2019届高考数学一轮复习 第二章 函数的概念与基本初等函数课时跟踪训练（打包10套）文.zip

1课时跟踪训练(十) 对数与对数函数[基础巩固]一、选择题1．(2018·湖北省仙桃中学月考)计算 2log63＋log 64 的结果是( )A．log 62 B．2C．log 63 D．3[解析] 2log 63＋log 64＝log 69＋log 64＝log 636＝2.故选 B.[答案] B2．(2018·临川二中月考)若函数 f(x)＝log ax(00 且 a≠1)满足 f f ，则 f 0(2a) (3a) (1－ 1x)的解为( )A．01 D． x0[解析] 因为函数 f(x)＝log ax(a0 且 a≠1)在(0，＋∞)上为单调函数，而 f ，所以 f(x)＝log ax(a0 且 a≠1)在(0，＋∞)上单调递减，从而(2a) (3a)f 0⇒01.故选 C.(1－1x) 1x 1x[答案] C4．(2017·江西南昌调研)函数 y＝2log 4(1－ x)的图象大致是( )2[解析] 函数 y＝2log 4(1－ x)的定义域为(－∞，1)，排除 A、B；又函数y＝2log 4(1－ x)在定义域内单调递减，排除 D，选 C.[答案] C5．(2017·河南郑州质量预测)已知函数 f(x)＝Error!则 f[f(1)]＋ f 的值是( )(log312)A．5 B．3C．－1 D．72[解析] 由题意可知 f(1)＝log 21＝0，f[f(1)]＝ f(0)＝3 0＋1＝2，f ＝3 ＋1＝3 log32＋1＝2＋1＝3，(log312) 所以 f[f(1)]＋ f ＝5.(log312)[答案] A6．若 lgx＋lg y＝2lg(2 x－3 y)，则 log 的值为( )32xyA．0 B．2C．0 或 2 D． 或 112[解析] 依题意，可得 lg(xy)＝lg(2 x－3 y)2，即 xy＝4 x2－12 xy＋9 y2，3整理得：4 2－13 ＋9＝0，(xy) (xy)解得 ＝1 或 ＝ .xy xy 94∵ x0， y0,2x－3 y0，∴ ＝ ，∴log ＝2.选 B.xy 94 32xy[答案] B二、填空题7．(2017·杭州调研)计算：log 2 ＝________； ＝________.22[解析] log 2 ＝log 2 －log 22＝ －1＝－ ；22 2 12 12[答案] － 312 38．设 f(x)＝lg 是奇函数，则使 f(x)0，且 a≠1)，若 f(x)1 在区间[1,2]上恒成立，则实数 a 的取值范围是________．[解析] 当 a1 时， f(x)＝log a(8－ ax)在[1,2]上是减函数，由 f(x)1 在区间[1,2]上恒成立，则 f(x)min＝log a(8－2 a)1，解之得 11 在区间[1,2]上恒成立，则 f(x)min＝log a(8－ a)1，且 8－2 a0.∴ a4，且 a0，ax－ 2x－ 1当 0 ；2a当 a2a}当 af(－ )，则 a 的取值范围是( )2A．(－∞， ) B．(0， )3 3C．( ，＋∞) D．(1， )3 3[解析] ∵ f(x)是定义在 R 上的偶函数，且在区间(－∞，0]上单调递增，∴ f(x)在区间[0，＋∞)上单调递减．又 f(－ )＝ f( )，2 2∴ f(2 log3a)f( )．∵2 log3a 0， f(x)在区间[0，＋∞)上单调递减，∴00 时，由| f(a)|≥2 可得|1－log 2a|≥2，所以 1－log 2a≤－2 或 1－log 2a≥2，解得 01， b1，e2x则 alnb的最大值为________．[解析] 由题意知 b＝ ，则 alnb＝ a ＝ a(2－ln a)，令 t＝ a(2－ln a)(t0)，则e2a lnt＝ln a(2－ln a)＝－(ln a)2＋2ln a＝－(ln a－1) 2＋1≤1，当 lna＝1 时， “＝”成立，此时lnt＝1，所以 t＝e，即 alnb的最大值为 e. [答案] e15．(2017·山西运城期中)已知函数 f(x)＝(log 2x－2)· .(log4x－12)(1)当 x∈[1,4]时，求该函数的值域；(2)若 f(x)≤ mlog2x 对 x∈[4,16]恒成立，求 m 的取值范围．[解] (1)令 t＝log 2x， t∈[0,2]，∴ f(t)＝( t－2) ＝ (t－2)( t－1)，(12t－ 12) 12∴ f(0)≥ f(t)≥ f ，∴－ ≤ f(t)≤1，(32) 186故该函数的值域为 .