1、14.2 二次函数的性质学业水平训练1(2014太原五中月考)如果函数 f(x) x2 bx c对任意的实数 x，都有 f(1 x) f( x)，那么( )A f(2) f(0) f(2) B f(0) f(2) f(2)C f(2) f(0) f(2) D f(0) f(2) f(2)解析：选 D.函数 f(x) x2 bx c对任意的实数 x都有 f(1 x) f( x)可知函数f(x)图像的对称轴为 x ，又函数图像开口向上，自变量离对称轴越远函数值越大，故选12D.2如果函数 y x2(1 a)x2 在区间(，4上是减函数，那么实数 a的取值范围是( )A a5 B a3C a9 D
2、a7解析：选 C.由题意知对称轴 x 4， a9.1 a23若函数 y x24 x4 的定义域为0， m，值域为8，4，则 m的取值范围是( )A(0,2 B(2,4)C0,4 D2,4解析：选 D.由图像知对称轴为 x2， f(0)4， f(2)8， f(4)4，若函数在0， m上有最小值8， m2.若函数在0， m上有最大值4， f(0) f(4)4， m4.综上知：2 m4.4(2014辽宁省实验中学一诊)若函数 y ax与 y 在(0，)上都是减函数，bx则 y ax2 bx在(0，)上( )A单调递增 B单调递减C先增后减 D先减后增解析：选 B.由于函数 y ax与 y 在(0，)
3、上均为减函数，故 a0， b0，故bx二次函数 f(x) ax2 bx的图像开口向下，且对称轴为 x 0，故函数 f(x)b2a ax2 bx在(0，)上单调递减25函数 y 的单调减区间为( ) x2 2x 3A(，1) B(1，)C1,1 D1,3解析：选 D.令 y ， u x22 x30，则 x1,3，u当 x1,1时， u x22 x3 增加， y 增加；u当 x1,3时， u x22 x3 减小， y 减小u6函数 f(x)| x|(1 x)在区间 A上是增函数，那么区间 A是_解析： f(x)| x|(1 x)Error!可得函数 f(x)在区间(，0)及 上为12， )减函数，
4、在区间 上为增函数0，12答案： 0，127(2014西安中学月考)如果函数 f(x) ax23 x4 在区间(，6)上单调递减，则实数 a的取值范围是_解析：(1)当 a0 时， f(x)3 x4，函数在定义域 R上单调递减，故在区间(，6)上单调递减(2)当 a0 时，二次函数 f(x)图像的对称轴为直线 x .因为 f(x)在区间(，6)32a上单调递减，所以 a0，且 6，解得 0 a .综上所述，0 a .32a 14 14答案：0 a148已知二次函数 f(x)的二次项系数 a0，且不等式 f(x) x的解集为(1,2)，若f(x)的最大值为正数，则 a的取值范围是_解析：由不等式
5、 f(x) x的解集为(1,2)，可设 f(x) x a(x1)( x2)( a0)， f(x) a(x1)( x2) x ax2(3 a1) x2 a a(x )2 2 a，3a 12a 3a 1 24a其最大值为 2 a， 3a 1 24a若 2 a0，可得 8a2(3 a1) 2， 3a 1 24a即 a26 a10，解得 a32 或 a32 .2 2答案：(，32 )(32 ，0)2 29已知函数 f(x) x22 ax2， x5,5(1)当 a1 时，求函数 f(x)的最大值和最小值；(2)求实数 a的取值范围，使 y f(x)在区间5,5上是单调函数解：(1)当 a1 时， f(x
6、) x22 x2( x1) 21， x5,5， x1 时， f(x)的最小值为 1；x5 时， f(x)的最大值为 37.(2)函数 f(x)( x a)22 a2的图像对称轴为 x a， f(x)在区间5,5上是单调函数， a5 或 a5，故 a的取值范围是a5 或 a5.310某公司生产一种产品每年需投入固定成本为 0.5万元，此外每生产 100件这种产品还需要增加投入 0.25万元经预测知，当售出这种产品 t百件时，0 t5，则销售所得的收入为 万元；若 t5，则销售所得的收入为 万元(5t12t2) (18t 232)(1)若该公司的这种产品的年产量为 x百件( x0)，请把该公司生产
