1、1三 排序不等式课时作业A组 基础巩固1若 A x x x ， B x1x2 x2x3 xn1 xn xnx1其中 x1x2， xn都是正数，21 2 2n则 A与 B的大小关系为( )A AB B A ， ， ， 0，213243 546576 8798109 3n 13n 2 3n3n 13n 13n所以 ABC0.所以 A3ABC.由题意知 3n261，所以 n21.又因为 ABC3 n164.所以 A4.答案：C5已知 a12， a27， a38， a49， a512， b13， b24， b36， b410， b511，将 bi(i1,2,3,4,5)重新排列记为 c1， c2， c
2、3， c4， c5，则 a1c1 a2c2 a5c5的最大值是( )A324 B314C304 D212解析：两组数据的顺序和为a1b1 a2b2 a5b52374869101211304.而 a1c1 a2c2 a5c5为这两组数的乱序和，由排序不等式可知， a1c1 a2c2 a5c5304，当且仅当 ci bi(i1,2,3,4,5)时， a1c1 a2c2 a5c5有最大值，最大值为 304.答案：C6已知两组数 1,2,3和 4,5,6，若 c1， c2， c3是 4,5,6的一个排列，则 c12 c23 c3的最大值是_，最小值是_解析：由反序和乱序和顺序和知，顺序和最大，反序和最
3、小，故最大值为 32，最小值为 28.答案：32 287儿子过生日要老爸买价格不同的礼品 1件、2 件及 3件，现在选择商店中单价为 13元、20元和 10元的礼品，至少要花_钱解析：设 a11(件)， a22(件)， a33(件)， b110(元)， b213(元)， b320(元)，则由排序原理反序和最小知至少要花 a1b3 a2b2 a3b112021331076(元)答案：76 元8在 Rt ABC中， C为直角， A， B所对的边分别为 a， b，则 aA bB与 (a b)的大小关系为_43解析：不妨设 a b0，则 A B0，由排序不等式Error!2(aA bB) a(A B)
4、 b(A B) (a b)2 aA bB (a b)4答案： aA bB (a b)49设 a， b， c都是正实数，求证： .1a 1b 1c a8 b8 c8a3b3c3证明：设 a b c0，则 ，则 .1c 1b 1a 1b3c3 1c3a3 1a3b3由不等式的性质，知 a5 b5 c5.根据排序不等式，知 .a5b3c3 b5c3a3 c5a3b3 a5c3a3 b5a3b3 c5b3c3 a2c3 b2a3 c2b3又由不等式的性质，知 a2 b2 c2， .1c3 1b3 1a3由排序不等式，得 .a2c3 b2a3 c2b3 a2a3 b2b3 c2c3 1a 1b 1c由不
5、等式的传递性，知 .1a 1b 1c a5b3c3 b5c3a3 c5a3b3 a8 b8 c8a3b3c3原不等式成立10设 0Q B P QC P0，则 00， a b c0，于是 abc，即 P Q.b2c2 c2a2 a2b2a b c答案：B2已知 a， b， cR ，则 a2(a2 bc) b2(b2 ac) c2(c2 ab)的正负情况是( )A大于零 B大于等于零C小于零 D小于等于零解析：不妨设 a b c0，所以 a3 b3 c3，根据排序原理，得 a3a b3b c3c a3b b3c c3a.又知 ab ac bc， a2 b2 c2，所以 a3b b3c c3a a2
6、bc b2ca c2ab. a4 b4 c4 a2bc b2ca c2ab.即 a2(a2 bc) b2(b2 ac) c2(c2 ab)0.答案：B3设 a1， a2， a3， a4是 1,2,3,4的一个排序，则 a12 a23 a34 a4的取值范围是_解析： a12 a23 a34 a4的最大值为 122 23 24 230.最小值为 1423324120.5 a12 a23 a34 a4的取值范围是20,30答案：20,304已知： a b c1， a、 b、 c为正数，则 的最小值是_1b c 1c a 1a b解析：不妨设 a b c， .1b c 1c a 1a b ab c
7、bc a ca b bb c cc a aa b ab c bc a ca b cb c ac a ba b得： ，ab c bc a ca b 32 .1b c 1c a 1a b 92答案：925设 a1， a2， a3， a4R 且 a1 a2 a3 a46，求 的最小值a21a2 a2a3 a23a4 a24a1解析：不妨设 a1 a2 a3 a40，则 ， a a a a ，1a4 1a3 1a2 1a1 21 2 23 24 是数组“ ， ， ， ”和“ a ， a ， a ， a ”的乱序和，而它们的反序a21a2 a2a3 a23a4 a24a1 1a11a21a31a4 24
8、 23 2 21和为 a a a a a1 a2 a3 a46.1a1 21 1a2 2 1a3 23 1a4 24由排序不等式知当 a1 a2 a3 a4 时， 有最小值，32 a21a2 a2a3 a23a4 a24a1最小值为 6.6设 a， b， c为某一个三角形的三条边， a b c，求证：(1)c(a b c) b(c a b) a(b c a)；(2)a2(b c a) b2(c a b) c2(a b c)3 abc.证明：(1)用比较法：c(a b c) b(c a b) ac bc c2 bc ab b2 b2 c2 ac ab( b c)(b c) a(b c)( b c
9、 a)(b c)6因为 b c， b c a0，于是 c(a b c) b(c a b)0，即 c(a b c) b(c a b) 同理可证 b(c a b) a(b c a) 综合，证毕(2)由题设及(1)知，a b c， a(b c a) b(c a b) c(a b c)，于是由排序不等式：反序和乱序和，得a2(b c a) b2(c a b) c2(a b c) ab(b c a) bc(c a b) ca(a b c)3 abc ab(b a) bc(c b) ca(a c) 再一次由反序和乱序和，得a2(b c a) b2(c a b) c2(a b c) ac(b c a) ba(c a b) cb(a b c)3 abc ac(c a) ab(a b) bc(b c) 将和相加再除以 2，得a2(b c a) b2(c a b) c2(a b c)3 abc.
