1、 等腰三角形 一 .选择题 1.（ 2018江苏宿迁 3 分 ）如图，菱形 ABCD的对角线 AC.BD相交于点 O，点 E 为边 CD的中点，若菱形 ABCD的周长为 16， BAD 60, 则 OCE的面积是（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】 A 【分析】根据菱形的性质得菱形边长为 4， ACBD ，由一个角是 60 度的等腰三角形是等边三角形得 ABD是等边三角形；在 Rt AOD中，根据勾股定理得 AO=2 ， AC=2AO=4 ，根据三角形面积公式得 S ACD=ODAC=4 ，根据中位线定理得 OEAD ， 根据相似三角形的面积比等于相似比继而可求出 OCE的面积 .
2、 【详解】 菱形 ABCD 的周长为 16， 菱形 ABCD的边长为 4， BAD 60 ， ABD 是等边三角形， 又 O 是菱形对角线 AC.BD 的交点， ACBD ， 在 Rt AOD中， AO= ， AC=2AO=4 ，S ACD=ODAC= 24 =4 ， 又 O 、 E分别是中点， OEAD ， COECAD ， ， ， S COE=S CAD=4 = ， 故选 A. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，菱形的性质，结合图形熟练应用相关性质是解题的关键 . 2.2018内蒙古包头市 3分 ）如图，在 ABC中， AB=AC， ADE的顶点
3、D， E分别在 BC， AC上，且 DAE=90 ， AD=AE若 C+ BAC=145 ，则 EDC的度数为（ ） A 17.5 B 12.5 C 12 D 10 【分析】由 AB=AC 知 B= C，据此得 2 C+ BAC=180 ，结合 C+ BAC=145 可知 C=35 ，根据 DAE=90 、 AD=AE知 AED=45 ，利用 EDC= AED C可得答案 【解答】解： AB=AC， B= C， B+ C+ BAC=2 C+ BAC=180 ， 又 C+ BAC=145 ， C=35 ， DAE=90 ， AD=AE， AED=45 ， EDC= AED C=10 ， 故选：
4、D 【点评】本题主要考查等腰直角三角形，解题的关键是掌握等腰直角三角形和等腰三角形的性质及三角形的内角和定理、外角的性质 3. （ 2018达州 3 分）如图， ABC的周长为 19，点 D， E在边 BC上， ABC的平分线垂直于 AE，垂足为 N， ACB的平分线垂直于 AD，垂足为 M，若 BC=7，则 MN 的长度为（ ） A B 2 C D 3 【分析】证明 BNA BNE，得到 BA=BE，即 BAE 是等腰三角形，同理 CAD 是等腰三角形，根据题意求出 DE，根据三角形中位线定理计算即可 【解答】解： BN平分 ABC， BN AE， NBA= NBE， BNA= BNE， 在
5、 BNA和 BNE 中， BNA BNE， BA=BE， BAE是等腰三角形， 同理 CAD是等腰三角形， 点 N是 AE 中点，点 M是 AD中点（三线合一）， MN是 ADE的中位线， BE+CD=AB+AC=19 BC=19 7=12， DE=BE+CD BC=5， MN= DE= 故选： C 【点评】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键 4. （ 2018资阳 3分）下列图形具有两条对称轴的是（ ） A等边三角形 B平行四边形 C矩形 D正方形 【分析】根据轴对称及对称轴的定义 ，结合所给图形即可作出判断 【解
6、答】解： A.等边三角形由 3条对称轴，故本选项错误； B.平行四边形无对称轴，故本选项错误； C.矩形有 2条对称轴，故本选项正确； D.正方形有 4条对称轴，故本选项错误； 故选： C 【点评】本题考查了轴对称图形及对称轴的定义，常见的轴对称图形有：等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等 5.（ 2018湖州 3 分 ）如图， AD， CE 分别是 ABC 的中线和角平分线若 AB=AC， CAD=20 ，则 ACE的度数是（ ） A. 20 B. 35 C. 40 D. 70 【答案】 B 【解析】分析：先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出 CAB=2 CAD=40 ， B
