1、1第八章 立体几何初步第 1 课时 空间点、直线、平面之间的 位置关系理解空间点、线、面的基本位置关系；会用数学语言规范地表述空间点、线、面的位置关系了解公理 1，2，3 及公理 3 的推论1，2，3，并能正确判定；了解平行公理和等角定理理解空间直线、平面位置关系的定义，能判定空间两直线的位置关系；了解异面直线所成的角1. (必修 2P24练习 2 改编)用集合符号表示“点 P 在直线 l 外，直线 l 在平面 内”为_答案：Pl，l解析：考查点、线、面之间的符号表示2. (必修 2P28练习 2 改编)已知 ABPQ，BCQR，若ABC45，则PQR_答案：45或 135解析：由等角定理可知
2、PQR 与ABC 相等或互补，故答案为 45或 135.3. (原创)若直线 l 上有两个点在平面 外，则_(填序号) 直线 l 上至少有一个点在平面 内； 直线 l 上有无穷多个点在平面 内； 直线 l 上所有点都在平面 外； 直线 l 上至多有一个点在平面 内答案：解析：由已知得直线 l，故直线 l 上至多有一个点在平面 内4. (必修 2P31习题 15 改编)如图所示，设 E，F，G，H 依次是空间四边形 ABCD 的边AB，BC，CD，DA 上除端点外的点， ， ，则下列结论中不正确的是AEAB AHAD CFCB CGCD_(填序号) 当 时，四边形 EFGH 是平行四边形； 当
3、时，四边形 EFGH 是梯形； 当 时，四边形 EFGH 一定不是平行四边形； 当 时，四边形 EFGH 是梯形答案：解析：由 ，得 EHBD，且 ，同理得 FGBD 且 ，当 AEAB AHAD EHBD FGBD时，EHFG 且 EHFG.当 时，EHFG，但 EHFG，只有错误5. (必修 2P30练习 2 改编)在正方体 A1B1C1D1ABCD 中，与 AB 异面的棱有_2答案：A 1D1，DD 1，CC 1，C 1B11. 公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内公理 2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经
4、过这个公共点的一条直线公理 3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面推论 1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面推论 2：经过两条相交直线，有且只有一个平面推论 3：经过两条平行直线，有且只有一个平面2. 空间两条直线的位置关系位置关系 共面情况 公共点个数相交直线 在同一平面内 有且只有一个平行直线 在同一平面内 没有异面直线 不同在任何一个平面内 没有3. 平行直线的公理及定理(1) 公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行(2) 定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等4. 异面直线的判定(1) 判定定理：过平面内一点与平面外
5、一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线(2) 符号表示：若 l，A，B，Bl，则直线 AB 与 l 是异面直线5. 异面直线所成的角(1) 定义：设 a，b 是异面直线，经过空间任意一点 O，作直线 aa，bb，我们把直线 a与 b所成的锐角(或直角)叫做异面直线 a，b 所成的角(2) 范围： .(0， 2(3) 若异面直线 a，b 所成的角是直角，就称异面直线 a，b 互相垂直记作 ab.备课札记3, 1 平面的基本性质), 1) 如图，正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 E，F 分别为 CC1，AA 1的中点，画出平面 BED1F 和平面 ABCD 的交线解：如图，在平面
