1、12.1.1 合情推理课时作业A组 基础巩固1下列推理是归纳推理的是( )A A， B为定点，动点 P满足| PA| PB|2 a| AB|，得 P的轨迹为椭圆B由 a11， an3 n1，求出 S1， S2， S3，猜想出数列的前 n项和 Sn的表达式C由圆 x2 y2 r2的面积 r2，猜出椭圆 1 的面积 S abx2a2 y2b2D科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇解析：由归纳推理的定义知 B是归纳推理，故应选 B.答案：B2数列 an：2,5,11,20， x,47，中的 x等于( )A28 B32C33 D27解析：因为 5231,115632,2011933，猜测x2034,47 x
2、35，推知 x32.故应选 B.答案：B3某同学在电脑上打下了一串黑白圆，如图所示，按这种规律往下排，那么第 36个圆的颜色应是( )A白色 B黑色C白色可能性大 D黑色可能性大解析：由题干图知，图形是三白二黑的圆周而复始相继排列，是一个周期为 5的三白二黑的圆列，因为 3657 余 1，所以第 36个圆应与第 1个圆颜色相同，即白色答案：A4观察( x2)2 x，( x4)4 x3，(cos x)sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数 f(x)满足 f( x) f(x)，记 g(x)为 f(x)的导函数，则 g( x) ( )A f(x) B f(x)C g(x) D g(x)解析：
3、本题考查了推理证明及函数的奇偶性内容，由例子可看出偶函数求导后都变成了奇函数， g( x) g(x)，选 D.答案：D5 n个连续自然数按规律排列如下表：012345678910112根据规律，从 2 010到 2 012箭头的方向依次为( )A BC D解析：观察题图的规律知：位置相同的数字都是以 4为公差的等差数列，由 2,3,4可知从 2 010到 2 012为，故应选 C.答案：C6半径为 r的圆的面积 S(r) r2，周长 C(r)2 r，若将 r看作(0，)上的变量，则( r2)2 r，式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数对于半径为 R的球，若将 R看作(0，)上
4、的变量，请你写出类似于的式子：_，式可以用语言叙述为：_.解析：半径为 R的球的体积 V(R) R3，表面积 S(R)4 R2，则( R3)4 R2.43 43答案：( R3)4 R2 球的体积函数的导数等于球的表面积函数437观察下列等式：121；122 23；122 23 26；122 23 24 210；照此规律，第 n个等式可为_解析：观察等号左边的规律发现，左边的项数依次加 1，故第 n个等式左边有 n项，每项所含的底数的绝对值也增加 1，依次为 1,2,3， n，指数都是 2，符号成正负交替出现，可以用(1) n1 表示，等式的右边数的绝对值是左边项的底数的绝对值的和，故等式的右边
5、可以表示为(1) n1 ，第 n个式子可为 122 23 24 2(1)n n 12n1 n2(1) n1 (nN *)n n 12答案：1 22 23 24 2(1) n1 n2(1) n1 (nN *)n n 128设函数 f(x) (x0)，xx 2观察： f1(x) f(x) ，xx 23f2(x) f(f1(x) ，x3x 4f3(x) f(f2(x) ，x7x 8f4(x) f(f3(x) ，x15x 16根据以上事实，由归纳推理可得：当 nN *且 n2 时， fn(x) f(fn1 (x)_.解析：根据题意知，分子都是 x，分母中的常数项依次是 2,4,8, 16，可知 fn(
6、x)的分母中常数项为 2n，分母中 x的系数为 2n1，故 fn(x) .x 2n 1 x 2n答案：x 2n 1 x 2n9证明下列等式，并从中归纳出一个一般性的结论，2cos ，4 22cos ，8 2 22cos ，16 2 2 2证明：2cos 2 ，4 22 22cos 2 2 ，8 1 cos42 1 222 2 22cos 2 216 1 cos82 1 122 22 2 2 2观察上述等式可以发现，第 n个等式右端有 n个根号， n个 2，左端“角”的分母为22,23,24，故第 n个等式的左端应为 2cos ，由此可归纳出一般性的结论为：2cos2n 12n 110点 P 在