7、= ACB=（ 180 - CAB） =70 再利用角平分线定义即可得出 ACE= ACB=35 来 &源 :中国 %教 育出版 网 详解： AD 是 ABC的中线， AB=AC， CAD=20 ， CAB=2 CAD=40 ， B= ACB=（ 180 - CAB） =70 CE是 ABC的角平分线， ACE= ACB=35 故选： B 点睛：本题考查了等腰三角 形的两个底角相等的性质，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合的性质，三角形内角和定理以及角平分线定义，求出 ACB=70是解题的关键 6. （ 2018贵州 安顺 3分 ）一个等腰三角形的两条边长分别是方程 的两
8、根，则该等腰三角形的周长是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】 A 【解析】试题分析： ， ， 即 ， ， 等腰三角形的三边是 2， 2， 5， 2+2 5， 不符合三角形三边关系定理，此时不符合题意； 等腰三角形的三边是 2， 5， 5，此时符合三角形三边关系定理， 三角形的周长是 2+5+5=12； 即等腰三角形的周长是 12故选 A 考点： 1解一元二次方程 -因式分解法； 2三角形 三边关系； 3等腰三角形的性质 7. （ 2018广西玉林 3分 ）等腰三角形底角与顶角之间的函数关系是（ ） A正比例函数 B一次函数 C反比例函数 D二次函数 【分析】根据一次函数的定义，可得答
9、案 【解答】解：设等腰三角形的底角为 y，顶角为 x，由题意，得 y= x+90 ， 故选： B 8. （ 2018黑龙江 哈尔滨 3分 ） 在 ABC中， AB=AC， BAC=100 ，点 D在 BC 边上 ，连接 AD，若 ABD为直角三角形，则 ADC的度数为 130 或 90 【分析】根据题意可以求得 B和 C的度数，然后根据分类讨论的数学思想即可求得 ADC的度数 中 &*%国教育 出版网 【解答】解： 在 ABC中， AB=AC， BAC=100 ， B= C=40 ， 点 D在 BC 边上， ABD为直角三角形， 当 BAD=90 时，则 ADB=50 ， ADC=130 ，
10、当 ADB=90 时，则 ADC=90 ， 故答案为： 130 或 90 【点评】本题考查等腰三角形的性质，解答 本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用等腰三角形的性质和分类讨论的数学思想解答 9. （ 2018黑龙江 龙东地区 3分 ） Rt ABC中， ABC=90 ， AB=3， BC=4，过点 B的直线把 ABC 分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，则这个等腰三角形的面积是 3.6或 4.32或 4.8 【分析】在 Rt ABC中，通过解直角三角形可得出 AC=5.S ABC=6，找出所有可能的剪法，并求出剪出的等腰三角形的面积即可 【解答】解：在 Rt ABC中
11、， ACB=90 ， AB=3， BC=4， AB= =5， S ABC= ABBC=6 沿过点 B的直线把 ABC分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，有三种情况： 当 AB=AP=3时，如图 1所示， S 等腰 ABP= S ABC= 6=3.6 ； 当 AB=BP=3，且 P在 AC上时，如图 2所示， 作 ABC的高 BD，则 BD= = =2.4， AD=DP= =1.8， AP=2AD=3.6， S 等腰 ABP= S ABC= 6=4.32 ； 当 CB=CP=4时，如图 3所示， S 等腰 BCP= S ABC= 6=4.8 综上所述：等腰三角形的面积可能为 3.6或
12、4.32或 4.8 故答案为 3.6或 4.32 或 4.8 【点评】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质以及三角形的面积，找出所有可能的剪法，并求出剪出的等腰三角形的面积是解题的关键 11.（ 2018福建 A 卷 4 分 ）如图，等边三角形 ABC 中， AD BC，垂足为 D，点 E 在线段 AD上， EBC=45 ，则 ACE等于（ ） A 15 B 30 C 45 D 60 【分析】先判断出 AD 是 BC 的垂直平分线，进而求出 ECB=45 ，即可得出结论 【解答】解： 等边三角形 ABC中， AD BC， BD=CD，即： AD 是 BC的垂直平分线， 点 E在 AD 上， B