6、 ADD1A1内延长 D1F 与 DA 交于一点 P，则 P平面 BED1F. DA平面 ABCD， P平面 ABCD， 点 P 是平面 ABCD 与平面 BED1F 的一个公共点又点 B 是两平面的一个公共点， PB 为两平面的交线备 选 变 式 （ 教 师 专 享 ）如图，在直角梯形 ABDC 中，ABCD，ABCD，S 是直角梯形 ABDC 所在平面外一点，画出平面 SBD 和平面 SAC 的交线，并说明理由解：显然点 S 是平面 SBD 和平面 SAC 的一个公共点，即点 S 在交线上，由于 ABCD，则分别延长 AC 和 BD 交于点 E，如图所示 EAC，AC平面 SAC， E平面
7、 SAC.同理，可证 E平面 SBD， 点 E 在平面 SBD 和平面 SAC 的交线上，连结 SE，则直线 SE 是平面 SBD 和平面 SAC 的交线, 2 共点、共线、共面问题)4, 2) 如图，在四边形 ABCD 和四边形 ABEF 中，BCAD，BC AD，BEFA，BE FA，点 G，H 分别为 FA，FD 的中点12 12(1) 求证：四边形 BCHG 是平行四边形(2) C，D，F，E 四点是否共面？为什么？(1) 证明：因为点 G，H 分别为 FA，FD 的中点，所以 GHAD，GH AD.又12BCAD，BC AD，12所以 GHBC，且 GHBC，所以四边形 BCHG 为
8、平行四边形(2) 解：C，D，F，E 四点共面理由如下：由 BEFA，BE FA，点 G 为 FA 的中点知，12BEFG，BEFG，所以四边形 BEFG 为平行四边形，所以 EFBG.由(1)知 BGCH，BGCH，所以 EFCH，所以 EF 与 CH 共面又 DFH，所以 C，D，F，E 四点共面变式训练如图，在直四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，点 E，F 分别是 AB，BC 的中点，A 1C1与 B1D1交于点 O.求证：A 1，C 1，F，E 四点共面证明：如图，连结 AC，因为点 E，F 分别是 AB，BC 的中点，所以 EF 是ABC 的中位线，所以 EFAC.由直棱柱知 AA
9、1綊 CC1，所以四边形 AA1C1C 为平行四边形，所以 ACA 1C1.所以 EFA 1C1，故 A1，C 1，F，E 四点共面, 3 空间直线位置关系问题), 3) 如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 M，N 分别是 A1B1，B 1C1的中点求证：(1) AM 和 CN 共面；(2) D1B 和 CC1是异面直线5证明：(1) 如图，连结 MN，A 1C1，AC. 点 M，N 分别是 A1B1，B 1C1的中点， MNA 1C1. A 1A 綊 C1C， 四边形 A1ACC1为平行四边形， A 1C1AC， MNAC， A，M，N，C 四点共面，即 AM 和 CN 共面(2
10、) ABCDA 1B1C1D1是正方体， B，C，C 1，D 1不共面假设 D1B 与 CC1不是异面直线，则存在平面 ，使 D1B平面 ，CC 1平面 ， D 1，B，C，C 1，这与 B，C，C 1，D 1不共面矛盾 假设不成立，即 D1B 与 CC1是异面直线变式训练已知空间四边形 ABCD 中，点 E，H 分别是边 AB，AD 的中点，点 F，G 分别是边 BC，CD的中点(1) 求证：BC 与 AD 是异面直线；(2) 求证：EG 与 FH 相交证明：(1) 假设 BC 与 AD 不是异面直线，则 BC 与 AD 共面不妨设它们所共平面为 ，则 B，C，A，D，所以四边形 ABCD
11、为平面图形，这与四边形 ABCD 为空间四边形相矛盾所以 BC 与 AD 是异面直线(2) 如图，连结 AC，BD，则 EFAC，HGAC，因此 EFHG；同理 EHFG，则 EFGH 为平行四边形又 EG，FH 是平行四边形 EFGH 的对角线，所以 EG 与 FH 相交1. 在下列命题中，不是公理的是_(填序号) 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线； 过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面； 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内； 平行于同一个平面的两个平面相互平行答案：解析：不是公理，是个常用的结论，需经过推理论证；
