1、14.1.1 利用函数性质判定方程解的存在(建议用时：45 分钟)学业达标一、选择题1. 函数 f(x)2 x3 x 的零点所在的一个区间是( )A(2，1) B(1,0)C(0,1) D(1,2)【解析】 因为函数 f(x)的图像是连续不断的一条曲线，又 f(1)2 1 30， f(0)10，所以 f(1) f(0)0，故函数零点所在的一个区间是(1,0)故选 B.【答案】 B2. 函数 f(x) 的零点有( ) x 1 ln xx 3A0 个 B1 个C2 个 D3 个【解析】 由 f(x) 0 得 x1， x 1 ln xx 3 f(x) 只有一个零点 x 1 ln xx 3【答案】 B
2、3. 若函数 f(x) x22 x a 没有零点，则实数 a 的取值范围是( )A a1C a1 D a1【解析】 由题意知， 44 a1.【答案】 B4. 函数 f(x)log 3x x3 零点所在大致区间是( )A(1,2) B(2,3)C(3,4) D(4,5)【解析】 f(x)log 3x x3， f(1)log 311320，f(4)log 3443log 3410，f(5)log 3553log 3520，函数 f(x)log 3x x3 零点所在大致区间是(2,3)故选 B.2【答案】 B5. 设函数 f(x) xln x(x0)，则 y f(x)( )13A在区间 ，(1，e)
3、内均有零点(1e， 1)B在区间 ，(1，e)内均无零点(1e， 1)C在区间 内无零点，在区间(1，e)内有零点(1e， 1)D在区间 内有零点，在区间(1，e)内无零点(1e， 1)【解析】 因为 f ln 10，(1e) 13e 1e 13ef(1) ln 1 0，13 13f(e) eln e e10.13 13故函数 f(x)在 内无零点，在区间(1，e)内有零点(1e， 1)【答案】 C二、填空题6. 函数 f(x) x2 mx6 的一个零点是6，则另一个零点是_【解析】 由题意(6) 26 m60，解得 m5，由 x25 x60，解得 x16， x21.故另一个零点为 1.【答案
4、】 17. 若函数 f(x) ax x a(a0，且 a1)有两个零点，则实数 a 的取值范围是_【解析】 函数 f(x)的零点的个数就是函数 y ax与函数 y x a 交点的个数，由函数的图像(如图所示)，可知 a1 时两函数图像有两个交点，0 a1 时两函数图像有唯一交点，故 a1.【答案】 (1，)8. 已知函数 f(x)log ax x b(a0，且 a1)当 2 a3 b4 时，函数 f(x)的零点 x0( n， n1)， nN ，则 n_.3【解析】 2 a3 b4，当 x2 时，f(2)log a22 b0；当 x3 时， f(3)log a33 b0， f(x)的零点 x0在
5、区间(2,3)内， n2.【答案】 2三、解答题9. 求函数 y ax2(2 a1) x2( aR)的零点【解】 令 y0 并化为：( ax1)( x2)0.当 a0 时，函数为 y x2，则其零点为 x2；当 a 时，则由 (x2)0，12 (12x 1)解得 x1 x22，则其零点为 x2；当 a0 且 a 时，则由( ax1)( x2)0，12解得 x 或 x2，则其零点为 x 或 x2.1a 1a10. 关于 x 的方程 mx22( m3) x2 m140 有两实根，且一个大于 4，一个小于4，求实数 m 的取值范围【解】 令 g(x) mx22( m3) x2 m14.依题意得Err
6、or!或Error!即Error! 或Error!解得 m0.1913故实数 m 的取值范围为 .(1913， 0)能力提升1. 在下列区间中，函数 f(x)e x4 x3 的零点所在的区间为( )A. B.(14， 0) (0， 14)C. D.(14， 12) (12， 34)【解析】 g(x)e x在(，)上是增函数， h(x)4 x3 在(，)上是增函数， f(x)e x4 x3 在(，)上是增函数又 f 41e40，(14)f(0)e 040320， f 41e20，(14)4f 21e10， f f 0.(12) (14) (12)【答案】 C2. 函数 f(x)Error!零点的
7、个数为( )A1 B2C3 D4【解析】 作出函数 f(x)Error!的图像如图所示：则 f(x)的零点个数为 2.【答案】 B3. 已知函数 f(x)Error!若函数 g(x) f(x) m 有三个不同的零点，则实数 m 的取值范围为_【解析】 令 g(x) f(x) m0，得 f(x) m.由题意函数 f(x)与 y m 的图像有三个不同的交点由图可知故当 m0 时，两函数有三个不同的交点，14故函数的取值范围为 m0.14【答案】 (14， 0)4. 已知二次函数 f(x) ax2 bx c.(1)若 a b c，且 f(1)0，试证明 f(x)必有两个零点；(2)设 x1， x2R
8、， x1 x2，且 f(x1) f(x2)，若方程 f(x) f(x1) f(x2)有两个不12等实根，试证明必有一个实根属于区间( x1， x2)【证明】 (1) f(1)0， a b c0.5又 a b c， a0， c0，即 ac0， b24 ac4 ac0，方程 ax2 bx c0 必有两个不等实根， f(x)必有两个零点(2)令 g(x) f(x) f(x1) f(x2)，12则 g(x1) f(x1) f(x1) f(x2)12 f(x1) f(x2)，12g(x2) f(x2) f(x1) f(x2)12 f(x2) f(x1)12 g(x1)g(x2) f(x1) f(x2)2，14且 f(x1) f(x2)， g(x1)g(x2)0. g(x)0 在( x1， x2)内必有一实根.