13、E=CE， EBC= ECB， EBC=45 ， ECB=45 ， ABC是等边三角形， ACB=60 ， ACE= ACB ECB=15 ， 故选： A 【点评】此题主要考查了等边三角形的性质，垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质，求出 ECB是解本题的关键 12. （ 2018福建 B卷 4分）如图，等边三角形 ABC 中， AD BC，垂足为 D，点 E在线段 AD上， EBC=45 ，则 ACE等于（ ） A 15 B 30 C 45 D 60 【分析】先判断出 AD 是 BC 的垂直平分线，进而求出 ECB=45 ，即可得出结论 【解答】解： 等边三角形 ABC中， AD BC，
14、 BD=CD，即： AD 是 BC的垂直平分线， 点 E在 AD 上， BE=CE， EBC= ECB， EBC=45 ， ECB=45 ， ABC是等边三角形， ACB=60 ， ACE= ACB ECB=15 ， 故选： A 【点评】此题主要考查了等边三角形的性质，垂 直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质，求出 ECB是解本题的关键 13. （ 2018达州 3分）如图， ABC的周长为 19，点 D， E在边 BC上， ABC 的平分线垂直于 AE，垂足为 N， ACB的平分线垂直于 AD，垂足为 M，若 BC=7，则 MN 的长度为（ ） A B 2 C D 3 【分析】证明 BNA
15、 BNE，得到 BA=BE，即 BAE 是等腰三角形，同理 CAD 是等腰三角形，根据题意求出 DE，根据三角形中位线定理计算即可 【解答】解： BN平分 ABC， BN AE， NBA= NBE， BNA= BNE， 在 BNA和 BNE中， BNA BNE， BA=BE， BAE是等腰三角形， 同理 CAD是等腰三角形， 点 N是 AE 中点，点 M是 AD中点（三线合一）， MN是 ADE的中位线， BE+CD=AB+AC=19 BC=19 7=12， DE=BE+CD BC=5， MN= DE= 故选： C 【点评】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，掌握三角形的中位线平行
16、于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键 14. （ 2018资阳 3分）下列图形具有两条对称轴的是（ ） A等边三角形 B平行四边形 C矩形 D正方形 【分析】根据轴对称及对称轴的定义，结合所给图形即可作出判断 【解答】解： A.等边三角形由 3条对称轴，故本选项错误； B.平行四边形无对称轴，故本选项错误； C.矩形有 2条对称轴，故本选项正确； D.正方形有 4条对称轴，故本选项错误； 故选： C 【点评】本题考查了轴对称图形及对称轴的定义，常见的轴对称图形有：等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等 二 .填空题 1.（ 2018江苏徐州 3 分）边长为 a的正三角形的面积等于 【
17、分析】根据正三角形的性质求解 【解答】解 ：过点 A作 AD BC于点 D， 中国教育出版 &网 *# AD BC， BD=CD= a， AD= = a，面积则是： a a= a2 【点评】此题主要考查了正三角形的高和面积的求法，比较简单 2.（ 2018江苏无锡 2分 ）如图，点 A.B.C都在 O 上， OC OB， 点 A在劣弧 上，且 OA=AB，则 ABC= 15 【分析】根据等边三角形的判定和性质，再利用圆周角定理解答即可 【解答】解： OA=OB， OA=AB， OA=OB=AB， 即 OAB是等边三角形， AOB=60 ， OC OB， COB=90 ， COA=90 60=3
18、0 ， ABC=15 ， 故答案为： 15 【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键 3.（ 2018江苏无锡 2分 ）如图，已知 XOY=60 ，点 A在边 OX上， OA=2过点 A作 ACOY于点 C，以 AC为一边在 XOY内作等边三角形 ABC，点 P是 ABC围成的区域（包括各边）内的一点，过点 P作 PD OY 交 OX 于点 D，作 PE OX交 OY于点 E设 OD=a， OE=b，则 a+2b的取值范围是 2a+2b5 【分析】作辅助线，构建 30度的直角三角形，先证明四边形 EODP是平