12、是平面的基本性质公理2. 一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：6 ABEF； AB 与 CM 所成的角为 60； EF 与 MN 是异面直线； MNCD.以上结论中正确的是_(填序号)答案：解析：把正方体平面展开图还原到原来的正方体，如图所示，ABEF，EF 与 MN 是异面直线，ABCM，MNCD，只有正确3. 在正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 E，F 分别为棱 AA1，CC 1的中点，则在空间中与三条直线 A1D1，EF，CD 都相交的直线有_条答案：无数解析：在 A1D1，C 1D1上任取一点 P，M，过点 P，M 与直线 EF 作一个平面 ，因 CD 与平
13、面 不平行，所以它们相交，设CDQ，连结 PQ，则 PQ 与 EF 必然相交，即 PQ 为所求直线由点 P 的任意性知，有无数条直线与直线 A1D1，EF，CD 都相交4. 如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 E，F，G 分别是棱 CC1，BB 1及 DD1的中点求证：BGCFD 1E.证明： 点 E，F，G 分别是正方体的棱 CC1，BB 1，DD 1的中点， CE 平行且等于 GD1，BF 平行且等于 GD1，则四边形 CED1G 与四边形 BFD1G 均为平行四边形则 GCD 1E，GBD 1F. BGC 与FD 1E 对应两边的方向分别相同， BGCFD 1E.5. 如图，
14、在正方体 ABCDA1B1C1D1中，对角线 A1C 与平面 BDC1交于点 O，AC，BD 交于点M，点 E 为 AB 的中点，点 F 为 AA1的中点求证：(1) C1，O，M 三点共线；(2) E，C，D 1，F 四点共面；(3) CE，D 1F，DA 三线共点证明：(1) C1，O，M平面 BDC1，又 C1，O，M平面 A1ACC1，由公理 3 知，点C1，O，M 在平面 BDC1与平面 A1ACC1的交线上， C 1，O，M 三点共线7(2) 点 E，F 分别是 AB，A 1A 的中点， EFA 1B. A 1BCD 1， EFCD 1. E，C，D 1，F 四点共面(3) 由(2
15、)可知，E，C，D 1， F 四点共面 EFA 1B， EF A1B， EF D1C， 12 12D1F，CE 为相交直线，记交点为 P.则 PD 1F平面 ADD1A1，PCE平面 ADCB， P平面ADD1A1平面 ADCBAD， CE，D 1F，DA 三线共点1. 如图，在正方体 ABCDEFMN 中，BM 与 ED 平行；CN 与 BM 是异面直线；CN 与BE 是异面直线；DN 与 BM 是异面直线以上四个命题中，正确的命题是_(填序号)答案： 解析：观察图形，根据异面直线的定义可知，BM 与 ED 是异面直线，CN 与 BM 是异面直线，CN 与 BE 不是异面直线，DN 与 BM
16、 是异面直线，故错误，正确即正确的命题是.2. 在空间四边形 ABCD 中，ABCD 且 AB 与 CD 所成的角为 30，点 M，N 分别是BC，AD 的中点，求直线 AB 和 MN 所成的角解：如图，取 AC 的中点 P.连结 PM，PN，则 PMAB，且 PM AB，PNCD，且 PN CD，12 12所以MPN 为直线 AB 与 CD 所成的角(或所成角的补角)则MPN30或MPN150.若MPN30，因为 PMAB，所以PMN 是 AB 与 MN 所成的角(或所成角的补角)又 ABCD，所以 PMPN，则PMN 是等腰三角形，所以PMN75，即直线 AB 与 MN 所成的角为 75.
