求出该博弈的纳什均衡。 该博弈的纳什均衡为下图的线段 AB：即：s1+s2=100,s1,s20,100。 8. 假设古诺寡头垄断模型中有 n 个企业，令 qi 表示企业 i 的产量，且 Q=q1+qn 表示市场总产量，p 表示市场出清价格，并假设逆需求函数由 p(Q)=a-Q 给出（设 Q10。此时乙企业的收益为 100+a。 11. 假设有一博弈 G=N,S,P，其中 N=1,2,S1=10,20,S2=0,15,， 。
7、试求出最优反应函数，并求出均衡点。 解：令 , ，得最优反应函数：由此进一步可求得 ，它们在题设要求的可行域内,所以均衡点为（330/23,80/23）。 12. 证明教材中定理 2.4.6。 证明:设矩阵博弈 G1 的纳什均衡为(X*,Y*),其中 X*=(x1,x2,xm),Y*=(y1,y2,yn),由纳什均衡的定义,有 ,即。由于 d 是常数,因此有。显然不等式是成立的,此即为 。所以(X*,Y*)是矩阵博弈 G2 的纳什均衡点,并且 第三章 纳什均衡的扩展与精炼 1. 什么是完全信息和不完全信息？什么是完美信息和不完美信息？在海萨尼转换中，自然对局中人类型的确定都是有限的吗？举例说明
8、。(见教材)2. 什么是重复博弈中的策略?什么是一个重复博弈中的子博弈?什么是一个子博弈完美纳什均衡? (见教材)3. 以下（虚线框中的）子博弈的划分是否正确?答：两个扩展式中的子博弈划分均不正确，图 1 中的划分对同一信息集产生了分割，图 2 中的子博弈不是开始于单节信息集的决策结点。 4. 在双寡头古诺模型中,设逆需求函数为 p=a-Q,其中 Q=q1+q2 为市场总需求,但 a 有 aH 和 aL 两种可能的情况,并且企业 1 知道 a 究竟是 aH 还是 aL,而企业2 只知道 a=aH 和 a=aL 的概率分别是 和 1-,该信息是双方都知道的。双方的总成本函数分别是 cq1 和 c
9、q2。如果两企业同时选择产量,双方的策略空间是什么？试计算出贝叶斯纳什均衡。 假设企业 2 的产量为 q2，企业 1 将选择 q1 最大化利润函数（这里 a 取 aH 或 aL）由此得：企业 2 将选择 q2 最大化它的期望利润由此得： 在均衡时，q1，q2 应满足由此得：企业 1 的策略为：企业 2 的策略为：因此博弈的贝叶斯纳什均衡是：当 a=aH 时，企业 1 生产 ；当 a=aL 时，企业1 生产 ，企业 2 生产 。5. 在下面的静态贝叶斯博弈中,求出所有的纯策略贝叶斯纳什均衡。 (1) 自然决定收益情况是由博弈 1 给出，还是由博弈 2 给出，选择每一博弈的概率相等； (2) 局中
10、人 1 了解到自然选择了博弈 1，还是选择了博弈 2，但局中人 2 不知道；(3) 局中人 1 选择行动 T 或 B，同时局中人 2 选择行动 L 或 R； (4) 根据自然选择的博弈，两局中人得到相应的收益。 L R L RT 1,1 0,0 T 0,0 0,0B 0,0 0,0 B 0,0 2,2博弈 1 博弈 2自然选择了博弈 1 时，局中人 1 选择 T，自然选择了博弈 2 时，局中人 1 选择B。 局中人 2 的策略是根据期望收益最大的原则确定。 局中人 2 的选择策略 L 的期望收益为 0.51+0.50=0.5，选择策略 R 的期望收益为 0.50+0.52=1，因此局中人 2