19、行四边形，得 EP=OD=a，在 Rt HEP中， EPH=30 ，可得 EH的长，计算 a+2b=2OH，确认 OH最大和最小值的位置，可得结论 【解答】解：过 P作 PH OY交于点 H， PD OY， PE OX， 四边形 EODP是平行四边形， HEP= XOY=60 ， EP=OD=a， Rt HEP中， EPH=30 ， EH= EP= a， a+2b=2（ a+b） =2（ EH+EO） =2OH， 当 P在 AC边上时， H与 C重合，此时 OH的最小值 =OC= OA=1，即 a+2b的最小值是 2； 当 P在点 B时， OH的最大值是： 1+ = ，即（ a+2b）的最大值
20、是 5， 2a+2b5 【点评】本题考查了等边三角形的性质、直角三角形 30 度角的性质、平行四边形的判定和性质，有难度，掌握确认 a+2b的最值就是确认 OH最值的范围 4.（ 2018江苏淮安 3 分）若一个等腰三角形的顶角等于 50 ，则它的底角等于 65 【分析】利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理直接求得答案 【解答】解： 等腰三角形的顶角等于 50 ， 又 等腰三角形的底角相等， 底角等于（ 180 50 ） =65 故答案为： 65 【点评】本题考查了三角形内角和定理和等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键 5. （ 2018乌鲁木齐 4 分）如图，在 Rt ABC
21、 中， C=90 ， BC=2 ， AC=2，点 D 是 BC的中点，点 E是边 AB 上一动点，沿 DE 所在直线把 BDE翻折到 BDE 的位置， BD 交 AB于点 F若 ABF 为直角三角形，则 AE的长为 【分析】利用三角函数的定义得到 B=30 ， AB=4，再利用折叠的性质得 DB=DC= ，EB=EB ， DBE= B=30 ，设 AE=x，则 BE=4 x， EB=4 x，讨论：当 AFB=90 时，则 BF= cos30= ，则 EF= （ 4 x） =x ，于是在 Rt BEF 中利用 EB=2EF得到 4 x=2（ x ），解方程求出 x得到此时 AE 的长；当 FBA
22、=90 时，作 EH AB 于H，连接 AD，如图，证明 Rt ADB Rt ADC得到 AB=AC=2 ，再计算出 EBH=60 ，则BH= （ 4 x）， EH= （ 4 x），接着利用勾股定理得到 （ 4 x） 2+ （ 4 x） +22=x2，方程求出 x得到此时 AE的长 【解答】解： C=90 ， BC=2 ， AC=2， tanB= = = ， B=30 ， AB=2AC=4， 点 D是 BC 的中点，沿 DE 所在直线把 BDE翻折到 BDE 的位置， BD 交 AB于点 F DB=DC= ， EB=EB ， DBE= B=30 ， 设 AE=x，则 BE=4 x， EB=4
23、x， 当 AFB=90 时， 在 Rt BDF中， cosB= ， BF= cos30= ， EF= （ 4 x） =x ， 在 Rt BEF 中， EBF=30 ， EB=2EF ， 即 4 x=2（ x ），解得 x=3，此时 AE为 3； 当 FBA=90 时，作 EH AB 于 H，连接 AD，如图， DC=DB ， AD=AD， Rt ADB Rt ADC， AB=AC=2 ， ABE= ABF+ EBF=90+30=120 ， EBH=60 ， 在 Rt EHB 中， BH= BE= （ 4 x）， EH= BH= （ 4 x）， 在 Rt AEH中 ， EH2+AH2=AE2，
24、（ 4 x） 2+ （ 4 x） +22=x2，解得 x= ，此时 AE为 综上所述， AE的长为 3或 故答案为 3或 【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等也考查了含 30 度的直角三角形三边的关系和勾股定理 中国 *%教育出 #版网 6. （ 2018临安 3分 ）用一条宽相等的足够长的纸 条，打一个结，如图（ 1）所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图（ 2）所示的正五边形 ABCDE，其中 BAC= 36 度 【分析】利用多边形的内角和定理和等腰三角形的性质即可解决问题 【解答】解： ABC= =10
25、8 ， ABC是等腰三角形， BAC= BCA=36度 【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理和等腰三角形的性质 n边形的内角和为： 180 （ n 2） 7. （ 2018广西桂林 3分 ）如图，在 ABC中， A=36,AB=AC,BD 平分 ABC ，则图中等腰三角形的个数是 _ 【答案】 3 【解析】分析：由已知条件，利用三角形的内角和定理及角平分线的性质得到各角的度数，根据等腰三角形 的定义及等角对等边得出答案 详解： AB=AC ， ABC 是等腰三角形 A=36 ， C=ABC=72 BD平分 ABC 交 AC 于 D， ABD=DBC=36 ， A=ABD=36 ， ABD