[－18， 1](2)同(1)令 t＝log 2x，∵ x∈[4,16]，∴ t∈[2,4]，∴ (t－2)( t－1)≤ mt，∴ t＋ －3≤2 m 恒成立．12 2t令 g(t)＝ t＋ ，其在( ，＋∞)上单调递增，2t 2∴ g(t)≤ g(4)＝ ，∴ －3≤2 m，∴ m≥ .92 92 3416．(2018·泸州二诊)已知函数 f(x)＝lg (a0)为奇函数，函数 g(x)＝1＋ x＋1＋ ax1－ x(b∈R)．b1－ x(1)求函数 f(x)的定义域；(2)当 x∈ 时，关于 x 的不等式 f(x)≤lg g(x)有解，求 b 的取值范围．[13， 12][解] (1)由 f(x)＝lg (a0)为奇函数，得 f(－ x)＋ f(x)＝0，1＋ ax1－ x即 lg ＋lg ＝lg ＝0，1－ ax1＋ x 1＋ ax1－ x 1－ a2x21－ x2所以 ＝1，解得 a＝1( a＝－1 舍去)，1－ a2x21－ x2故 f(x)＝lg ，1＋ x1－ x所以 f(x)的定义域是(－1,1)．(2)不等式 f(x)≤lg g(x)有解，等价于 ≤1＋ x＋ 有解，即 b≥ x2＋ x 在1＋ x1－ x b1－ x上有解，[13， 12]故只需 b≥( x2＋ x)min，函数 y＝ x2＋ x＝ 2－ 在区间 上单调递增，(x＋12) 14 [13， 12]所以 ymin＝ 2＋ ＝ ，(13) 13 49所以 b 的取值范围是 .[49， ＋ ∞ )[延伸拓展](2017·东北三省四市一模)已知点( n， an)，( n∈N *)在 y＝e x的图象上，若满足Tn＝ln a1＋ln a2＋…＋ln ank 时 n 的最小值为 5，则 k 的取值范围是( )A． k15 B． k107C．10≤ k15 D．10 k15[解析] 由题意得，an＝e n，∴ Tn＝ln a1＋ln a2＋…＋ln an＝1＋2＋…＋ n＝ ，∴ T4≤ kT5,10≤ k15，n n＋ 12故选 C.[答案] C1课时跟踪训练(十一) 函数的图象[基础巩固]一、选择题1．函数 y＝－e x的图象( )A．与 y＝e x的图象关于 y 轴对称B．与 y＝e x的图象关于坐标原点对称C．与 y＝e － x的图象关于 y 轴对称D．与 y＝e － x的图象关于坐标原点对称[解析] y＝－e x的图象与 y＝e x的图象关于 x 轴对称，与 y＝e － x的图象关于坐标原点对称．[答案] D2．已知函数 y＝log a(x＋ c)(a， c 为常数，其中 a0， a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( )A． a1， c1B． a1,01D．00，即logac0，所以 00，从而必有 f(x)0 且 a≠1)和函数 g(x)＝sinx，若 f(x)与 g(x)的图象有且只有 3 个交点，求 a 的取值范围．π 2[解] 由对数函数以及三角函数的图象，如图，可得Error! 或Error!解得 5a9 或 a .17 1316．已知函数 f(x)的图象与函数 h(x)＝ x＋ ＋2 的图象关于点 A(0,1)对称．1x(1)求 f(x)的解析式；(2)若 g(x)＝ f(x)＋ ，且 g(x)在区间(0,2]上为减函数，求实数 a 的取值范围．ax[解] (1)设 f(x)图象上任一点 P(x， y)，则点 P 关于(0,1)点的对称点 P′(－ x,2－ y)在 h(x)的图象上，即 2－ y＝－ x－ ＋2，∴ y＝ f(x)＝ x＋ (x≠0)．1x 1x(2)g(x)＝ f(x)＋ ＝ x＋ ， g′( x)＝1－ .ax a＋ 1x a＋ 1x2∵ g(x)在(0,2]上为减函数，∴1－ ≤0 在(0,2]上恒成立，即 a＋1≥ x2在(0,2]上恒成立，∴ a＋1≥4，即a＋ 1x2a≥3，故 a 的取值范围是[3，＋∞)．[延伸拓展](2017·江西赣州十四校联考)已知正方体 ABCD－ A1B1C1D1的棱长为 1， E， F 分别是边AA1， CC1上的中点，点 M 是 BB1上的动点，过点 E， M， F 的平面与棱 DD1交于点 N，设8BM＝ x，平行四边形 EMFN 的面积为 S，设 y＝ S2，则 y 关于 x 的函数 y＝ f(x)的图象大致是( )[解析] 由对称性可知，四边形 EMFN 是菱形，所以 S＝ EF×MN，而 EF＝ ， MN＝2 12 2＝2 ，所以 S＝ × ，即 f(x)＝2 2＋1，故(12－ x)2＋ (22)2 (x－ 12)2＋ 12 2 (x－ 12)2＋ 12 (x－ 12)选 A.