11、会选择策略 R。 该博弈的纯策略贝叶斯纳什均衡为：自然选择博弈 1 时，局中人 1 选择 T，自然选择博弈 2 时，局中人 1 选择 B；局中人 2 会选择策略 R。 6. 在一个由三寡头操纵的垄断市场中，逆需求函数为 p=a-q1-q2-q3，这里 qi是企业 i 的产量。每一企业生产的单位成本为常数 c。三企业决定各自产量的顺序如下：(1)企业 1 首先选择 q10；(2)企业 2 和企业 3 观察到 q1，然后同时分别选择 q2 和 q3。试解出该博弈的子博弈完美纳什均衡。 答：该博弈分为两个阶段，第一阶段企业 1 选择产量 q1，第二阶段企业 2 和 3观测到 q1 后，他们之间作一完
12、全信息的静态博弈。我们按照逆向递归法对博弈进行求解。 （1）假设企业 1 已选定产量 q1，先进行第二阶段的计算。设企业 2，3 的利润函数分别为： 由于两企业均要追求利润最大，故对以上两式分别求一阶条件： （1） （2） 求解（1）、（2）组成的方程组有： （3） （2）现进行第一阶段的博弈分析： 对与企业 1，其利润函数为； 将（3）代入可得： （4） 式（4）对 q1 求导： 解得： （5） 此时，（3）将式（5）代回（3）和（4）有该博弈的子博弈完美纳什均衡： ,7. 如果将如下的囚徒困境博弈重复进行无穷次，惩罚机制为触发策略，贴现因子为 。试问 应满足什么条件，才存在子博弈完美纳什均
13、衡？ 乙 甲 坦白 不坦白 坦白 4,4 0,5不坦白 5,0 1,1由划线法求得该博弈的纯策略纳什均衡点为(不坦白,不坦白)，均衡结果为(1,1)，采用触发策略，局中人 i 的策略组合 s 的最好反应支付=5,Pi(s*)=4，Pi(sc)=1。若存在子博弈完美纳什均衡，必须满足： ，即只有当贴现因子 1/4 时，才存在子博弈完美纳什均衡。 8. 假设有一博弈 G=N,S,P,其中 N=1,2,S1=0,50,S2=0,50,， ,i=1,2。(1)求纳什均衡点;(2)在纳什均衡下的最优反应函数;(3)若该博弈重复无限次,是否存在触发策略构成的子博弈完美纳什均衡,其条件是什么？ 解：局中人
14、1,2 的最优反应函数分别为: s1=5+1/2s2 s2=20/3+1/3s1由此得唯一的纯策略纳什均衡点:sc=(10,10).相应的有 P(sc)=(1000,1500).容易求得 s*=(35,30),相应的有 P(s*)=(1750,3000), .当 时，存在触发策略构成的子博弈完美纳什均衡(s*,sc)9. 求如图所示完全信息动态博弈的子博弈完美纳什均衡（图中数字(a,b,c)分别表示局中人 1、2、3 的收益）。 答：局中人 1 采取 A2 行动，局中人 2 采取行动 B1 时，局中人 3 必然采取 C2 行动（因为 32），因而该博弈的顶点只能是(2,1,9)。进而原博弈简化
15、为： 这时,假设局中人 1 采取行动 A1，对于左边一个子博弈，局中人 3 必定采取行动 C2(31),因而在该子博弈顶点的结果只会是(7,6,6).进而,该博弈又简化为： 这时，局中人 1 必然选择行动 A2(1max0,s-c1，即 Pmax(c1+c2)/r, (s+c2)/r时原告的诉讼威胁是可信的。 11. 在伯川德模型中,假定有 n 个生产企业,需求函数为 (b0),其中 pi 是企业 i 的定价,qi 是企业 i 的需求量。假设企业生产没有固定成本,并且边际成本为常数 c,c1000 这时是帕累托占优思想起主要作用。都会选择行动 2。 第五章 合作博弈 1. 设三人联盟博弈的特征
