1、拟柱体体积问题探究 摘要：拟柱体是高中数学人教A版新增内容台体的一般形式，通过波利亚的“怎样解题表”的思路探究了拟柱体的体积问题将柱体、锥体、球体、台体等重要立体图形有机联系起来。 关键词：拟柱体 体积 怎样解题表 在高中数学人教A版必修2中新增了台体等相关内容，台体的一般形式是拟柱体，因而，探究拟柱体的一般性质对于理解台体内容是极其有意义的。下面，我们尝试着用波利亚的“怎样解题表”的思路来探究拟柱体体积问题，以求加深对台体性质的理解。 如图1，设拟柱体两底面积为S1和S2，中截面面积为S3，高为h，求拟柱体的体积V。 （注：所有的顶点都在两个称为底的平行平面上的多面体叫做拟柱体，两底面间的距
2、离叫做高，与两底平行且等距的截面为中截面） 首先确定目标，要求什么？拟柱体的体积V 它不是棱柱、也不是棱锥，似棱台却又非棱台，在思维中的位置不妨用一个单点V象征性的表示出来。 看已知，你有什么条件或工具？ 一方面是题目中给出的4个已知量S1，S2，S3，h。 另一方面是已学过的棱柱、棱锥以及拓展的棱台体积公式，并积累有求空间立体图形体积的基本方法和经验。现在我们需要寻找的是V与S1，S2，S3，h之间的联系（图2），但显然，目前它们之间无法直接产生关联，意味着我们的问题尚未解决。 拟柱体是规则几何体吗？ 我们已学过棱柱、棱锥甚至棱台的体积公式，但拟柱体的几何结构（拟柱体的定义）告诉我们，以上规
3、则立体图形只是拟柱体的特殊情形而已，无法直接运用公式时，故而我们需要转换思维。 那么，针对非规则几何体，求体积我们有什么方法？ 由已积累的求面积体积经验可知，当所求图形为一般图形，无法用已有公式直接求时，我们往往采用分割求和方法，分割图形至我们熟悉的图形为止，化一般为特殊。 把拟柱体进行怎样的分割呢？分割成棱柱、棱锥、棱台还是其他图形呢？ 由拟柱体的定义并结合此图，易知分割成棱台、棱柱的操作难度较大，那么不妨考虑分割成小棱锥。 如何不重不漏的分割成小棱锥？ 在分割时，我们既要顾及到上下底面，也要顾及到拟柱体的多个侧面。故而可以在中截面上任取一点O连接各顶点（图3），则将拟柱体分解为以O为公共顶
4、点的三种类型的棱锥之和，一种以上底面为底面，一种以下底面为底面，还有一种以各侧面为底面的棱锥，记分割图形的相应体积为V1，V2，V3，则此时拟柱体的体积V=V1+V2+V3。 我们在图示上引入几个新的点V1，V2，V3用斜线把它们与V联结起来，以此表示这几个量之间的联系。由此就把求V转化为求V1，V2，V3。 怎样表示V1，V2与V3呢？ 根据棱锥的体积公式（体积=底面积高）以及中截面的定义可知前面两种类型的棱锥高均为h，则此时V1，V2，可以直接求得。 问题的关键在于如何求出V3？ 由图观察知，是由多个以侧面为底的小棱锥构成，这就把求V3转化为求V3i（i=1，2，3，n）。 我们在（图5）
5、中引入V3i，用线段把V1与S1、h连结起来，表示V1能由S1、h得出，V1=S1h；类似地，V2=S2h，V3=V3i。 （图5） （图6） 此时摆在我们面前的是如何才能表示出V3i（i=1，2，3，n）？ 为了使未知数V3i（i=1，2，3，n）与已知量S3，h建立起联系，充分进行平面化的思考，若一侧面是四边形，连结对角线分解成两个三角形。因此取图中的VO -ABC来求解，以DE为ABC的中位线，则SABC=4SADE。所以 V3i=V0 - ABC=4V0 - ADE=4VA - ODE = 4SODE h=hSODE其余的V3i（i=1，2，3，n）和V31类似。 由此我们只需对V3i
6、（i=1，2，3，n）求和即能把S3，h联系起来（图6），至此，我们已在V和已知量S1，S2，S3，h之间建立起了一个不中断的联结网，故而解题的思路全部沟通。 解：如图（3）所示（辅助线），由棱锥体积公式得 V1=S1h V2=S2h V3=V3i =hS ODE =hS ODE =hS2 则拟柱体的体积公式为： V=V1+V2+V3=hS1+hS2+hS3=h（S1+4S3+S2） 拟柱体体积公式与棱锥、棱柱、台体、球等体积公式的统一性表现为以下情况： V=h（S+4S+S） V=h（0+4S+S）=Sh V=h（S+4S+S）=Sh V=（0+4？仔r+0）=？仔r V=h（S+S） 拟柱
7、体体积公式虽然几乎涵盖我们高中阶段所学图形的体积公式，但其本身也有局限性。在数学分析中存在这样一个积分式子，若S（x）是关于不超过三次的多项式，则 S（x）dx=S（n）+4S（）+S（m） 若取n=0，m=h，则 S（x）dx=S（0）+4S（）+S（h） 不妨用平行于上下底面的平面来切截几何体，记为此平面到下底面的距离，S（x）记为被截物体的截面面积，则此时几何体体积是式特殊情形中的定积分S（x）dx，而S（h），S（0），S（）刚好为上底，下底和中截面的面积。因此，如果S（x）是关于x的不超过三次的多项式，就可以运用拟柱体公式计算空间立体图形的体积，否则无法运用。 在探究拟柱体体积问题中
8、不断寻找已知量与未知量之间的联系，搭建过渡桥梁，最终达到连通状态，这也是我们解决问题的一般思路。另外拟柱体作为柱体、锥体、球体、台体等重要立体图形的一般形式，其统一性也体现了数学知识间的内在关联性，其公式作为求体积的“万能公式”应用的广泛性也是其他体积公式无法比拟的。 参考文献： 1同济大学应用数学系.高等数学M.北京：高等教育出版社，2001（10）. 2祥.初等数学复习及研究M.北京：人民教育出版社，1979（5）. 3华东师范大学数学系.数学分析M.北京：高等教育出版社，2008（4）. 作者简介： 罗晓强（1988- ），男，四川宜宾人，西华师范大学硕士研究生，主要从事数学教育研究. 汤强（1975- ），男，四川南充人，西华师范大学副教授，博士，研究方向：课程与教学论. （责编 张宇）第 6 页 共 6 页