[答案] A1课时跟踪训练(十二) 函数与方程[基础巩固]一、选择题1．若函数 f(x)在区间[－2,2]上的图象是连续不断的曲线，且 f(x)在(－2,2)内有一个零点，则 f(－2)· f(2)的值( )A．大于 0 B．小于 0C．等于 0 D．不能确定[解析] 若函数 f(x)在(－2,2)内有一个零点，且该零点是变号零点，则 f(－2)· f(2)0，故选 D.[答案] D2．若函数 f(x)＝ ax2－ x－1 有且仅有一个零点，则实数 a的取值为( )A．0 B．－14C．0 或－ D．214[解析] 当 a＝0 时，函数 f(x)＝－ x－1 为一次函数，则－1 是函数的零点，即函数仅有一个零点；当 a≠0 时，函数 f(x)＝ ax2－ x－1 为二次函数，并且仅有一个零点，则一元二次方程ax2－ x－1＝0 有两个相等实根．∴ Δ ＝1＋4 a＝0，解得 a＝－ .14综上，当 a＝0 或 a＝－ 时，函数仅有一个零点．14[答案] C3．(2017·湖北襄阳四校联考)函数 f(x)＝3 x＋ x3－2 在区间(0,1)内的零点个数是( )A．0 B．1C．2 D．3[解析] 由题意知 f(x)单调递增，且 f(0)＝1＋0－2＝－10，即 f(0)·f(1)e ，∴ f(3)0，故 x0∈(2,3)，选 C.12 [答案] C5．(2017·辽宁大连二模)已知偶函数 y＝ f(x)(x∈R)满足 f(x)＝ x2－3 x(x≥0)，若函数 g(x)＝Error!则 y＝ f(x)－ g(x)的零点个数为( )A．1 B．3C．2 D．4[解析] 作出函数 f(x)与 g(x)的图象如图，由图象可知两个函数有 3个不同交点，所以函数 y＝ f(x)－ g(x)有 3个零点，故选 B.[答案] B6．(2017·河北承德模拟)若函数 f(x)＝Error!有三个不同的零点，则实数 a的取值范围是( )A. B．(12， ＋ ∞ ) (14， 12]C．(－∞，0)∪ D．(－∞，0)∪(14， 12] (14， ＋ ∞ )[解析] 由题意知，当 x≤0 时，函数 f(x)有 1个零点，即 2x－2 a＝0 在 x≤0 上有根，所以 00时函数 f(x)有 2个零点，只需Error!解得 a ，综上可12 14得实数 a的取值范围是 0， f(3)＝3 3＋9－8＝280，故下一个有根区间为(1,2)．[答案] (1,2)38．(2017·四川绵阳模拟)函数 f(x)＝2 x－ － a的一个零点在区间(1,2)内，则实数 a2x的取值范围是________．[解析] 由题意，知函数 f(x)在(1,2)上单调递增，又函数一个零点在区间(1,2)内，所以Error! 即Error!解得 00时，方程 ax－3＝0 有解，故 a0，所以当 x≤0 时，需满足Error!即 00)．e2x(1)若 y＝ g(x)－ m有零点，求 m的取值范围；(2)确定 m的取值范围，使得 g(x)－ f(x)＝0 有两个相异实根．图(1)[解] (1)作出 g(x)＝ x＋ (x0)的大致图象如图(1)．e2x可知若使 y＝ g(x)－ m有零点，则只需 m≥2e.(2)若 g(x)－ f(x)＝0 有两个相异实根，即 g(x)与 f(x)的图象有两个不同的交点，4图(2)作出 g(x)＝ x＋ (x0)的大致图象如图(2)．e2x∵ f(x)＝－ x2＋2e x＋ m－1＝－( x－e) 2＋ m－1＋e 2.∴其图象的对称轴为 x＝e，开口向下，最大值为 m－1＋e 2.故当 m－1＋e 22e，即 m－e 2＋2e＋1 时， g(x)与 f(x)有两个交点，即 g(x)－ f(x)＝0 有两个相异实根．∴ m的取值范围是(－e 2＋2e＋1，＋∞)．[能力提升]11．(2017·云南昆明一模)设函数 f(x)＝e x＋ x－2， g(x)＝ln x＋ x2－3.若函数 f(x)，g(x)的零点分别为 a， b，则有( )A． g(a)0， g(1)＝－20，所以 a， b存在且唯一，且 a∈(0,1)，b∈(1,2)，从而 f(1)0， g(a) ；当 x≥1 时，log 2x≥0，依题意函数 y＝ f(x)的图象和125直线 y＝ k的交点有两个，∴ k .12[答案] (12， ＋ ∞ )14．(2017·云南省高三统一检测)已知 y＝ f(x)是 R上的偶函数，对于任意的 x∈R，均有 f(x)＝ f(2－ x)，当 x∈[0,1]时， f(x)＝( x－1) 2，则函数 g(x)＝ f(x)－log 2017|x－1|的所有零点之和为________．