26、是等腰三角形 BDC=A+ABD=36+36=72=C ， BDC 是等腰三角形 共有 3个等腰三角形 故答案为： 3 点睛：本题考查了等腰三角形的判定与性质及三角形内角和定理；求得角的度数是正确解答本题的关键 8 （ 2018黑龙江 哈尔滨 7 分 ） 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为 1，线段 AB的两个端点均在小正方形的顶点上 、 （ 1）在图中画出以线段 AB 为一边的矩形 ABCD（不是正方形），且点 C和点 D均在小正方形的顶点上； （ 2）在图中画出以线段 AB 为一腰，底边长为 2 的等腰三角形 ABE，点 E在小正方形的顶点上，连接 CE，请直接写出线段 CE的长 【分析
27、】（ 1）利用数形结合的思想解决问题即可； （ 2）利用数形结合的思想解决问题即可； 【解答】解：（ 1）如图所示，矩形 ABCD即为所求； （ 2）如图 ABE即为所求； 【点评】本题考查作图应用与设计、等腰三角形的性质、勾股定理、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用思想结合的思想解决问题，属于中考常考题型 9.（ 2018贵州遵义 4 分）如图， ABC中点 D在 BC 边上， BD=AD=AC， E为 CD 的中点若 CAE=16 ，则 B为 37 度 【分析】先判断出 AEC=90 ，进而求出 ADC= C=74 ，最后用等腰三角形的外角等于底角的 2倍即可得出结论 【解答】解
28、： AD=AC，点 E是 CD中点， AE CD， AEC=90 ， C=90 CAE=74 ， AD=AC， ADC= C=74 ， AD=BD， 2 B= ADC=74 ， B=37 ， 故答案为 37 10. (2018湖南省邵阳市 )（ 3 分）如图所示，在等腰 ABC中， AB=AC， A=36 ，将 ABC中的 A沿 DE向下翻折，使点 A落在点 C处若 AE= ，则 BC的长是 【分析】由折叠的性质可知 AE=CE，再证明 BCE是等腰三角形即可得到 BC=CE，问题得解 【解答】解： AB=AC， A=36 ， B= ACB= =72 ， 将 ABC中的 A沿 DE向下翻折，使
29、点 A落在点 C处， AE=CE， A= ECA=36 ， CEB=72 ， BC=CE=AE= ， 故答案为： 【点评】本题考查了等腰三角形的判断和性质、折叠的性质以及三角形内角和定理的运用，证明 BCE是等腰三角形是解题的关键 11. （ 2018乌鲁木齐 4 分）如图，在 Rt ABC 中， C=90 ， BC=2 ， AC=2，点 D 是 BC的中点，点 E是边 AB 上一动点，沿 DE 所在直线把 BDE翻折到 BDE 的位置 ， BD 交 AB于点 F若 ABF 为直角三角形，则 AE的长为 【分析】利用三角函数的定义得到 B=30 ， AB=4，再利用折叠的性质得 DB=DC=
30、，EB=EB ， DBE= B=30 ，设 AE=x，则 BE=4 x， EB=4 x，讨论：当 AFB=9 0 时，则 BF= cos30= ，则 EF= （ 4 x） =x ，于是在 Rt BE F 中利用 EB=2EF得到 4 x=2（ x ），解方程求出 x得到此时 AE 的长；当 FBA=90 时，作 EH AB 于H，连接 AD，如图，证明 Rt ADB Rt ADC得到 AB=AC=2 ，再计算出 EBH=60 ，则BH= （ 4 x）， EH= （ 4 x），接着利用勾股定理得到 （ 4 x） 2+ （ 4 x） +22=x2，方程求出 x得到此时 AE的长 【解答】解： C=
31、90 ， BC=2 ， AC=2， tanB= = = ， B=30 ， AB=2AC=4， 点 D是 BC 的中点，沿 DE 所在直线把 BDE翻折到 BDE 的位 置， BD 交 AB于点 F DB=DC= ， EB=EB ， DBE= B=30 ， 设 AE=x，则 BE=4 x， EB=4 x， 当 AFB=90 时， 在 Rt BDF中， cosB= ， BF= cos30= ， EF= （ 4 x） =x ， 在 Rt BEF 中， EBF=30 ， EB=2EF ， 即 4 x=2（ x ），解得 x=3，此时 AE为 3； 当 FBA=90 时，作 EH AB 于 H，连接 A
