1、12.3.2 抛物线的简单几何性质课时作业 A 组 基础巩固1已知抛物线的对称轴为 x 轴，顶点在原点，焦点在直线 2x4 y110 上，则此抛物线的方程是( )A y211 x B y211 xC y222 x D y222 x解析：在方程 2x4 y110 中，令 y0 得 x ，112抛物线的焦点为 F ，(112， 0)即 ， p11，p2 112抛物线的方程是 y222 x，故选 C.答案：C2已知直线 y kx k 及抛物线 y22 px(p0)，则( )A直线与抛物线有一个公共点B直线与抛物线有两个公共点C直线与抛物线有一个或两个公共点D直线与抛物线可能没有公共点解析：直线 y
2、kx k k(x1)，直线过点(1,0)又点(1,0)在抛物线 y22 px 的内部当 k0 时，直线与抛物线有一个公共点；当 k0 时，直线与抛物线有两个公共点答案：C3过抛物线 y22 px(p0)的焦点作一直线交抛物线于 A(x1， y1)， B(x2， y2)两点，则kOAkOB的值为( )A4 B4 C p2 D p2解析： kOAkOB ，根据焦点弦的性质 x1x2 ， y1y2 p2，y1x1 y2x2 y1y2x1x2 p24故 kOAkOB 4. p2p24答案：B24已知直线 l： y k(x2)( k0)与抛物线 C： y28 x 交于 A， B 两点， F 为抛物线 C
3、 的焦点，若| AF|2| BF|，则 k 的值是( )A. B. C2 D.13 223 2 24解析：根据题意画图，如图所示，直线 m 为抛物线的准线，过点 A作 AA1 m，过点 B 作 BB1 m，垂足分别为 A1， B1，过点 B 作 BD AA1于点 D，设| AF|2| BF|2 r，则| AA1|2| BB1|2| A1D|2 r，所以| AB|3 r，| AD| r，则| BD|2 r.2所以 ktan BAD 2 .选 C.|BD|AD| 2答案：C5已知 F 为抛物线 y2 x 的焦点，点 A， B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧， 2(其中 O 为坐标原点)，则 AB
4、O 与 AFO 面积之和的最小值是( )OA OB A2 B3C. D.1728 10解析：设直线 AB 的方程为 x ny m(如图)，A(x1， y1)， B(x2， y2)， 2，OA OB x1x2 y1y22.又 y x1， y x2， y1y22.21 2联立Error! 得 y2 ny m0， y1y2 m2， m2，即点 M(2,0)又 S ABO S AMO S BMO |OM|y1|12|OM|y2| y1 y2，12S AFO |OF|y1| y1，12 18 S ABO S AFO y1 y2 y118 y1 2 3，98 2y1 98y12y1当且仅当 y1 时，等号
5、成立433答案：B6直线 y x1 被抛物线 y24 x 截得的线段的中点坐标是_解析：将 y x1 代入 y24 x，整理，得 x26 x10.由根与系数的关系，得x1 x26， 3，x1 x22 2.y1 y22 x1 x2 22 6 22所求点的坐标为(3,2)答案：(3,2)7过抛物线 y24 x 的焦点作直线交抛物线于点 A(x1， y1)， B(x2， y2)，若| AB|7，则 AB的中点 M 到抛物线准线的距离为_解析：抛物线的焦点为 F(1,0)，准线方程为 x1.由抛物线的定义知|AB| AF| BF| x1 x2 x1 x2 p，即 x1 x227，得 x1 x25，于是
6、弦 ABp2 p2的中点 M 的横坐标为 .因此，点 M 到抛物线准线的距离为 1 .52 52 72答案：728已知点 A(2,3)在抛物线 C： y22 px 的准线上，过点 A 的直线与 C 在第一象限相切于点 B，记 C 的焦点为 F，则直线 BF 的斜率为_解析：抛物线 y22 px 的准线为直线 x ，而点 A(2,3)在准线上，所以 2，即p2 p2p4，从而 C： y28 x，焦点为 F(2,0)设切线方程为 y3 k(x2)，代入 y28 x 得y2 y2 k30( k0)，由于 14 (2k3)0，所以 k2 或 k .k8 k8 12因为切点在第一象限，所以 k .12将
7、 k 代入中，得 y8，再代入 y28 x 中得 x8，12所以点 B 的坐标为(8,8)，所以直线 BF 的斜率为 .86 43答案：439已知抛物线 y26 x，过点 P(4,1)引一弦，使它恰在点 P 被平分，求这条弦所在的直线方程解析：设弦的两个端点为 P1(x1， y1)， P2(x2， y2) P1， P2在抛物线上， y 6 x1， y 6 x2.两式相减得21 24(y1 y2)(y1 y2)6( x1 x2) y1 y22，代入得 k 3.y2 y1x2 x1直线的方程为 y13( x4)，即 3x y110.10已知抛物线 y24 x 截直线 y2 x m 所得弦长 AB3