[解析] 因为函数 f(x)是偶函数， f(x)＝ f(2－ x)，所以 f(x)＝ f(－ x)＝ f(x＋2)，所以函数 f(x)的周期为 2，又当 x∈[0,1]时， f(x)＝( x－1) 2，将偶函数 y＝log 2017|x|的图象向右平移一个单位长度得到函数 y＝log 2017|x－1|的图象，由此可在同一平面直角坐标系下作函数 y＝ f(x)与 y＝log 2017|x－1|的图象(图略)，函数 g(x)的零点，即为函数y＝ f(x)与 y＝log 2017|x－1|图象的交点的横坐标，当 x2018时，两函数图象无交点，又两函数图象在[1,2018]上有 2016个交点，由对称性知两函数图象在[－2016,1]上也有2016个交点，且它们关于直线 x＝1 对称，所以函数 g(x)的所有零点之和为 4032.[答案] 403215．(2018·烟台模拟)已知二次函数 f(x)＝ x2＋(2 a－1) x＋1－2 a，(1)判断命题：“对于任意的 a∈R，方程 f(x)＝1 必有实数根”的真假，并写出判断过程；(2)若 y＝ f(x)在区间(－1,0)及 内各有一个零点，求实数 a的取值范围．(0，12)[解] (1)“对于任意的 a∈R，方程 f(x)＝1 必有实数根”是真命题．依题意， f(x)＝1 有实根，即 x2＋(2 a－1) x－2 a＝0 有实根，因为 Δ ＝(2 a－1)2＋8 a＝(2 a＋1) 2≥0 对于任意的 a∈R 恒成立，即 x2＋(2 a－1) x－2 a＝0 必有实根，从而f(x)＝1 必有实根．(2)依题意，要使 y＝ f(x)在区间(－1,0)及 内各有一个零点，(0，12)只需Error! 即Error!解得 0.∴ f(x)min＝ f(1)＝－4 a＝－4， a＝1.故函数 f(x)的解析式为 f(x)＝ x2－2 x－3.(2)∵ g(x)＝ －4ln x＝ x－ －4ln x－2( x0)，x2－ 2x－ 3x 3x∴ g′( x)＝1＋ － ＝ .3x2 4x  x－ 1  x－ 3x2令 g′( x)＝0，得 x1＝1， x2＝3.当 x变化时， g′( x)， g(x)的取值变化情况如下：x (0,1) 1 (1,3) 3 (3，＋∞)g′( x) ＋ 0 － 0 ＋g(x)  极大值  极小值 当 0x≤3 时， g(x)≤ g(1)＝－40.又因为 g(x)在(3，＋∞)上单调递增，因而 g(x)在(3，＋∞)上只有 1个零点．故 g(x)在(0，＋∞)上仅有 1个零点．[延伸拓展](2017·郑州市高三一测)对于函数 f(x)与 g(x)，若存在 λ ∈{ x∈R| f(x)＝0}，μ ∈{ x∈R| g(x)＝0}，使得| λ － μ |≤1，则称函数 f(x)与 g(x)互为“零点密切函数” ，现已知函数 f(x)＝e x－2 ＋ x－3 与 g(x)＝ x2－ ax－ x＋4 互为“零点密切函数” ，则实数 a的取值范围是________．[解析] 易知函数 f(x)为增函数，且 f(2)＝e 2－2 ＋2－3＝0，所以函数 f(x)＝e x－2 ＋ x－3 只有一个零点 x＝2，则取 λ ＝2，由|2－ μ |≤1，知 1≤ μ ≤3.由 f(x)与g(x)互为“零点密切函数”知函数 g(x)＝ x2－ ax－ x＋4 在区间[1,3]内有零点，即方程x2－ ax－ x＋4＝0 在[1,3]内有解，所以 a＝ x＋ －1，而函数 a＝ x＋ －1 在[1,2]上单调递4x 4x减，在[2,3]上单调递增，所以当 x＝2 时， a取最小值 3，又当 x＝1 时， a＝4，当 x＝3 时，a＝ ，所以 amax＝4，所以实数 a的取值范围是[3,4]．103[答案] [3,4]1课时跟踪训练(十三) 函数模型及其应用[基础巩固]一、选择题1．物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案．据预测，这四种方案均能在规定的时间 T内完成预测的运输任务 Q0，各种方案的运输总量 Q与时间 t的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是( )[解析] 由运输效率(单位时间的运输量)逐步提高得，曲线上的点的切线斜率应逐渐增大，故函数的图象应一直是下凹的．[答案] B2．