32、D，如图， DC=DB ， AD=AD， Rt ADB Rt ADC， AB=AC=2 ， ABE= ABF+ EBF=90+30=120 ， EBH=60 ， 在 Rt EHB 中， BH= BE= （ 4 x）， EH= BH= （ 4 x）， 在 Rt AEH中 ， EH2+AH2=AE2， （ 4 x） 2+ （ 4 x） +22=x2，解得 x= ，此时 AE为 综上所述， AE的长为 3或 故答案为 3或 【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形 的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等也考查了含 30 度的直角三角形三边的关系和勾股定理
33、三 .解答题 1.（ 2018江苏徐州 7 分）（ A 类）已知如图，四边形 ABCD中， AB=BC， AD=CD，求证： A= C （ B类）已知如图，四边形 ABCD中， AB=BC， A= C，求证： AD=CD 【分析】（ A类）连接 AC，由 AB=AC.AD=CD知 BAC= BCA. DAC= DCA，两等式相加即可得； （ B类）由以上过程反之即可得 【解答】证明：（ A类）连接 AC， AB=AC， AD=CD， BAC= BCA， DAC= DCA， BAC+ DAC= BCA+ DCA，即 A= C； （ B类） AB=AC， BAC= BCA， 又 A= C，即 BA
34、C+ DAC= BCA+ DCA， DAC= DCA， AD=CD 【点评】本题主要考查等腰三角形的判定与性质，解题的关键是掌握等角对等边、等边对等角的性质 2.（ 2018江苏徐州 10分）如图 1，一副直角三角板满足 AB=BC， AC=DE， ABC= DEF=90 ， EDF=30 操作：将三角板 DEF 的直角顶点 E 放置于三角板 ABC 的斜边 AC 上，再将三角板 DEF 绕点 E旋转，并使边 DE 与边 AB交于点 P，边 EF 与边 BC于点 Q 探究一：在旋转过程中， （ 1）如图 2，当 时， EP与 EQ满足怎样的数量关系？并给出证明； （ 2）如图 3，当 时， E
35、P与 EQ满足怎样的数量关系？并说明理由； （ 3）根据你对（ 1）、（ 2）的探究结果，试写出当 时， EP与 EQ满足的数量关系式为 EP：EQ=1： m ，其中 m的取值范 围是 0 m2+ （直接写出结论，不必证明） 探究二：若 且 AC=30cm，连接 PQ，设 EPQ 的面积为 S（ cm2），在旋转过程中： （ 1） S是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，说明理由 （ 2）随着 S取不同的值，对应 EPQ的个数有哪些变化，求出相应 S的值或取值范围 【分析】探究一：（ 1）连接 BE，根据已知条件得到 E是 AC 的中点，根据等腰直角三角形的性质可以证明
36、 BE=CE， PBE= C根据等角的余角相等可以证明 BEP= CEQ即可得到全等三角形，从而证明结论； （ 2）作 EM AB， EN BC于 M、 N，根据两个角对应相等证明 MEP NWQ，发现 EP： EQ=EM：EN，再根据等腰直角三角形的性质得到 EM： EN=AE： CE； （ 3）根据（ 2）中求解的过 程，可以直接写出结果；要求 m的取值范围，根据交点的位置的限制进行分析 探究二：（ 1）设 EQ=x，结合上述结论，用 x 表示出三角形的面积，根据 x 的最值求得面积的最值； （ 2）首先求得 EQ和 EB重合时的三角形的面积的值，再进一步分情况讨论 【解答】解：探究一 又
37、 BEP= CEQ，则 BEP CEQ，得 EP=EQ； （ 2）作 EM AB， EN BC于 M， N， EMP= ENC， MEP+ PEN= PEN+ NEF=90 ， MEP= NEF， MEP NEQ， EP： EQ=EM： EN=AE： CE=1： 2； （ 3）过 E点作 EM AB 于点 M，作 EN BC 于点 N， 在四边形 PEQB中， B= PEQ=90 ， EPB+ EQB=180 （四边形的内角和是 360 ）， 又 EPB+ MPE=180 （平角是 180 ）， MPE= EQN（等量代 换）， Rt MEP Rt NEQ（ AA）， （两个相似三角形的对应边