7、圆 C： x2 y21 上，经过点 P的圆的切线方程为 x y1，(22， 22) 22 224又点 Q(2,1)在圆 C外部，容易证明直线 2x y1 与圆相交，点 R 在圆 C的内部直(12， 12)线 x y1 与圆相离类比上述结论，你能给出关于一点 P(a， b)与圆 x2 y2 r2的位12 12置关系与相应直线与圆的位置关系的结论吗？解析：点 P(a， b)在 C： x2 y2 r2上时，直线 ax by r2与 C相切；点 P在 C内时，直线 ax by r2与 C相离；点 P在 C外部时，直线 ax by r2与 C相交容易证明此结论是正确的B组 能力提升1把 1,3,6,10
8、,15,21，这些数叫作三角形数，这是因为这些数的点可以排成一个正三角形(如下图)，试求第七个三角形数是( )A27 B28C29 D30解析：观察归纳可知第 n个三角形数共有点数：1234 n 个，n n 12第七个三角形数为 28.7 7 12答案：B2设 ABC的三边长分别为 a、 b、 c， ABC的面积为 S，内切圆半径为 r，则 r；类比这个结论可知：四面体 PABC的四个面的面积分别为 S1、 S2、 S3、 S4，内切2Sa b c球的半径为 r，四面体 PABC的体积为 V，则 r( )A. B.VS1 S2 S3 S4 2VS1 S2 S3 S4C. D.3VS1 S2 S
9、3 S4 4VS1 S2 S3 S4解析：将 ABC的三条边长 a、 b、 c类比到四面体 PABC的四个面面积S1、 S2、 S3、 S4，将三角形面积公式中系数 ，类比到三棱锥体积公式中系数 ，从而可知选12 13C.证明如下：以四面体各面为底，内切球心 O为顶点的各三棱锥体积的和为 V. V S1r S2r S3r S4r，13 13 13 135 r .3VS1 S2 S3 S4答案：C3(2014高考陕西卷)观察分析下列中的数据：多面体 面数( F) 顶点数( V) 棱数( E)三棱柱 5 6 9五棱锥 6 6 10立方体 6 8 12猜想一般凸多面体中， F， V， E所满足的等式
10、是_解析：三棱柱中 5692；五棱锥中 66102；立方体中 68122，由此归纳可得 F V E2.答案： F V E24已知经过计算和验证有下列正确的不等式： 2 ， 2 ， 2 ，根据以上不等式的规律，3 17 10 7.5 12.5 10 8 2 12 2 10请写出一个对正实数 m， n都成立的条件不等式_解析：观察所给不等式可以发现：不等式左边两个根式的被开方数的和等于 20，不等式的右边都是 2 ，因此对正实数 m， n都成立的条件不等式是：若 m， nR ，则当10m n20 时，有 2 .m n 10答案：若 m， nR ，则当 m n20 时，有 2m n 105在 ABC
11、中，不等式 成立，在四边形 ABCD中，不等式 1A 1B 1C 9 1A 1B 1C 1D成立，在五边形 ABCDE中，不等式 成立，猜想在 n边形 A1A2An中，162 1A 1B 1C 1D 1E 253有怎样的不等式成立？解析：根据已知特殊的数值： 、 、 ，总结归纳出一般性的规律：9 162 253(n3)n2 n 2 在 n边形 A1A2An中： (n3)1A1 1A2 1An n2 n 2 6.如图，设有双曲线 1， F1， F2是其两个焦点，点 M在双曲x24 y29线上(1)若 F1MF290，求 F1MF2的面积(2)若 F1MF260， F1MF2的面积是多少？若 F1
12、MF2120， F1MF2的面积又是多少？6(3)观察以上计算结果，你能看出随 F1MF2的变化， F1MF2的面积将怎样变化吗？试证明你的结论解析：(1)由双曲线方程知 a2， b3， c ，13设| MF1| r1，| MF2| r2(r1r2)由双曲线定义，有 r1 r22 a4，两边平方得 r r 2 r1r216，21 2即| F1F2|24 S F1MF216，也即 52164 S F1MF2，求得 S F1MF29.(2)若 F1MF260，在 MF1F2中，由余弦定理得| F1F2|2 r r 2 r1r2cos 60，21 2|F1F2|2( r1 r2)2 r1r2，所以 r1r236.求得 S F1MF2 r1r2sin 609 .12 3同理可求得若 F1MF2120，S F1MF23 .3(3)由以上结果猜想，随着 F1MF2的增大， F1MF2的面积将减小证明如下：令 F1MF2 ，则 S F1MF2 r1r2sin .12由双曲线定义及余弦定理，有Error!得 r1r2 ，4c2 4a22 1 cos 所以 S F1MF2 c2 a2 sin 1 cos ，b2tan 2因为 0 ，0 ，22在(0， )内，tan 是增函数2 2因此当 增大时， S F1MF2 将减小.b2tan 2