17、若MPN150，易知PMN 是等腰三角形，所以PMN15，即直线 AB 与 MN 所成的角为 15.故直线 AB 和 MN 所成的角为 75或 15.3. 已知在棱长为 a 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 M，N 分别是棱 CD，AD 的中点求证：(1) 四边形 MNA1C1是梯形；(2) DNMD 1A1C1.证明：(1) 如图，连结 AC，在ACD 中， 点 M，N 分别是 CD，AD 的中点， MN 是三角形 ACD 的中位线，8 MNAC，MN AC.12由正方体的性质得 ACA 1C1，ACA 1C1， MNA 1C1且 MN A1C1，即 MNA 1C1，12 四边形 M
18、NA1C1是梯形(2) 由(1)知 MNA 1C1.又 NDA 1D1， DNM 与D 1A1C1相等或互补而DNM 与D 1A1C1均是直角三角形中的锐角， DNMD 1A1C1.1. 证明点线共面的常用方法：一是依据题中所给部分条件先确定一个平面，然后证明其余的点或线都在平面内；二是将所有元素分成几个部分，然后分别确定几个平面，再证这些平面重合；三是采用反证法2. 证明三线共点的方法：通常先证明两条直线的交点在第三条直线上，而第三条直线是分别经过这两条直线的两个平面的一条交线3. 异面直线的证明方法：一是应用判定定理(过平面内一点与平面外一点的连线与平面内不经过该点的直线是异面直线)；二是
19、采用反证法判定异面直线时通常采用排除法(既不相交也不平行)或判定定理4. 对于异面直线所成的角，要注意角的范围是 以及两条直线垂直的定义，平(0， 2移法是解决此类问题的关键备课札记9第 2 课时 直线与平面的位置关系(1) (对应学生用书(文)109110 页、(理)111112 页)了解直线与平面的位置关系，了解线面平行的有关概念；除了能熟练运用线面平行的判定定理和性质定理外，还能运用定义判断位置关系 要熟练掌握线面平行的定义、判定及性质. 要注意线线关系、线面关系以及面面关系的转化对于直线与平面所成的角，点到面的距离了解即可1. (必修 2P35练习 2 改编)给出下列条件： l； l
20、与 至少有一个公共点； l 与 至多有一个公共点则能确定直线 l 在平面 外的条件为_(填序号)答案：解析：直线 l 在平面 外：l 或直线 l 与平面 仅有一个交点2. (必修 2P35练习 7 改编)在梯形 ABCD 中，ABCD，AB平面 ，CD平面 ，则直线 CD 与平面 内的直线的位置关系是_答案：平行或异面解析：因为 ABCD，AB平面 ，CD 平面 ，所以 CD平面 ，所以 CD 与平面 内的直线可能平行，也可能异面3. (必修 2P35练习 4 改编)在正六棱柱 ABCDEFA1B1C1D1E1F1的表面中，与 A1F1平行的平面是_答案：平面 ABCDEF、平面 CC1D1D
21、解析：在正六棱柱中，易知 A1F1AF，AF平面 ABCDEF，且 A1F1平面 ABCDEF，所以A1F1平面 ABCDEF.同理，A 1F1C 1D1，C 1D1平面 CC1D1D，且 A1F1平面 CC1D1D，所以A1F1平面 CC1D1D.其他各面与 A1F1均不满足直线与平面平行的条件故答案为平面 ABCDEF与平面 CC1D1D.4. (原创)P 为矩形 ABCD 所在平面外一点，矩形对角线的交点为 O，M 为 PB 的中点，给出下列四个命题： OM平面 PCD； OM平面 PBC； OM平面 PDA； OM平面 PBA.其中正确命题的个数是_答案：2解析：由已知 OMPD，得
22、OM平面 PCD 且 OM平面 PAD.故正确的只有.5. (必修 2P41习题 5 改编)在四面体 ABCD 中，点 M，N 分别是ACD，BCD 的重心，则四面体的四个面中与 MN 平行的是_10答案：平面 ABC、平面 ABD解析：如图，连结 AM 并延长交 CD 于 E，连结 BN 并延长交 CD 于 F，由重心性质可知，E，F 重合为一点，且该点为 CD 的中点 E，由 ，得 MNAB，因此，MN平面EMMA ENNB 12ABC，且 MN平面 ABD.1. 一条直线和一个平面的位置关系有且只有以下三种：位置关系 直线 a 在平面 内 直线 a 与平面 相交 直线 a 与平面 平行公
