1、高等数学（下）知识点第 1 页 共 20 页高等数学下册知识点第五章 空间解析几何与向量代数（一） 向量及其线性运算1、 向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、共面；2、 线性运算：加减法、数乘；3、 空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式；4、 利用坐标做向量的运算：设 ， ，),(zyxaa ),(zyxbb则 , ； ),( zyxbaba ,(zxa5、 向量的模、方向角、投影：1） 向量的模： ；22zyxr2） 两点间的距离公式： 212121 )()()( zyxBA3） 方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角 ,4） 方向余弦： rzryrxcos
2、 ,cos ,cos1sscos2225） 投影： ，其中 为向量 与 的夹角。coPrajuau（二） 数量积，向量积1、 数量积： cosbaba1）22） ba0ba高等数学（下）知识点第 2 页 共 20 页zyx baba2、 向量积： c大小： ，方向： 符合右手规则sinbacba,1） 02） ba/0bazyxbbkji运算律：反交换律 ba（三） 曲面及其方程1、 曲面方程的概念： 0),(:zyxfS2、 旋转曲面：面上曲线 ，yoz ),(:zyfC绕 轴旋转一周： 0),(22zxf绕 轴旋转一周：z ),(22yf3、 柱面：表示母线平行于 轴，准线为 的柱面0),
3、(yxFz0),(zyxF4、 二次曲面高等数学（下）知识点第 3 页 共 20 页1） 椭圆锥面：222zbyax2） 椭球面： 1222czyx旋转椭球面： 222czayx3） 单叶双曲面： 1222czbyx4） 双叶双曲面： 222czyax5） 椭圆抛物面： zbyx226） 双曲抛物面（马鞍面）： zbyax227） 椭圆柱面： 122byax8） 双曲柱面： 22yx9） 抛物柱面： ayx（四） 空间曲线及其方程1、 一般方程： 0),(,zyxGF高等数学（下）知识点第 4 页 共 20 页2、 参数方程： ，如螺旋线：)()(tzytxbtzaytxsinco3、 空间曲
4、线在坐标面上的投影，消去 ，得到曲线在面 上的投影0),(,zyxGFzxoy0),(zyxH（五） 平面及其方程1、 点法式方程： 0)()()( 00 zCyBxA法向量： ，过点,Cn ,zx2、 一般式方程： Dzyx截距式方程： 1cba3、 两平面的夹角： ， ，),(11CBAn ),(22CBAn222121cosBA21 02122C21/ 212BA4、 点 到平面 的距离：),(00zyxP 0DzByAx22CBADd（六） 空间直线及其方程高等数学（下）知识点第 5 页 共 20 页1、 一般式方程： 02222 1111 DzCyBxA2、 对称式（点向式）方程：
5、pznymx00方向向量： ，过点),(pns ),(00z3、 参数式方程： ptzytx004、 两直线的夹角： ， ，),(11nms ),(222pnms222121cos ppnm21L0212221/ 212pn5、 直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角， 2222sin pnmCBA/L0pnm第六章 多元函数微分法及其应用（一） 基本概念高等数学（下）知识点第 6 页 共 20 页1、 距离，邻域，内点，外点，边界点，聚点，开集，闭集，连通集，区域，闭区域，有界集，无界集。2、 多元函数： ，图形：),(yxfz3、 极限： Ayxylim),(),(04、 连续：