38、成比例）； 在 Rt AME Rt ENC =m=， =1： m= ， EP与 EQ 满足的数量关系式为 EP： EQ=1： m， 0 m2+ ；（当 m 2+ 时， EF与 BC不会相交） 探究二：若 AC=30cm， （ 1）设 EQ=x，则 S= x2，所以当 x=10 时，面积最小，是 50cm2； 当 x=10 时，面积最大，是 75cm2 （ 2）当 x=EB=5 时， S=62.5cm2， 故当 50 S62.5 时，这样的三角形有 2个； 当 S=50或 62.5 S75 时，这样的三角形有一个 【点评】熟练运用等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定和性质进行求解 来 源 :z
39、z*st% 3.（ 2018江苏苏州 10 分）如图， AB 是 O 的直径，点 C 在 O 上， AD 垂直于过点 C 的切线，垂足为 D， CE垂直 AB，垂足为 E延长 DA交 O于点 F，连接 FC， FC与 AB 相交于点 G，连接 OC （ 1）求证： CD=CE； （ 2）若 AE=GE，求证： CEO是等腰直角三角形 【分析】（ 1）连接 AC，根据切线的性质和已知得： AD OC，得 DAC= ACO，根据 AAS证明 CDA CEA（ AAS），可得结论； （ 2）介绍两种证法： 证法一：根据 CDA CEA，得 DCA= ECA，由等腰三角形三线合一得： F= ACE=
40、DCA= ECG，在直角三角形中得： F= DCA= ACE= ECG=22.5 ，可得结论； 证法二：设 F=x，则 AOC=2 F=2x，根据平角的定义得： DAC+ EAC+ OAF=180 ，则3x+3x+2x=180，可得结论 【解答】证明：（ 1）连接 AC， CD是 O的切线， OC CD， AD CD， DCO= D=90 ， AD OC， DAC= ACO， OC=OA， CAO= ACO， DAC= CAO， CE AB， CEA=90 ， 在 CDA和 CEA中， ， CDA CEA（ AAS）， CD=CE； （ 2）证法 一：连接 BC， CDA CEA， DCA=
41、ECA， CE AG， AE=EG， CA=CG， ECA= ECG， AB是 O的直径， ACB=90 ， CE AB， ACE= B， B= F， F= ACE= DCA= ECG， D=90 ， DCF+ F=90 ， F= DCA= ACE= ECG=22.5 ， AOC=2 F=45 ， CEO是等腰直角三角形； 证法二：设 F=x，则 AOC=2 F=2x， AD OC， OAF= AOC=2x， CGA= OAF+ F=3x， CE AG， AE=EG， CA=CG， EAC= CGA， CE AG， AE=EG， CA=CG， EAC= CGA， DAC= EAC= CGA=3
42、x， DAC+ EAC+ OAF=180 ， 3x+3x+2x=180， x=22.5 ， AOC=2x=45 ， CEO是等腰直角三角形 【点评】此题考查了切线的性质、全等三角形的判定与性质、圆周角定理、 勾股定理、三角形内角和定理以及等腰三角形和等腰直角三角形的判定与性质等知识此题难度适中，本题相等的角较多，注意各角之间的关系，注意掌握数形结合思想的应用 4.（ 2018江苏苏州 10分）如图 ，直线 l表示一条东西走向的笔直公路，四边形 ABCD是一块边长为 100米的正方形草地，点 A， D在直线 l上，小明从点 A出发，沿公路 l向西走了若干米后到达点 E 处，然后转身沿射线 EB
43、方向走到点 F 处，接着又改变方向沿射线 FC方向走到公路 l上的点 G处，最后沿公路 l回到点 A处设 AE=x米（其中 x 0）， GA=y米，已知 y与 x之间的函数关系如图 所示， （ 1）求图 中线段 MN 所在直线的函数表达式； （ 2）试问小明从起点 A出发直至最后回到点 A处，所走过的路径（即 EFG）是否可以是一个等腰三角形？如果可以，求出相应 x的值；如果不可以，说明理由 【分析】（ 1）根据点 M、 N的坐标，利用待定系数法即可求出图 中线段 MN所在直线的函数表达式； （ 2）分 FE=FG、 FG=EG 及 EF=EG 三种情况考虑： 考虑 FE=FG 是否成立，连 接 EC，通过计算可得出 ED=GD，结合 CD EG，可得出 CE=CG，根据等腰三角形的性质可得出 CGE= CEG、 FEG CGE，进而可得出 FEFG ； 考虑 FG=EG 是否成立，由正方形的性质可得出 BCEG，进而可得 出 FBC FEG，根据相似三角形的性质可得出若 FG=EG则 FC=BC， 进而可得出 CG、 DG的长度，在 Rt CDG中，利用勾股定理即可求出 x的值； 考虑 EF=EG 是否成立，同理可得出若 EF=EG 则 FB=BC，进而可得出 BE 的长度，