23、共点 有无数个公共点 有且只有一个公共点 没有公共点符号表示 a aA a图形表示2. 直线与平面平行判定定理 性质定理文字如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行符号图形作用 线线平行 线面平行 线面平行 线线平行11 , 1 基本概念辨析) , 1) 下列命题中真命题的个数为 . 直线 l 平行于平面 内的无数条直线，则 l； 若直线 a 在平面 外，则 a； 若直线 ab，直线 b，则 a； 若直线 ab，b，那么直线 a 平行于平面 内的无数条直线.答案：1解析： 直线
24、 l 虽与平面 内无数条直线平行，但 l 有可能在平面 内， l 不一定平行于 . 是假命题 . 直线 a 在平面 外，包括两种情况：a 和 a 与 相交， a 和 不一定平行 . 是假命题. 直线 ab ，b，则只能说明 a 和 b 无公共点，但 a 可能在平面 内， a 不一定平行于 . 是假命题. ab，b，那么 a 或 a， a 可以与平面 内的无数条直线平行. 是真命题.综上可知，真命题的个数为 1.备 选 变 式 （ 教 师 专 享 ）下列命题中正确的是 .（填序号） 若直线 a 不在平面 内，则 a； 若直线 l 上有无数个点不在平面 内，则 l； 若直线 l 与平面 平行，则
25、l 与 内的任意一条直线都平行； 若 l 与平面 平行，则 l 与 内任何一条直线都没有公共点； 平行于同一平面的两直线可以相交.答案：解析：如图，aA 时，a， 错误；直线 l 与 相交时，l 上有无数个点不在 内， 错误； l 时， 内的直线与 l 平行或异面， 错误；l，l 与 无公共点， l 与 内任一直线都无公共点，正确；如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，A 1C1与 B1D1都与平面 ABCD 平行， 正确. , 2 线面平行的判定) , 2) 如图，在底面为平行四边形的四棱锥 PABCD 中，点 E 是 PC 的中点.求证：PA平面 BDE.证明：如图，连结 AC 交 BD
26、 于点 O，连结 OE.12在平行四边形 ABCD 中，O 是 AC 的中点，又 E 是 PC 的中点， OEPA. PA平面 BDE，OE平面 BDE， PA平面 BDE. 变式训练如图，在三棱柱 A1B1C1ABC 中， E，F 分别是 A1B，AC 1的中点.求证：EF平面 ABC.证明：如图，连结 A1C，因为三棱柱 A1B1C1ABC 中，四边形 AA1C1C 是平行四边形，所以点 F 在 A1C 上，且为 A1C 的中点.在A 1BC 中，因为 E，F 分别是 A1B，A 1C 的中点，所以 EFBC.因为 BC平面 ABC，EF平面 ABC，所以 EF平面 ABC.备 选 变 式
27、 （ 教 师 专 享 ）如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 M，N，P 分别为棱 AB，BC，C 1D1的中点.求证：AP平面 C1MN.证明：在正方体 ABCDA1B1C1D1中，13因为点 M，P 分别为棱 AB，C 1D1的中点，所以 AMPC 1.又 AMCD，PC 1CD，故 AMPC 1，所以四边形 AMC1P 为平行四边形.从而 APC 1M.又 AP 平面 C1MN，C 1M平面 C1MN，所以 AP平面 C1MN. , 3 线面平行的性质) , 3) 如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，ACBC，CC 14，M 是棱 CC1上的一点.若点 N 是 AB 的中点
28、，且 CN平面 AB1M，求 CM 的长.解：（解法 1）如图，取 AB1的中点 P，连结 NP，PM. 因为点 N 是 AB 的中点，所以 NPBB 1.因为 CMBB 1，所以 NPCM，所以 NP 与 CM 共面.因为 CN平面 AB1M，平面 CNPM平面 AB1MMP，所以 CNMP.所以四边形 CNPM 为平行四边形，所以 CMNP CC12.12（解法 2）如图，设 NC 与 CC1确定的平面交 AB1于点 P，连结 NP，PM. 因为 CN平面 AB1M，CN平面 CNPM，平面 AB1M平面 CNPMPM，所以 CNMP.因为 BB1CM，BB 1平面 CNPM，CM 平面