6、),(),0),(),(0 yxff5、 偏导数： xyfyxfyxfx ), (), (lim),( 0000 yfffyy ),(),(li),( 00006、 方向导数： 其中 为 的方向角。coscosyfxflf,l7、 梯度： ，则 。),(xfz jyxfiyxfyxgradf y),(),(),( 0008、 全微分：设 ，则,yfdzz（二） 性质1、 函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系：偏导数存在函数可微函数连续偏导数连续充分条件 必要条件定义1 2234高等数学（下）知识点第 7 页 共 20 页2、 闭区域上连续函数的性质（有界性定理，最大最小值定理
7、，介值定理）3、 微分法1） 定义： ux2） 复合函数求导：链式法则 z若 ，则 (,)(,)(,)zfuvxyvxyvy，zxxzuzv3） 隐函数求导：两边求偏导，然后解方程（组）（三） 应用1、 极值1） 无条件极值：求函数 的极值),(yxfz解方程组 求出所有驻点，对于每一个驻点 ，令0yxff ),(0yx， ， ，),(0xfA),(0yxfB),(0yxfCy 若 ， ，函数有极小值，2CA若 ， ，函数有极大值； 若 ，函数没有极值；02BA 若 ，不定。C2） 条件极值：求函数 在条件 下的极值),(yxfz 0),(yx令： Lagrange 函数),(),(fyxL解
8、方程组 0),(yxx高等数学（下）知识点第 8 页 共 20 页2、 几何应用1） 曲线的切线与法平面曲线 ，则 上一点 （对应参数为 ）处的)()(:tzytx),(0zyxM0t切线方程为： )()()( 000 tztytx法平面方程为： 0)()00 ztzyyx2） 曲面的切平面与法线曲面 ，则 上一点 处的切平面方程为：0),(:zyxF),(0zyxM0)(,(),(,( 00000 zFzyxFzyx法线方程为： ),(),(),( 000000 zyxyxzzyx 第七章 重积分（一） 二重积分1、 定义： nk kkDfyxf 10),(limd),( 2、 性质：（6
9、条）3、 几何意义：曲顶柱体的体积。4、 计算：1） 直角坐标高等数学（下）知识点第 9 页 共 20 页，bxayyxD)()(,(2121()(,)dd,)dxaDfxyfy，dycxyx)()(,(2121()(,)d,)dycDfxyfx2） 极坐标)()(,(2121()(,)dcos,in)dDfxydf（二） 三重积分1、 定义： nk kkvfvzyxf 10),(limd),( 2、 性质：3、 计算：1） 直角坐标-“先一后二”Dyxz zfvzyxf ),(,21 d),dd),(-“先二后一”Zba yxzyfzf ),(),(2） 柱面坐标高等数学（下）知识点第 10
10、 页 共 20 页，zyxsinco(,)d(cos,in,)dfxyzvf zz3） 球面坐标cosinicossrzyrx 2(,)d(sinco,sin,cos)indfxyzvfrrrr（三） 应用曲面 的面积：DyxfzS),(),(: yyzxADd)()(122第八章 曲线积分与曲面积分（一） 对弧长的曲线积分1、 定义： 01(,)dlim(,)niiLifxysfs2、 性质：1） (,)(,)d(,)d(,)d.L LLfxyxysfxysgxys 2） 1 2(,)d(,)(,).LLLfsff ).(213）在 上，若 ，则),(),(yxgyxf(,)d(,)d.LL
11、fxysgxys高等数学（下）知识点第 11 页 共 20 页4） ( l 为曲线弧 L 的长度)sLd3、 计算：设 在曲线弧 上有定义且连续， 的参数方程为 ，),(yxfLL )(),ttyx其中 在 上具有一阶连续导数，且 ，则)(,t, 0()(22t22,d(),()d ,)Lfxysftttt（二） 对坐标的曲线积分1、 定义：设 L 为 面内从 A 到 B 的一条有向光滑弧，函数 ，xoy ),(yxP在 L 上有界，定义 ，),(yxQ nk kkL xPxyP10),(limd),( .nk kkL Qy10),(limd),( 向量形式： LL yxyxPrFd),(d)