16、函数 v 的值是：v(i)=0,i=1,2,3;v(1,2)=2/3,v(1,3)=7/12,v(2,3)=1/2, v(1,2,3)=1。求出该联盟博弈的核心，并用图形表示出来。 2. 假设有一 3 人合作博弈，其特征函数为：v(1, 2, 3)=200,v(1,2)=150,v(1,3)=110,v(2,3)=20,v(1)=100,v(2)=10,v(3)=0。计算该合作博弈的 Shapley 值，核心，最小 -核心，稳定集，内核和核仁。 3. 考虑有如下特征函数 v 的 4 人合作博弈： v(1,2, 3, 4)=2,v(1, 2, 3)= 1, v(1, 2, 4)=2, v(1,
17、3, 4)=0, v(2, 3, 4)=1,v(1, 2)=0, v(1,3)=-1, v(1,4)=1,v(2,3)=0,v(2,4)=1,v(3,4)=0,v(1)=-1,v(2)=0,v(3)=-1,v(4)=0. 4. 证明下面的 10 人博弈 v 不具有稳定集。 设 N=1,2,10，N 上博弈 v 的特征函数为:v(N)=5,v(1,3,5,7,9)=4,v(3,5,7,9)=v(1,5,7,9)=v(1,3,7,9)=3,v(1,4,7,9)=v(3,6,7,9)=v(2,5,7,9)=2,v(3,5,7)=v(1,5,7)=v(1,3,7)=2,v(3,5,9)=v(1,3,9
18、)=v(1,5,9)=2,v(1,2)=v(3,4)=v(5,6)=v(7,8)=v(9,10)=1,v(i)=0, iN,v(S)=0,对任意其它的联盟 S N。 5. 五个人（分别用 1,2,3,4,5 表示）拟合伙开公司，经测算，一年可获利润100 万。你认为应如何分配？试用合作博弈的方法给出此问题的分配方案。 S v(S) S v(S) S v(S) S v(S)123451,21,3000510051,52,32,42,53,43,54,5201525303035451,2,41,2,51,3,41,3.51,4,52,3,42,3,5354040455550553,4,51,2,3
19、,41,2,3,51,2,4,51,3,4,52,3,4,51,2,3,4,57060657580901001,4 15 1,2,3 25 2,4,5 65 06. 某矿业集团下属有四个矿，这四个矿都需要建立一个水处理厂以处理矿井水，方案有两种：(1)各家单独建站;(2)四家联合兴建一个大型的水处理厂，用管道把矿井水输送到总站集中处理。经估算，合建一个大型水处理厂，加上敷设管道的费用，要比单独建四个小厂的总费用少。这样四家有意台作兴建一个大厂，使总费用碱少从而也使各自的建设费用减少。但合建大厂的方案能否实施，显然要看总的建设费用分摊得是否合理。如果某个矿分摊到的费用比单独建厂的费用还多，它显然
20、不会接受合作的方案。问题是如何合理地分摊费用，使合怍兴建大厂的方案得以实现。 经测算得知，建设水厂的费用主要由三部分组成。土建、设备和管道；在该矿区建设一个大型水厂的总投资费用为 318 万元。如单独建厂，1 矿需投资 166万元；2 矿需投资 63 万元；3 矿需投资 120 万元；4 矿需投资 100 万元。进一步测算得具体数据如下： C(N)=318,C()=0,C(1)=l66,C(2)=63,C(3)=120,C(4)=l00,C(1,2)= 200, C(1,3)=228,C(1,4)=226,C(2,3)=150,C(2,4)=150,C(3,4)=175,C(1,2,3)=258，C(1,2,4)=280,C(2,3,4)=230,C(1,3,4)=285.这里 C(i,j)和 C(i,j,k)分别表示第 i,j 个矿和第 i,j,k 个矿联合建厂时所发生的费用(i,j,k=1,2,3,4) ，C(N)表示所有四家工厂联合时的费用，C(i)表示第 i 个矿单独建厂时的费用，C()表示不建厂时的情形。