(2018·河南洛阳期中)已知某种动物繁殖量 y(只)与时间 x(年)的关系为y＝ alog3(x＋1)，设这种动物第 2年有 100只，到第 8年它们发展到( )A．100 只 B．200 只C．300 只 D．400 只[解析] 由题意知 100＝ alog3(2＋1)，∴ a＝100，∴ y＝100log 3(x＋1)，当 x＝8 时，y＝100log 39＝200.[答案] B3．(2017·福建质检)当生物死亡后，其体内原有的碳 14的含量大约每经过 5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期” ．当死亡生物体内的碳 14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了．若某死亡生物体内的碳 14用一般的放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期\”个数至少是( )A．8 B．9C．10 D．11[解析] 设死亡生物体内原有的碳 14含量为 1，则经过 n(n∈N *)个“半衰期”后的含量为 n，由 n200，化简得(n－2016)lg1.12lg2－lg1.3，所以 n－2016 ＝3.8，所以 n＝2020，因此开始lg2－ lg1.3lg1.12超过 200万元的年份是 2020年，故选 C.[答案] C6．国家规定个人稿费纳税办法是：不超过 800元的不纳税；超过 800元而不超过4000元的按超过 800元部分的 14%纳税；超过 4000元的按全部稿酬的 11%纳税．已知某人出版一本书，共纳税 420元，则这个人应得稿费(扣税前)为( )A．2800 元 B．3000 元C．3800 元 D．3818 元[解析] 设扣税前应得稿费为 x元，则应纳税额为分段函数，由题意，得y＝Error!如果稿费为 4000元应纳税为 448元，现知某人共纳税 420元，所以稿费应在800～4000 元之间，∴( x－800)×14%＝420，∴ x＝3800.[答案] C二、填空题37.(2016·江西六校联考) A、 B两只船分别从在东西方向上相距 145 km的甲乙两地开出． A从甲地自东向西行驶． B从乙地自北向南行驶， A的速度是 40 km/h， B的速度是 16 km/h，经过________小时， AB间的距离最短．[解析] 设经过 x h， A， B相距为 y km，则 y＝ ，求得函数的最小值时 x的值为 . 145－ 40x 2＋  16x 2(0≤ x≤298) 258[答案] 2588．(2017·北京海淀一模)某购物网站在 2014年 11月开展“全场 6折”促销活动，在11日当天购物还可以再享受“每张订单金额(6 折后)满 300元时可减免 100元” ．某人在11日当天欲购入原价 48元(单价)的商品共 42件，为使花钱总数最少，他最少需要下的订单张数为__________．[解析] 为使花钱总数最少，需使每张订单满足“每张订单金额(6 折后)满 300元时可减免 100元” ，即每张订单打折前原金额不少于 500元．由于每件原价 48元，因此每张订单至少 11件，所以最少需要下的订单张数为 3张．[答案] 39．某食品的保鲜时间 t(单位：小时)与储藏温度 x(单位：℃)满足函数关系 t＝Error!且该食品在 4℃的保鲜时间是 16小时．已知甲在某日上午 10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示．给出以下四个结论：4①该食品在 6℃的保鲜时间是 8小时；②当 x∈[－6,6]时，该食品的保鲜时间 t随着x增大而逐渐减少；③到了此日 13时，甲所购买的食品还在保鲜时间内；④到了此日 14时，甲所购买的食品已然过了保鲜时间．其中，所有正确结论的序号是__________．[解析] ∵食品的保鲜时间 t(单位：小时)与储藏温度 x(单位：℃)满足函数关系t＝Error! 且该食品在 4℃的保鲜时间是 16小时．∴2 4k＋6 ＝16，即 4k＋6＝4，解得k＝－ ，∴ t＝ 当 x＝6 时， t＝8.①该食品在 6℃的保鲜时间是 8小时，正确；②当12x∈[－6,0]时，保鲜时间恒为 64小时，当 x∈(0,6]时，该食品的保鲜时间 t随着 x增大而逐渐减少，故错误；③到了此日 10时，温度超过 8度，此时保鲜时间不超过 4小时，故到 13时，甲所购买的食品不在保鲜时间内，故错误；④到了此日 14时，甲所购买的食品已然过了保鲜时间，故正确．故正确的结论的序号为①④.[答案] ①④三、解答题10．