29、CNPM，所以 BB1平面 CNPM.又 BB1平面 ABB1，平面 ABB1平面 CNPMNP，所以 BB1NP，所以 CMNP，所以四边形 CNPM 为平行四边形.因为点 N 是 AB 的中点，所以 CMNP BB1 CC12.12 12（解法 3）如图，取 BB1的中点 Q，连结 NQ，CQ.14 因为点 N 是 AB 的中点，所以 NQAB 1.因为 NQ平面 AB1M，AB 1平面 AB1M，所以 NQ平面 AB1M.因为 CN平面 AB1M，NQNCN，NQ，NC平面 NQC，所以平面 NQC平面 AB1M.因为平面 BCC1B1平面 NQCQC，平面 BCC1B1平面 AB1MM
30、B 1，所以 CQMB 1.因为 BB1CC 1，所以四边形 CQB1M 是平行四边形，所以 CMB 1Q CC12.12（解法 4）如图，分别延长 BC，B 1M，设交点为 S，连结 AS. 因为 CN平面 AB1M，CN平面 ABS，平面 ABS平面 AB1MAS，所以 CNAS.由于 ANNB，所以 BCCS.又 CMBB 1，同理可得 SMMB 1，所以 CM BB1 CC12.12 12备 选 变 式 （ 教 师 专 享 ）如图，在斜三棱柱 ABCA1B1C1中，AC 1与 A1C 交于点 O，E 是棱 AB 上一点，且 OE平面BCC1B1.求证：点 E 是 AB 的中点.证明：连
31、结 BC1，因为 OE平面 BCC1B1，OE平面 ABC1，平面 BCC1B1平面 ABC1BC 1，所以 OEBC 1.在斜三棱柱 ABCA1B1C1中，侧面 AA1C1C 是平行四边形，AC 1A 1CO，所以点 O 是 AC1的中点，所以 1，即点 E 是 AB 的中点.AEEB AOOC1151. 如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，已知 ABAC，点 M，N，P 分别为 BC，CC 1，BB 1的中点.求证：A 1N平面 AMP.证明：取 C1B1的中点 D，连结 A1D，DN，DM，B 1C.由于点 D，M 分别为 C1B1，CB 的中点，所以 DMCC 1且 DMCC 1，
32、故 DMAA 1且 DMAA 1，则四边形 A1AMD 为平行四边形，所以A1DAM.又 A1D平面 APM，AM 平面 APM，所以 A1D平面 APM.由于 D，N 分别为 C1B1，CC 1的中点，所以 DNB 1C.又点 P，M 分别为 BB1，CB 的中点，所以 MPB 1C.所以 DNMP.又 DN平面 APM，MP平面 APM，所以 DN平面 APM.由于 A1DDND，所以平面 A1DN平面 APM.由于 A1N平面 A1DN，所以 A1N平面 APM.2. 如图，在四棱锥 EABCD 中，四边形 ABCD 为矩形，点 M，N 分别是 AE，CD 的中点.求证：直线 MN平面
33、EBC.证明：取 BE 中点 F，连结 CF，MF.因为点 M 是 AE 的中点，所以 MF 綊 AB.12又点 N 是矩形 ABCD 边 CD 的中点，所以 NC 綊 AB，所以 MF 綊 NC，12所以四边形 MNCF 是平行四边形，所以 MNCF.16又 MN平面 EBC，CF平面 EBC，所以 MN平面 EBC.3. 如图，在正三棱柱 ABCABC中，D 是 AA上的点，点 E 是 BC的中点，且AE平面 DBC.试判断 D 点在 AA上的位置，并给出证明.解：点 D 为 AA的中点.证明如下：如图，取 BC 的中点 F，连结 AF，EF，设 EF 与 BC交于点 O，连结 DO，BE
34、，CF，在正三棱柱 ABCABC中，点 E 是 BC的中点，所以EFBBAA，且 EFBBAA，所以四边形 AEFA 是平行四边形.因为 AE平面 DBC，AE平面 AEFA，且平面 DBC平面 AEFADO，所以 AEDO.在正三棱柱 ABCABC中，点 E 是 BC的中点，所以 ECBC 且 ECBF，所以四边形 BFCE 是平行四边形，所以点 O 是 EF 的中点.因为在平行四边形 AEFA 中， AEDO，所以点 D 为 AA的中点.4. 如图，在直四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，底面 ABCD 是菱形，点 E 是 A1C1的中点.求证：BE平面 ACD1.证明：如图，连结 B1D
