1、湖 州 市 高 一 数 学 竞 赛 1线封密学校姓名准考证号2017 年 湖 州 市 高 一 数 学 竞 赛 试 题 卷 (2017.5.20)考 生 注 意 ：1.请 将 密 封 线 内 的 相 关 信 息 填 写 完 整 .2.本 试 卷 共 三 大 题 （ 计 20 小 题 ） .3.用 钢 笔 、 签 字 笔 或 圆 珠 笔 作 答 .4.不 能 使 用 计 算 器 .题 号 一（ 1 10） 二（ 11 17） 三 总 分18 19 20得 分评 卷 人复 评 人一 、 选 择 题 （ 每 小 题 5 分 ， 共 50 分 ）1 已 知 全 集 2U 1x x ， 集 合 2 4 3
2、 0x x x ， 则 U （ ）A 1,3 B ,1 3, C , 1 3, D , 1 3, 2 函 数 sin 2 cosf x x x 的 值 域 为 （ ）A 1, 5 B 1,2 C 2, 5 D 5,3 3 设 sinf x x x ， 则 f x （ ）A 既 是 奇 函 数 又 是 减 函 数 B 既 是 奇 函 数 又 是 增 函 数C 是 有 零 点 的 减 函 数 D 是 没 有 零 点 的 奇 函 数4 若 2x xe ef x ， 2x xe eg x ， 则 2f x 等 于 （ ）A 2f x B 2 f x g x C 2g x D 2f x g x得 分 评
3、 卷 人湖 州 市 高 一 数 学 竞 赛 25 已 知 集 合 , ,a b c ， 1,0,1 ， 从 到 的 映 射 f 满 足 0f a f b f c ， 那 么 映 射 f 的 个 数 为 （ ）A 7 B 5 C 4 D 26 若 函 数 f x ， g x 分 别 是 R 上 的 奇 函 数 、 偶 函 数 ， 且 满 足 xf x g x e ，则 （ ）A 0 2 3g f f B 0 3 2g f f C 2 0 3f g f D 2 3 0f f g 7 已 知 函 数 sin 4f x x （ 0 ） 的 一 条 对 称 轴 是 8x ， 则 函 数 f x的 最 小
4、 正 周 期 不 可 能 是 （ ）A 9 B 5 C D 28 ABC 中 , 8,6 ACAB ， AD垂 直 BC 于 点 D， FE, 分 别 为 ACAB, 的中 点 ， 若 6DFDE ， 则 =BC （ ）A. 10 B. 132 C. 372 D. 129 设 无 穷 数 列 na ， 如 果 存 在 常 数 A ， 对 于 任 意 给 定 的 正 数 （ 无 论 多 么 小 ） ，总 存 在 正 整 数 ， 使 得 n 时 ， 恒 有 na A 成 立 ， 就 称 数 列 na 的 极 限为 A 则 四 个 无 穷 数 列 ： 2 31 2 2 2 3 2 2nn ； 4 4
5、 4 41 3 3 5 5 7 2 1 2 1n n ； 2 3 11 1 1 11 2 2 2 2n ； 1 2n ， 其 数 列 极 限 为 2 共 有 （ ）A 4个 B 3个 C 2个 D 1个10 已 知 正 实 数 ,a b满 足 2 2a b ， 则 2 2a a b 的 最 小 值 为 （ ）A 45 B 85 C 2 D 2 2 23湖 州 市 高 一 数 学 竞 赛 3二 、 填 空 题 （ 每 小 题 6 分 ， 共 42 分 ）11 关 于 实 数 x的 方 程 2017x x x 的 解 为 x 12 函 数 1 , 010 , 0x xf x f x x ， 则 1
6、lg 5f 13 已 知 数 列 na 的 前 n项 和 为 nS ， 且 满 足 11 2nn n nS a ， 设 nS 的 前 n项 和 为 n ， 则 200 14 已 知 向 量 a， b， c 满 足 0 a b c ， 且 a与 b的 夹 角 的 正 切 为 12 ， b与 c的 夹 角 的 正 切 为 13 ， 2b ， 则 a c 的 值 为 15 设 二 次 函 数 2 ,f x x bx c b c R ， 已 知 对 于 任 意 , R ， 恒 有 4sin 0f 和 6 2cos 0f 成 立 ， 则 2log 4b c 16 请 写 出 一 个 定 义 域 、 值
7、域 均 为 实 数 集 且 图 象 连 续 不 断 的 偶 函 数 ， 符 合 题 意 的一 个 函 数 为 17 已 知 数 列 na 满 足 1 2 34nn naa a *( )nN 设 *( nn nab na N , , 为 均不 等 于 2 的 且 互 不 相 等 的 常 数 ， 若 数 列 nb 为 等 比 数 列 ， 则 的 值为 得 分 评 卷 人湖 州 市 高 一 数 学 竞 赛 4三 、 解 答 题 （ 第 18 题 18 分 ， 第 19、 20 题 各 20 分 ， 共 58 分 ， 解 答 应 写 出 必 要的 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤
8、 ）18 在 ABC 中 ， 内 角 A B C, , 所 对 的 边 分 别 是 a b c, , 已 知 5 4 cos4 cosa c Cb B ， 点 D 为 边 AC 上 的 三 等 分 点 ， 且 2AD DC ( ) 求 tan 2B 的 值 ；( ) 若 10, 5b c a c ， ， 求 BD的 长 度 得 分 评 卷 人湖 州 市 高 一 数 学 竞 赛 519 设 数 列 nb 的 前 n项 和 nS 满 足1 *4 1 22 ( N )3 3 3nn nS b n （ I） 求 首 项 1b 与 通 项 nb ；（ II） 令 *( N )2nn nba n ， 证
9、明 ： *1 22 3 11 . ( ).2 3 2nnaa an n n Na a a 得 分 评 卷 人湖 州 市 高 一 数 学 竞 赛 620. 对 于 定 义 在 R 的 函 数 ( )f x ， 若 存 在 正 常 数 a， 使 得 对 任意 实 数 x， 都 有 ( ) ( )f x f x a 恒 成 立 ， 我 们 称 函 数 ( )f x 为“ a 漂 浮 函 数 ” ； ( ) 判 断 ： 对 于 正 常 数 1a ， 2( )f x x ， 3( )g x x ，1( ) 2 xh x 是 不 是 “ a漂 浮 函 数 ” ；( ) 若 函 数 ( ) cosf x kx x 是 “ 2 漂 浮 函 数 ” ， 求 k 的 取 值 范 围 ；(III) 是 否 存 在 正 常 数 a， 使 得 函 数 ( ) | 2| | 2|f x x x x 为 “ a漂 浮 函 数 ” ，若 存 在 ， 求 正 数 a的 取 值 范 围 ， 若 不 存 在 ， 请 说 明 理 由 得 分 评 卷 人