8、 ，5(1)求 m 的值；(2)设 P 是 x 轴上的一点，且 ABP 的面积为 9，求 P 点的坐标解析：(1)由Error!4 x24( m1) x m20，由根与系数的关系得x1 x21 m， x1x2 ，m24|AB| 1 k2 x1 x2 2 4x1x2 1 22 1 m 2 4m24 .5 1 2m由| AB|3 ，5即 3 m 4.5 1 2m 5(2)设 P(a,0)， P 到直线 AB 的距离为 d，则 d ，|2a 0 4|22 1 2 2|a 2|5又 S ABP |AB|d，12则 d ，2S ABP|AB| |a2|3 a5 或 a1，2|a 2|5 2935故点 P
9、 的坐标为(5,0)或(1,0)B 组 能力提升1若抛物线 y2 x 上一点 P 到准线的距离等于它到顶点的距离，则点 P 的坐标为( )A. B.(14， 24) (18， 24)C. D.(14， 24) (18， 24)解析：设抛物线的焦点为 F，因为点 P 到准线的距离等于它到顶点的距离，所以点 P 为线段 OF 的垂直平分线与抛物线的交点，易求点 P 的坐标为 .(18， 24)5答案：B2设抛物线 C： y22 px(p0)的焦点为 F，点 M 在 C 上，| MF|5.若以 MF 为直径的圆过点(0,2)，则 C 的方程为( )A y24 x 或 y28 x B y22 x 或
10、y28 xC y24 x 或 y216 x D y22 x 或 y216 x解析：由已知得抛物线的焦点 F ，设点 A(0,2)，抛物线上点 M(x0， y0)，则 (p2， 0) AF ， .由已知得， 0，即 y 8 y0160，因而 y04， M(p2， 2) AM (y202p， y0 2) AF AM 20.由| MF|5 得， 5，又 p0，解得 p2 或 p8，故选 C.(8p， 4) (8p p2)2 16答案：C3已知抛物线 y24 x，过点 P(4,0)的直线与抛物线相交于 A(x1， y1)， B(x2， y2)两点，则y y 的最小值是_21 2解析：设 AB 的方程为
11、 x my4，代入 y24 x 得 y24 my160，则y1 y24 m， y1y216， y y ( y1 y2)22 y1y216 m23221 2当 m0 时， y y 最小值为 32.21 2答案：324如图，抛物线 C1： y22 px 和圆 C2：( x )2 y2 ，其中 p0，直p2 p24线 l 经过 C1的焦点，依次交 C1， C2于 A， B， C， D 四点，则 的值AB CD 为_解析：易知 | AB|CD|，圆 C2的圆心即为抛物线 C1的焦点 F.当直线 l 的斜率不AB CD 存在时， l 的方程为 x ，所以 A( ， p)， B( ， )， C( ， )，
12、 D( ， p)，p2 p2 p2 p2 p2 p2 p2| | | ，所以 ；当直线 l 的斜率存在时，设 A(x1， y1)，AB CD p2 AB CD p2 p2 p24D(x2， y2)，则| AB| FA| FB| x1 x1，同理| CD| x2，设 l 的方程为 y k(x )，p2 p2 p2由Error! ，可得 k2x2( pk22 p)x 0，则 | AB|CD| x1x2 .综上，k2p24 AB CD p24 .AB CD p24答案：p2465.如图，过抛物线 y2 x 上一点 A(4,2)作倾斜角互补的两条直线 AB， AC 交抛物线于 B， C两点，求证：直线
13、 BC 的斜率是定值证明：设 kAB k(k0)，直线 AB， AC 的倾斜角互补， kAC k(k0)， AB 的方程是 y k(x4)2.联立方程组Error!消去 y 后，整理得k2x2(8 k24 k1) x16 k216 k40. A(4,2)， B(xB， yB)是上述方程组的解4 xB ，16k2 16k 4k2即 xB ，4k2 4k 1k2以 k 代换 xB中的 k，得 xC ，4k2 4k 1k2 kBCyB yCxB xCk xB 4 2 k xC 4 2xB xC .k xB xC 8xB xCk(8k2 2k2 8) 8kk2 14所以直线 BC 的斜率为定值6已知一
14、条曲线 C 在 y 轴右边， C 上每一点到点 F(1,0)的距离减去它到 y 轴距离的差都是1.(1)求曲线 C 的方程；(2)是否存在实数 m，使曲线 C 上总有不同的两点关于直线 y x m 对称？若存在，求出 m的取值范围；若不存在，请说明理由解析：(1)设 P(x， y)是曲线 C 上任意一点，那么点 P(x， y)满足： x1( x0) x 1 2 y2化简得 y24 x(x0)(2)假设抛物线 y24 x(x0)上存在不同两点 A、 B 关于直线 y x m 对称，则可设 AB 的方程为 y x b 代入 y24 x 并整理得 x2(2 b4) x b20，则 (2 b4) 24 b20 且 x0，即 b10，且 b0.7设 AB 的中点为 M(x0， y0)，则 x0 b2，y0 x0 b2，又 M(b2，2)在 y x m 上，2 b2 m，即 b4 m，3 m0 且4 m0，m3 且 m4.存在 m 使曲线 C 上总有不同两点关于直线 y x m 对称， m 的范围为(，4)(4，3)
