1、浅谈三角函数问题求解方法三角函数是现在高中数学中重要的初等函数之一，它是沟通着代数问题和几何问题的一个桥梁，但是三角函数的最值问题涉及的范围广，解题的方法典型独特，问题多种多样，并且有些解题方法又有较强的技巧性，这让学生无法根据题设条件选择适当的方法，所以我们在解题过程中，常常会遇见忽视题设条件，知识概念模糊，方法应用不当等一些这样类型的错误。本文中我整理了几种求三角函数最值的几种方法，并且对何种类型的题适合用何种方法求解做了总结。三角函数最值的解法我们学了数学之后，知道三角函数最值问题是其中基础知识的一个重要应用，是对三角函数的概念、图像、同角间的基本关系、两角的和差公式的考察。我们在解决这
2、类问题时可以通过适当的三角变换，均值不等式，构造成普通函数或者图形，再利用三角函数的基本性质或者常用的方法去求解。下面的论文中我对此类问题总结了八种经常用的方法：1、有界性，2、数型结合法，3、二次函数法，4、基本不等式法，5、判别式法，6、构造函数法，7、求导法，8、反函数法，但是这些方法不是解决此类问题的所有方法，我们可以在一道题中运用多种方法解答。(一) 利用三角函数的有界性求解三角函数的有界性是三角函数中的最基本的性质， 如果函数的表达式中只存在余弦函数（或正弦函数）作为自便量时，我们首先要对函数进行整理，将函数中的余弦函数（或正弦函数）用 y 来表示，这时就可以直接利用函数的有界性得
3、出 y 的取值范围，从而得出最值。例 1 求函数 的最值。sin3x解 由函数 可知， ， isn3yx1y将原式变形，得 （1）则 ，因isin3x3sin1yx为 所以 化简，得 将sin1x3y2代入（1）时，得 即 当 时，2ysin1x,xnz。将 代入（1）时，得 即 当 时max2ysi,2,nz， 。in2y（二） 用数形结合法求解 有些三角函数问题中蕴涵着丰富的几何直观性，此时若能进行“数形联想”求最值，把代数条件及函数表达式分别作出解释，并选取适当的值。而这种化抽象为具体，数形渗透的方法，往往可减少复杂的推导，防止判断最值时的遗漏和失误。例 2 求 的最大，小值。sin2c
4、oxy分析 利用斜率公式 ，将 看做是定点21ykxy与动点 连接的斜率，而动点,pxycos,inx满足单位圆 ，所以问题cosin22si1x转化为求定点 到单位圆相切时取得最值，由,p原点到直线的距离公式得。解 将 表示过点 与动点sin2coxy,pxy的直线斜率用 k 来表示,所以我们设切线cos,inx方程为 ，我们知道圆心到切点的距离为半径，所以2k,整理 得 ，所以 ， 。21K473kmin473ymax473y（三） 用二次函数法求解遇到不同名函数时，往往会化不同名三角函数为同名三角函数，然后把三角函数式通过等价变形为一元二次方程，这样就可以将三角函数的问题转化为求二次函数
5、的问题。 【2】 转化为二次函数时应该注意与普通二次函数求最值的区别，因为三角函数含有隐含条件，例如 。sin1x例 3 求函数 的值域。2sinco3yx解 2i 221sco3cso2xx令 ，则原式为 配方，得：cos1txt,1ytt所以 当 时， ；当 时，2,y min5y1t；所以 函数的值域为 。max 5,1（四） 利用基本不等式法求解在利用不等式法求最值时，我们首先要注意利用不等式的“正数，定值，yxP(2,2)0相等”这三个条件，它们是缺一不可的，必须三个条件同时符合。当然我们还要注意不等式在取等号时是否成立，注意取等号的条件。例 4 求 的最小值。22221sincos
6、incoyxx解 根据三角函数的二倍角公式，变形，得 若利用221siniyx不等式 ， 则 当 时取得等号成2aby22sii立，所以 。miny（五） 利用判别法求解有些问题，可以从中找出自变量的因素或者可以表示成某一变量的函数， 然后运用万能公式求解，将两个三角函数化成一个三角函数求值域。 【2】 在解决此类问题时，我们首先要令函数，这时就将三角函数转化为求一般函数的问题，然后对其化简、整理求得解。例 5 求函数 的值域。sinco2xy解 利用三角函数之间的相互转换公式，将函数转换成同名三角函数，然后令 得 。所以 ， 当 时，tan2xtR23t230yt0y所以 且 0 。因为 时
7、， 。410yysinx所以，函数的值域为 且 。3,（六） 利用构造函数法求解在数学中构造函数的方法能拓宽思路，提高解题技能且加深了对数学内容的理解。这种方法本身体现着运用变化的辨证思想，这正是我们学习数学的一项重要任务。有些问题，从中找出作为自变量的因素，构造一个或者几个函数，使问题在新的关系下实现转化，转化为研究函数的某些特性的问题，利用函数的基本性质，解出原题。例 6 求函数 的最值。sin2xy解 令 ，因为 ，所以考察 在 上f sin1xfx1,的单调性设 ，且 则 12,x21x21212ffx所以 在区间 上单调增加 又因为214()0f,，所以 即 同理 ，则sin1xsi
8、n1fxfsin2xy3sin1x即 所以 。f2iy3minax1,（七） 利用求导法求解在数学中，这种解题方法既能拓宽思路，提高解题技能和加深对数学内容的理解，更重要的是，运用这种解题方法体现着运用变化的辨证思想。 【2】 求导法就是对原函数进行求导，然后令求导后的函数等于零。例 7 求函数 的值域。33sinco,fxx解 对原函数求导 得： 223sicoisincosicfx xx 令 ， 得 ：0304x,;则 21104ffff,1f所以函数的最大值是 1，最小值是-1，故 函数的值域为 。,（八） 利用反函数法求解求函数的值域，我们还可以利用反函数法，这种方法是要求我们先找到该
9、函数的定义域。例如我们在利用反函数法求函数的值域时要先求出函数的反函数（函数的值域是反函数的定义域） ，然后找到求得的反函数的定义域，这时的定义域就是原函数的值域了。例 8 求函数 的最小值。3cos0inxy解 化简原式 得 30x引入辅助角 ， 得 所以 1tay 1sin3yx23sin1xy由 得 或 又因为 ， 22y1cosx所以 且 故 所以 。3cos0xsinx0min2小结：对于求三角函数的最值问题，我们给出了以上几种方法，这些解法在现在的中学数学中是经常见到的，所以我们在求三角函数最值问题时可以采用这些方法，但是我们不能过分的拘泥于这些方法，在解题时我们要适当的灵活应用这些方法，从不同的途径去思考问题、探索问题，结合多种方法使其达到预期的目标。