35、1交 A1C1于点 E，连结 BD 交 AC 于点 O，连结 OD1. 在直四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，底面 ABCD 是菱形， D 1EBO 且 D1EBO， 四边形 BED1O 是平行四边形，17 BEOD 1. OD 1平面 ACD1，BE平面 ACD1， BE平面 ACD1.5. 如图，在四棱锥 PABCD 中，PC平面 PAD，ABCD，CD2AB2BC，点 M，N 分别是棱 PA，CD 的中点.求证：PC平面 BMN.证明：设 ACBNO，连结 MO，AN.因为 AB CD，ABCD，点 N 为 CD 的中点，12所以 ABCN，ABCN，所以四边形 ABCN 为平行四边形
36、，所以 O 为 AC 的中点.又点 M 为 PA 的中点，所以 MOPC.因为 MO平面 BMN，PC 平面 BMN，所以 PC平面 BMN.181. 如图，在三棱锥 PABC 中，点 M，N 分别为 AB，PA 的中点.求证：PB平面 MNC.证明：因为点 M，N 分别为 AB，PA 的中点，所以 MNPB.因为 MN平面 MNC，PB 平面 MNC，所以 PB平面 MNC.2. 如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，点 D 是 AB 的中点.求证：BC 1 平面 A1CD.证明：连结 AC1，设交 A1C 于点 O，连结 OD. 四边形 AA1C1C 是矩形， O 是 AC1的中点. 在
37、ABC 1中， O，D 分别是 AC1，AB 的中点， ODBC 1. OD平面 A1CD，BC 1平面 A1CD， BC 1平面 A1CD.3. 如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，点 PBB 1（P 不与 B，B 1重合）.PAA 1BM，PCBC 1N.求证：MN平面 ABCD.19证明：连结 AC，A 1C1，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，AA1CC 1，且 AA1CC 1， 四边形 ACC1A1是平行四边形. ACA 1C1. AC平面 A1BC1，A 1C1平面 A1BC1， AC平面 A1BC1. AC平面 PAC，平面 A1BC1平面 PACMN， ACMN.
38、MN平面 ABCD，AC平面 ABCD， MN平面 ABCD.1. 判定或证明直线与平面平行的常用方法（1） 利用直线与平面平行的定义（无公共点）.（2） 利用直线与平面平行的判定定理（a，b ，ab a）.（3） 利用平面与平面平行的性质（，a a ）.注意不管用哪种方法，都应将相应的条件写全，缺一不可.2. 直线与平面平行的性质定理的作用是证线线平行，应用时常常需构造辅助平面，和在平面几何中添加辅助线一样，在构造辅助平面时要确认这个平面的存在性.3. 证明平行问题时要注意“转化思想”的应用，要抓住线线、线面、面面之间的平行关系，实现“空间问题”与“平面问题”之间的转化.备课札记第 3 课时
39、 直线与平面的位置关系（2） （对应学生用书（文）111113 页、 （理）113115 页）了解直线与平面的位置关系，了解空间垂直的有关概念；熟练运用线面垂直的判定定理和性质定理.要注意线线垂直、线面垂直的转化.可以按照要证明的目标重新整理知识点.1. （必修 2P38练习 2（3）改编）已知直线 l，a，b，平面 .若la，a，b，则 l 与 b 的位置关系是 .答案：平行20解析：由线面垂直的性质可知，若 a，b，则 ab.因为 la，所以 lb.2. 已知两条异面直线平行于一平面，一直线与两异面直线都垂直，那么这个平面与这条直线的位置关系是 .（填序号） 平行； 垂直； 斜交； 不能确
40、定.答案：解析：设 a，b 为异面直线，a平面 ，b平面 ，直线 la，lb.过 a 作平面a，则 aa， la.同理过 b 作平面 b，则 lb. a，b异面， a与 b相交， l.3. 设 l，m 表示直线，m 是平面 内的任意一条直线，则“lm”是“l”成立的 条件.（选填“充分不必要” “必要不充分” “充要”或“既不充分又不必要” ）答案：充要解析：由线面垂直的定义知，直线垂直于平面内任意一条直线，则直线与平面垂直，说明是充分条件，反之，直线垂直于平面，则直线垂直于平面内任意一条直线，说明是必要条件，则“lm”是“l”成立的充要条件.4. （必修 2P42习题 9 改编）如图，AB
