1、数形结合思想在高中数学教学中的应用 主要说明数形结合思想是高中数学的重要思想之一，数形结合方法是重要的一种解题方法。主要介绍数形结合思想在解决函数、方程、不等式、解析几何等问题的应用。 数形结合思想函数不等式方程解析几何数形结合是数学的本质特征，我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非。”数形结合是根据数的结构特征，构造出与之相适应的几何图形，并利用图形的特征和规律，解决数的问题，或将图形信息部分或全部转化成代数信息，削弱或清除形的推理部分，使要解决的形的问题转化为数量关系的讨论。 数形结合思想是采用了代数方法和几何方法的最好方面：几何图形形象直观，便于理解；代数方法的一般
2、性，解题过程的程序化，可操作性强，数形结合的思想方法是学好中学数学的重要思想方法之一。因此，研究数形结合思想是相当必要的。数形结合的思想方法是数学教学内容的主线之一，应用数形结合的思想可以解决以下问题。 一、数形结合思想解决函数值域 例1.求函数f（x）=sinxcosx-2（0x） 的值域 分析：观察函数的形式，可将其转化成求斜率范围问题。 如图所示，设动点P（cosx，sinx），定点A（2，0），则直线PA的斜率为所求。即-3，0 小结：形如f（x）=ax2+bcx2+d（a，c 均不为零）、f（x）=amx+bcmx+d （a，c均不为零） 等函数求值域问题均可。 二、数形结合思想解决
3、方程问题 三、数形结合思想解决不等式问题 例3.设f（x）=x22ax+2，当x1，+）时，f（x）a恒成立，求a的取值范围. 解法一：由f（x）a在x1，+）上恒成立x22ax+2a0在x1，+）上恒成立。因此考查函数g（x）=x22ax+2a的图象在x1，+）时位于x轴上方.如图两种情况： 不等式的成立条件是：（1）=4a24（2a） （2）0 a g（-1）0 a（3，2，综上所述a（3，1）. 四、数形结合思想解决比较大小问题 例4.设方程2x+x=0的实根为a，方程log2x+x=0的实根为b，方程log2x-1x=0的实根为c，则（） A、a C、b 分析：将函数f（x）=2x，f
4、（x）=log2x，f（x）=1x，f（x）=-x的图像画在同一坐标系中，即得A 五、数形结合思想解决证明问题 例5.已知acos+bsin=c， acos+bsin=c（ab0，k， kZ）求证：cos2-2=c2a2+b2. 分析：解决此题的关键在于发现条件的几何意义，由条件式的结构联想到直线方程，进而由A、B两点坐标特点知其在单位圆上，从而才能巧用数形结合方法完成解题. 证明：在平面直角坐标系中，点A（cos，sin）与点B（cos，sin）是直线l：ax+by=c与单位圆x2+y2=1的两个交点如图. 从而：|AB|2=（coscos）2+（sinsin）2 =22cos（） 又单位圆的圆心到直线l的距离d=|c|a2+b2由平面几何知识知|OA|2（12|AB|）2=d2即 1-2-2cos（-）4=d2=c2a2+b cos2-2=c2a2+b2. 总之，在教学过程中对“数”与“形”关系的揭示与转化，有利于启发学生深刻认识数学问题的实质数学知识的精髓，才能让学生能灵活运用数形结合思想解决数学问题，从而提升能力。 参考文献： 1学习方法报，语数教研周刊.2011，（8）. 2数学学习与研究，教研版.2009，（8）.第 3 页 共 3 页