12、,(2、 性质： 用 表示 的反向弧 , 则 LL ryxFryxFd),(d),(3、 计算：设 在有向光滑弧 上有定义且连续 , 的参数方程为),(),(yxQP，其中 在 上具有一阶连续导数，且):(),tyx )(,t,，则0(22tt,)d(,)d(),()(),()d LPxyQxyPtttQttt 4、 两类曲线积分之间的关系：高等数学（下）知识点第 12 页 共 20 页设平面有向曲线弧为 ， 上点 处的切向量的方向角为：)( tyxL为L),(yx， ， ，, )()(cos22tt )()(cos22tt则 .dcos)dLLPxQyPQ（三） 格林公式1、格林公式：设区域
13、 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成，函数 在 ),(),(yxQPD 上具有连续一阶偏导数, 则有 LD xyxPxQdd2、 为一个单连通区域，函数 在 上具有连续一阶偏导数，则G),(),(yG曲线积分 在 内与路径无关yPxQdLPxQ曲线积分 0LyA在 内为某一个函数 的全微分xyxPd),(d),(G),(yxu（四） 对面积的曲面积分1、 定义：设 为光滑曲面，函数 是定义在 上的一个有界函数，),(zyxf 定义 iiini SfSzyxf ),lmd),(102、 计算：“一单二投三代入”， ，则),(:yxzxyD),( yxzyxzyxzfSf yyx d),(),(1
14、),(,d, 22高等数学（下）知识点第 13 页 共 20 页（五） 对坐标的曲面积分1、 预备知识：曲面的侧，曲面在平面上的投影，流量2、 定义：设 为有向光滑曲面，函数 是定义在 上的有界函数， ),(),(),( zyxRzyxQzyxP定义 01(,)dlim,niiiixyiRxyzRS同理， 01(,)l(,)(niiiiyziPzP 01(,)dli(,)(niiiizxiQxyzxRS3、 性质：1） ，则211 2dddddPyzQxRyzxPyzQxRy 2） 表示与 取相反侧的有向曲面 , 则 dxy4、 计算：“一投二代三定号”， ， 在 上具有一阶连续偏导数， 在)
15、,(:yxzxyD),( ),(yxzxyD),(zyxR上连续，则 , 为上侧取“ + ”， ,d,(,)dxyRzRzxy 为下侧取“ - ”.5、 两类曲面积分之间的关系： SRQPyxRzQyP dcoscscosdd 其中 为有向曲面 在点 处的法向量的方向角。,),(z高等数学（下）知识点第 14 页 共 20 页（六） 高斯公式1、 高斯公式：设空间闭区域 由分片光滑的闭曲面 所围成, 的方向取外侧, 函数 在 上有连续的一阶偏导数, 则有,PQR yxRzQyPzyxzyx ddd d或 SzyxzRyQxP coscscos 2、 通量与散度通量：向量场 通过曲面 指定侧的通
16、量为：),(RPAyxzQydd散度： zyxAdiv（七） 斯托克斯公式1、 斯托克斯公式：设光滑曲面 的边界 是分段光滑曲线, 的侧与 的正向符合右手法则, 在包含 在内的一个空间域内具有)(),(),( zyxRzyxQzyxP连续一阶偏导数, 则有 zRyQxPyxPxQzxzyzQyR dd ddd为便于记忆, 斯托克斯公式还可写作: zRyQxPRQPzyxyxzy dddd2、 环流量与旋度高等数学（下）知识点第 15 页 共 20 页环流量：向量场 沿着有向闭曲线 的环流量为),(RQPA zRyQxPdd旋度： yPxQzyrot , , 第九章 无穷级数（一） 常数项级数1