已知某物体的温度 θ (单位：摄氏度)随时间 t(单位：分钟)的变化规律：θ ＝ m·2t＋2 1－ t(t≥0，并且 m0)．(1)如果 m＝2，求经过多少时间，物体的温度为 5摄氏度；(2)若物体的温度总不低于 2摄氏度，求 m的取值范围．[解] (1)若 m＝2，则 θ ＝2·2 t＋2 1－ t＝2 ，(2t＋12t)当 θ ＝5 时，2 t＋ ＝ ，令 2t＝ x≥1，则 x＋ ＝ ，12t 52 1x 52即 2x2－5 x＋2＝0，解得 x＝2 或 x＝ (舍去)，12此时 t＝1.所以经过 1分钟，物体的温度为 5摄氏度．5(2)物体的温度总不低于 2摄氏度，即 θ ≥2 恒成立．亦 m·2t＋ ≥2 恒成立，亦即 m≥2 恒成立．22t (12t－ 122t)令 ＝ x，则 0x≤1，∴ m≥2( x－ x2)，12t由于 x－ x2≤ ，∴ m≥ .因此，当物体的温度总不低于 2摄氏度时， m的取值范围是14 12.[12， ＋ ∞ )[能力提升]11．(2017·陕西西安模拟)某校为了规范教职工绩效考核制度，现准备拟定一函数用于根据当月评价分数 x(正常情况 0≤ x≤100，且教职工平均月评价分数在 50分左右，若有突出贡献可以高于 100分)计算当月绩效工资 y元．要求绩效工资不低于 500元，不设上限且让大部分教职工绩效工资在 600元左右，另外绩效工资越低、越高人数要越少．则下列函数最符合要求的是( )A． y＝( x－50) 2＋500B． y＝10 ＋500 C． y＝ (x－50) 3＋62511000D． y＝50[10＋lg(2 x＋1)][解析] 由题意知，函数应满足单调递增，且先慢后快，在 x＝50 左右增长缓慢，最小值为 500，A 是先减后增，不符合要求；B 由指数函数知是增长越来越快，不符合要求；D由对数函数知增长速度越来越慢，不符合要求；C 是由 y＝ x3经过平移和伸缩变换而得，最符合题目要求，故选 C.[答案] C12．(2017·石家庄质检)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率” ．在特定条件下，可食用率 p与加工时间 t(单位：分钟)满足函数关系p＝ at2＋ bt＋ c(a， b， c是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为( )6A．3.50 分钟 B．3.75 分钟C．4.00 分钟 D．4.25 分钟[解析] 根据图表，把( t， p)的三组数据(3,0.7)，(4，0.8)，(5,0.5)分别代入函数关系式，联立方程组得Error!消去 c化简得Error!解得Error! 所以p＝－0.2 t2＋1.5 t－2＝－ ＋ －2＝－ 2＋ ，所以当15(t2－ 152t＋ 22516) 4516 15(t－ 154) 1316t＝ ＝3.75 时， p取得最大值，即最佳加工时间为 3.75分钟．154[答案] B13．一个容器装有细沙 a cm3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出， t min后剩余的细沙量为 y＝ ae－ b t(cm3)，经过 8 min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min，容器中的沙子只有开始时的八分之一．[解析] 当 t＝0 时， y＝ a，当 t＝8 时， y＝ ae－8 b＝ a，12∴e －8 b＝ ，容器中的沙子只有开始时的八分之一时，12即 y＝ ae－ b t＝ a，e － b t＝ ＝(e －8 b)3＝e －24 b，18 18则 t＝24，所以再经过 16 min.[答案] 1614．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用 20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为 6万元．该建筑物每年的能源消耗费用 C(单位：万元)与隔热层厚度 x(单位：cm)满足关系 C(x)7＝ (0≤ x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为 8万元，设 f(x)为隔热层建造k3x＋ 5费用与 20年的能源消耗费用之和．(1)求 k的值及 f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用 f(x)达到最小，并求最小值．