7、并销售这种产品所得的年利润 y表示为当年年产量 x的函数；(2)当年产量为多少时，当年公司所获利润最大？(3)当年产量为多少时，当年公司不会亏本？(取 为 4.64)21.562 5解：(1)当 0 x5 时， f(x)5 x0.5 x2(0.50.25 x)0.5 x24.75 x0.5.当 x5 时， f(x) x (0.50.25 x)0.125 x11.18 232 f(x)Error!(2)当 0 x5 时， f(x)0.5 x24.75 x0.50.5( x4.75) 210.781 25，当 x4.75 时， f(x)max10.781 25.当 x5 时， f(x)0.125
8、x110.12551110.37510.781 25.当年产量为 4.75百件时，当年公司所获利润最大，最大利润为 10.781 25万元(3)由题意知 f(x)0，当 0 x5 时，0.5 x24.75 x0.50，即 4.75 x 4.75，21.562 5 21.562 50.11 x9.39，又 0 x5，0.11 x5.当 x5 时，0.125 x110，5 x88.综上可得，0.11 x88.高考水平训练1(2014人大附中期中考试)已知函数 f(x) ax22 ax1( a0)，若 f(m)0，则f(m2)与 1的大小关系为( )A f(m2)1 B f(m2)1C f(m2)1
9、 D f(m2)1解析：选 C.二次函数的对称轴为 x1， f(m) f(2 m)0，且 f(0)10，2 m0，2 m0.二次函数在区间(0，)上为增函数，故 f(2 m) f(0)1，故选 C.2(2014衡水高一检测)若函数 f(x)满足下列性质：(1)定义域为 R，值域为1，)(2)图像关于 x2 对称(3)对任意 x1， x2(，0)，若 x1 x2，都有 f(x1) f(x2)请写出函数 f(x)的一个解析式_(只要写出一个即可)解析：函数最小值为 1，图像关于 x2 对称，在(，0)上为减函数， f(x)( x2) 21( f(x) a(x2) 21( a0)均可)答案： f(x
10、)( x2) 21( f(x) a(x2) 21( a0)均可)3已知二次函数 f(x) x22 x2， x t， t1，( tR)，试求 f(x)的最小值g(t)解： f(x) x22 x2( x1) 21，当 t11，即 t0 时，由图(1)知，截取减区间上的一段， g(t) f(t1) t21；当 12，即 t1时，由图(3)可知，截取增区间上的一段， g(t) f(t) t22 t2.综上可知， g(t)Error!4已知函数 f(x) ax24 x1.(1)若 a2，求当 x0,3时，函数 f(x)的值域；(2)若 a2，当 x(0,1)时， f(1 m) f(2m1)0 恒成立，求
11、 m的取值范围；(3)若 a为非负数，且函数 f(x)是区间0,3上的单调函数，求 a的取值范围解：(1)当 a2 时， f(x)2 x24 x12( x1) 23.所以 f(x)在0,1上单调递减，在(1,3上单调递增，所以 f(x)的最小值是 f(1)3.又因为 f(0)1， f(3)5，所以 f(x)的值域是3,5(2)因为 a2，所以由(1)可知： f(x)在0,1上单调递减因为当 x(0,1)时， f(1 m) f(2m1)0 恒成立，所以 f(1 m) f(2m1)，可得Error!解得 m .12 23所以 m的取值范围是 m .12 23(3)因为 f(x) ax24 x1，当 a0 时， f(x)4 x1.所以 f(x)在0,3上单调递减；当 a0 时， f(x) a(x )2 1.2a 4a因为 f(x)为0,3上的单调函数，可得Error!或 Error!解得 0 a .23由可知， a的取值范围是0， 23