17、、 定义：1）无穷级数： nn uu3211部分和： ，nknuS 3211正项级数： ，1n0n交错级数： ，1)(nnu2）级数收敛：若 存在，则称级数 收敛，否则称级数 发散Snlim1nu1nu3）条件收敛： 收敛，而 发散；1nu1nu绝对收敛： 收敛。1n2、 性质：1） 改变有限项不影响级数的收敛性；2） 级数 ， 收敛，则 收敛；1na1nb1)(nnba高等数学（下）知识点第 16 页 共 20 页3） 级数 收敛，则任意加括号后仍然收敛；1na4） 必要条件：级数 收敛 .（注意：不是充分条件！）1nu0limnu3、 审敛法正项级数： ，1nu0n1） 定义： 存在；Sl
18、im2） 收敛 有界；1nun3） 比较审敛法： ， 为正项级数，且1nu1nv ),321( nvun若 收敛，则 收敛；若 发散，则 发散.1n1n1n1nv4） 比较法的推论： ， 为正项级数，若存在正整数 ，当 时，1nu1nv m，而 收敛，则 收敛；若存在正整数 ，当 时，nkvu1nv1n n，而 发散，则 发散. n1n1nu5） 比较法的极限形式： ， 为正项级数，若 ，1n1nv )0( limllvun而 收敛，则 收敛；若 或 ，而 发散，则1nv1nu0limnvunvuli1n发散.1nu6） 比值法： 为正项级数，设 ，则当 时，级数 收敛；1nulunn1li
19、1l1nu则当 时，级数 发散；当 时，级数 可能收敛也可能发散.l1nl1n高等数学（下）知识点第 17 页 共 20 页7） 根值法： 为正项级数，设 ，则当 时，级数 收敛；1nulunlim1l1nu则当 时，级数 发散；当 时，级数 可能收敛也可能发散.l1n1l1n8） 极限审敛法： 为正项级数，若 或 ，则级数1nu0linunnulim发散；若存在 ，使得 ，则级数 收敛.1nup )( limllnpn 1n交错级数：莱布尼茨审敛法：交错级数： ， 满足：1)(nnu0，且 ，则级数 收敛。),321( 1nun limn1)(nnu任意项级数：绝对收敛，则 收敛。1nu1n
20、u常见典型级数：几何级数： 1 0qaqn为p -级数：p 1为np（二） 函数项级数1、 定义：函数项级数 ，收敛域，收敛半径，和函数；1)(nxu2、 幂级数：0na高等数学（下）知识点第 18 页 共 20 页收敛半径的求法： ，则收敛半径 na1lim0 ,0 ,1R3、 泰勒级数nnxfxf )(!)( 000)(0)(!)1(lim)(li 10)( nnnn xfxR展开步骤：（直接展开法）1） 求出 ；,321 ),(nxfn2） 求出 ；003） 写出 ；nnxf)(!)00)(4） 验证 是否成立。0)(!)1(lim)(li10)( nnnn xfxR间接展开法：（利用已
21、知函数的展开式）1） ；),( ,!10xnex2） ；),( ,!)12()1(si012 xnxn n3） ；),( ,)!()(cos021xxn nn4） ； , ,10xxn高等数学（下）知识点第 19 页 共 20 页5） )1 ,( ,)1(10xxnn6） ,( ,1)()l(0nn7） )1 ,( ,)(1022 xxnn8） )1 ,( ,!)()(1 xnmn nm4、 傅里叶级数1） 定义：正交系： 函数系中任何不同的两 nxxxcos,si,2cos,sin,co,sin,个函数的乘积在区间 上积分为零。 傅里叶级数： )sincos(2)(10 xbxaxfn系数： ),32,1(dsin)(1 ),0(c)( xxfbfann2） 收敛定理：(展开定理)设 f (x) 是周期为 2 的周期函数, 并满足狄利克雷 ( Dirichlet )条件:1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;2) 在一个周期内只有有限个极值点, 则 f (x) 的傅里叶级数收敛 , 且有高等数学（下）知识点第 20 页 共 20 页 为为xfxfnbxan ,2)()( ,sicos2103） 傅里叶展开：求出系数： ； ),32,1(dsin)(1 ),0(co)( xxfbfann写出傅里叶级数 ；)sincos(2)(10 xbafn根据收敛定理判定收敛性。