[解] (1)由已知条件得 C(0)＝8，则 k＝40，因此 f(x)＝6 x＋20· C(x)＝6 x＋ (0≤ x≤10)．8003x＋ 5(2)f(x)＝6 x＋10＋ －108003x＋ 5≥2 －10 6x＋ 10 8003x＋ 5＝70(万元)，当且仅当 6x＋10＝ ，即 x＝5 时等号成立．8003x＋ 5所以当隔热层厚度为 5 cm时，总费用 f(x)达到最小值，最小值为 70万元．15．(2017·吉林长春模拟)一种药在病人血液中的含量不低于 2克时，它才能起到有效治疗的作用．已知每服用 m(1≤ m≤4 且 m∈R)克的药剂，药剂在血液中的含量 y(克)随着时间 x(小时)变化的函数关系式近似为 y＝ m·f(x)，其中 f(x)＝Error!(1)若病人一次服用 3克的药剂，则有效治疗时间可达多少小时？(2)若病人第一次服用 2克的药剂，6 个小时后再服用 m克的药剂，要使接下来的 2小时中能够持续有效治疗，试求 m的最小值．[解] (1)因为 m＝3，所以 y＝Error!当 0≤ x6时，由 ≥2，解得 x≤11，此时 0≤ x6；304＋ x当 6≤ x≤8 时，由 12－ ≥2，3x2解得 x≤ ，此时 6≤ x≤ .203 203综上所述，0≤ x≤ .203故若一次服用 3克的药剂，则有效治疗的时间可达 小时．203(2)当 6≤ x≤8 时， y＝2× ＋ m ＝8－ x＋ ，(4－12x) [ 104＋  x－ 6 ] 10mx－ 2因为 8－ x＋ ≥2 对 6≤ x≤8 恒成立，10mx－ 28即 m≥ 对 6≤ x≤8 恒成立，x2－ 8x＋ 1210等价于 m≥ max,6≤ x≤8.(x2－ 8x＋ 1210 )令 g(x)＝ ，则函数 g(x)＝ 在[6,8]上是单调递增函数，x2－ 8x＋ 1210  x－ 4 2－ 410当 x＝8 时，函数 g(x)＝ 取得最大值为 ，x2－ 8x＋ 1210 65所以 m≥ ，65所以所求的 m的最小值为 .651课时跟踪训练(四) 函数及其表示[基础巩固]一、选择题1．如图，是张大爷晨练时所走的离家距离( y)与行走时间( x)之间的函数关系的图象．若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是( )[解析] 据图象可知在第一段时间张大爷离家距离随时间的增加而增加，在第二段时间内，张大爷离家的距离不变，第三段时间内，张大爷离家的距离随时间的增加而减少，最后回到始点位置，对比各选项，只有 D 选项符合条件．[答案] D2．已知函数 f(x)＝| x－1|，则下列函数中与 f(x)相等的函数是( )A． g(x)＝|x2－ 1||x＋ 1|B． g(x)＝Error!C． g(x)＝Error!D． g(x)＝ x－1[解析] ∵ g(x)＝Error!与 f(x)的定义域和对应关系完全一致，故选 B.[答案] B3．(2018·河南濮阳检测)函数 f(x)＝log 2(1－2 x)＋ 的定义域为( )1x＋ 1A.(0，12)2B.(－ ∞ ，12)C．(－1,0)∪ (0，12)D．(－∞，－1)∪ (－ 1，12)[解析] 要使函数有意义，需满足Error!解得 x1,1＋ a2m，解得－41 的 x 的取值范围(x－12)是________．[解析] 由题意，当 x 时， f(x)＋ f ＝2 x＋2 1 恒成立，即 x 满足题意；当12 (x－ 12) 1201 恒成立，即 01，解得 x－ ，即－ x≤0.综上， x 的取值范围是(x－12) 12 14 14.(－14， ＋ ∞ )[答案] (－14， ＋ ∞ )15．如图，点 M 是边长为 1 的正方形 ABCD 的边 CD 的中点．当点 P 在正方形的边上沿A—B—C 运动时，点 P 经过的路程为 x，△ APM 的面积为 y，求 y 关于 x 的函数关系式．5[解] 利用分段函数建立关系式．当点 P 在线段 AB 上，即 0x≤1 时， y＝ x；当点 P12在线段 BC 上，即 1x≤2 时， y＝ × ×1－ (x－1)×1－ ×(2－ x)12 (12＋ 1) 12 12× ＝ (3－ x)．所以所求函数关系式为 y＝Error!12 14[延伸拓展](2018·安徽合肥模拟)设集合 A＝ ， B＝ ，函数 f(x)＝Error!若 x0∈ A，且[0，12) [12， 1]f[f(x0)]∈ A，则 x0的取值范围是( )A. B.(0，14] (14， 12]C. D.