41、是圆 O 的直径，PA 垂直于圆 O 所在的平面，C是圆 O 上不同于 A，B 的任一点，则图中直角三角形的个数为 .答案：4解析：因为 AB 是圆 O 的直径，所以 ACBC，ACB 是直角三角形；由 PA平面 ABC可得，PAAB，PAAC，所以PAB 与PAC 是直角三角形；因为 PA平面 ABC，且 BC平面 ABC，所以 PABC.又 BCAC，PAACA，所以 BC平面 PAC.而 PC平面 PAC，所以BCPC，PCB 是直角三角形.故直角三角形的个数为 4.5. （必修 2P38练习 3 改编）在正方体 ABCDA1B1C1D1中，已知 AB1，则点 C 到平面B1BDD1的距
42、离为 .答案：22解析：连结 AC，则 ACBD，又 BB1AC，故 AC平面 B1BDD1，所以点 C 到平面 B1BDD1的距离为 AC .12 221. 直线与平面垂直的定义：如果一条直线 a 与一个平面 内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 a 与平面 互相垂直，记作 a，直线 a 叫做平面 的垂线，平面 叫做直线 a 的垂面，垂线和平面的交点称为垂足.212. 结论：过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，过一点有且只有一个平面与已知直线垂直.3. 直线与平面垂直判定定理 性质定理文字如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面如果两条直线垂直于同一个平面，那
43、么这两条直线平行符号图形 作用 线线垂直 线面垂直 线面垂直 线线平行4. 点到平面的距离从平面外一点引平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离.5. 直线和平面的距离一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线和这个平面的距离.6. 直线与平面所成的角（1） 斜线一条直线与一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线与平面的交点叫做斜足，斜线上一点与斜足间的线段叫做这个点到平面的斜线段.（2） 射影过平面 外一点 P 向平面 引斜线和垂线，那么过斜足 Q 和垂足 P1的直线就是斜线在平面内的正投影（简称射影） ，线段 P1Q
44、 就是斜线段 PQ 在平面 内的射影，如图.（3） 直线和平面所成的角平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线与这个平面所成的角.特别地，如果直线和平面垂直，那么就说这条直线与平面所成的角是直角；如果直线与平面平行或在平面内，则它们所成的角是 0的角.备课札记22 , 1 直线与平面垂直的判定) , 1) 如图，在直四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，点 E，F 分别是 AB，BC 的中点，A1C1与 B1D1交于点 O.若底面 ABCD 是菱形，且 ODA 1E，求证：OD平面 A1C1FE.证明：连结 BD，因为直棱柱中 DD1平面 A1B1C1D1，A 1C1平面 A
45、1B1C1D1，所以DD1A 1C1. 因为底面 A1B1C1D1是菱形，所以 A1C1B 1D1.又 DD1B 1D1D 1，所以 A1C1平面 BB1D1D.因为 OD平面 BB1D1D，所以 ODA 1C1.又 ODA 1E，A 1C1A 1EA 1，A 1C1平面 A1C1FE，A 1E平面 A1C1FE，所以 OD平面A1C1FE. 变式训练如图，在三棱锥 PABC 中，平面 PAB平面 ABC，PAPB，M，N 分别为 AB，PA 的中点.若 ACBC，求证：PA平面 MNC.23证明：因为 M，N 分别为 AB，PA 的中点，所以 MNPB.又因为 PAPB，所以 PAMN.因为 ACBC，AMBM，所以 CMAB.因为平面 PAB平面 ABC，CM平面 ABC，平面 PAB平面 ABCAB，所以 CM平面 PAB.因为 PA平面 PAB，所以 CMPA.又因为 PAMN，MN平面 MNC，CM 平面 MNC，MNCMM，所以 PA平面 MNC. , 2 直线与平面垂直性质的应用) , 2) 如图，在四棱锥 PABCD 中，AD平面 PAB，APAB.（1） 求证：CDAP；（2） 若 CDPD，求证：CD平面 PAB.证明：（1