(14， 12) [0， 38][解析] 因为 x0∈ A，即 0≤ x0 ，12所以 f(x0)＝ x0＋ ， ≤ x0＋ 1，12 12 12即 ≤ f(x0)1，即 f(x0)∈ B，12所以 f[f(x0)]＝2[1－ f(x0)]＝1－2 x0.因为 f[f(x0)]∈ A，所以 0≤1－2 x0 ，12解得 x0≤ .又因为 0≤ x0 ，14 12 12所以 x0 ，故选 C.14 12[答案] C1课时跟踪训练(五) 函数的值域与解析式[基础巩固]一、选择题1．已知函数 f(x)＝Error!则 f(5)＝( )A．32 B．16C. D.12 132[解析] f(5)＝ f(5－3)＝ f(2)＝ f(2－3)＝ f(－1)＝2 －1 ＝ ，故选 C.12[答案] C2．(2018·烟台模拟)函数 y＝ 的定义域是(－∞，1)∪[2,5)，则其值域是( )2x－ 1A．(－∞，0)∪ B．(－∞，2](12， 2]C. ∪[2，＋∞) D．(0，＋∞)(－ ∞ ，12)[解析] ∵ x∈(－∞，1)∪[2,5)，则 x－1∈(－∞，0)∪[1,4)．∴ ∈(－∞，0)∪ .2x－ 1 (12， 2][答案] A3．(2017·北京东城第一学期联考)若函数 f(sinx)＝3－cos2 x，则 f(cosx)＝( )A．3－cos2 x B．3－sin2 xC．3＋cos2 x D．3＋sin2 x[解析] f(sinx)＝3－cos2 x＝2＋2sin 2x，所以 f(cosx)＝2＋2cos 2x＝3＋cos2 x.[答案] C4．下列函数中，值域是(0，＋∞)的是( )A． y＝ B． y＝ 15－ x＋ 1 (12)x－ 1C． y＝ 1－ x D． y＝(13) 1－ 2x[解析] A 项，因为 5－ x＋11，所以函数值域为(0,1)；B、D 项的函数值域为[0，＋∞)；C 项，因为 1－ x∈R，根据指数函数的性质可知函数的值域为(0，＋∞)，故选C.[答案] C25．已知 f ＝ ＋ ，则 f(x)＝( )(1＋ xx ) x2＋ 1x2 1xA．( x＋1) 2 B．( x－1) 2C． x2－ x＋1 D． x2＋ x＋1[解析] f ＝ ＋ ＝ 2－ ＋1，令 ＝ t，得 f(t)＝ t2－ t＋1，即(1＋ xx ) x2＋ 1x2 1x (x＋ 1x ) x＋ 1x x＋ 1xf(x)＝ x2－ x＋1.[答案] C6．(2018·江西临川一中月考)若函数 y＝ 的值域为[0，＋∞)，则 a的ax2＋ 2ax＋ 3取值范围是( )A．(3，＋∞) B．[3，＋∞)C．(－∞，0]∪[3，＋∞) D．(－∞，0)∪[3，＋∞)[解析] 令 f(x)＝ ax2＋2 ax＋3，∵函数 y＝ 的值域为[0，＋∞)，∴ f(x)ax2＋ 2ax＋ 3＝ ax2＋2 ax＋3 的函数值取遍所有的非负实数，∴ a为正实数，∴该函数图象开口向上，∴只需 ax2＋2 ax＋3＝0 的判别式 Δ ＝(2 a)2－12 a≥0，即 a2－3 a≥0，解得 a≥3 或 a≤0(舍去)．故选 B.[答案] B二、填空题7．函数 y＝ 的值域为________．1－ x2x＋ 5[解析] y＝ ＝ ＝－ ＋ .1－ x2x＋ 5 － 12 2x＋ 5 ＋ 722x＋ 5 12 722x＋ 5∵ ≠0，∴ y≠－ ，722x＋ 5 12∴函数 y＝ 的值域为 .1－ x2x＋ 5 {y|y≠ － 12}[答案] {y|y≠ －12}8．已知 f ＝ x2＋ ，则 f(3)＝________.(x－1x) 1x2[解析] ∵ f ＝ x2＋ ＝ 2＋2( x≠0)，∴ f(x)＝ x2＋2，∴ f(3)＝3 2＋2＝11.(x－1x) 1x2 (x－ 1x)[答案] 119．若函数 y＝log 2(ax2＋2 x＋1)的值域为 R，则 a的取值范围为________．[解析] 设 f(x)＝ ax2＋2 x＋1，由题意知， f(x)取遍所有的正实数．当 a＝0 时， 3f(x)＝2 x＋1 符合条件；当 a≠0 时，则Error!解得 00时， x＋ ≥2，当且仅当 x＝1 时取等号，1x所以 x＋ ＋1≥3；1x当 x 时，(1－2 a)x＋3 a1＋ a，不成立；当 a0时， f(x)＝ x0，( f·f)(x)＝ f(x)＝ x；当 x0，( f·f)(x)＝ f(x)＝ x2；当 x＝0 时，( f·f)(x)＝ f2(x)＝0＝0 2，因此对任意的 x∈R，有( f·f)(x)＝ f(x)，故 A正确，选 A.[答案] A