七年级数学下册 第六章 实数备课资料教案（打包5套）（新版）新人教版.zip

1第六章 6.1.1 平方根（一）知识点:算 术平方根1.定义:一般地,如果一个正 数 x 的平方等于 a,即 x2=a,那么这个正数 x 叫做 a 的算 术平方根.规定:0 的算术平方根是 0.2.表示方法:正数 a 的算术平方根表示为: ,读作“根号 a”.考点：算术平方根的计算【例】下列说法中正确的是( )A.5 是 25 的算术平方根 B.±4 是 16的算术平方根C.-6 是(-6) 2的算术平方根 D.0.01 是 0.1 的算术平方根答案:A 点拨：由于正数 5 的平方等于 25,所以 5 是 25 的算术平方根,由于-4 不是正数,所以-4 不是 16的算术平方根; 因为(-6) 2=36,62=36,所以 6 是(-6) 2的算术平方根;因为 0.012=0.0001,所 以 0.01是 0.0001的算术平方根,而不 是 0.1 的算术平方根.故选 A. 评论 提问 主题模式1第六章 6.1.2 平方根（二）知识点 1:算术平方根的估算求一个正数(非完全平方数)的算术平方根的近似值,通常 有三种方法:一是用计算器;二是查平方根表;三是估算.前两种方法都要借助其他工具,只有估算法可以随时运用.例如估算 的近似值,因为 12=1,22=4,所以 1 2;因为 1.72=2.89,1.82=3.24,所以1.7 1.8;因为 1.732=2.992 9,1.742=3.027 6,所以 1.73 1.74;因为 1.7322=2.999 824,1.7332=3.003 289,所以 1.732 1.733……如此下去,就可以得到更精确的 的近似值,这种求 的近似值的方法 ,叫做夹逼法.知识点 2:用计算器开平方大多数计算器都有 键,用它可以求出一个正数的算术平方根(或其近似值),应注意的是,不同品牌的计算器按键的顺序可能不同,使用计算器时,一定要按照说明书进行操作.考点 1:算术平方根的估算【 例 1】估计 +1 的值在( )A.2 到 3 之间 B. 3 到 4 之间C.4 到 5 之间 D.5 到 6 之间答案:B 点拨：∵ ,∴2 3,∴3 +14.故选 B.总结 ：如果一个数是另一个整数的平方,那么我们就称 这个数为完全平方数,也叫做平方数.考点 2：用计算器求平方 根2【例 2】用计算器计算: , , ……请你猜测第 n 个式子的结果.解:由计算器得 =10, =100,=1 000,所以可猜测第 n 个式子的结果为 10n.点拨：这是一道借助计算器探究规律的题目. 通过计算器可求得前三个式子的值分别 为10,102,103,由此可猜测第 n 个式 子的结果为 10n.1第六章 6.1.3 平方根（三）知识点 1:平方根1.定义:一般地,如果一个数 x 的平方等于 a,即 x2=a,那 么这个数 x 就叫做 a 的平方根,也叫做a 的二次方根.2.表示方法:正数 a 的平方根为± .3.平方根与算术平方根算术平方根 平方根区别定义一般地,如果一个正数 x 的平方等 于a,即 x2=a,那么这个正数 x 叫做 a 的算术平方根一般地,如果一个数 x 的平方等于 a,即x2=a,那么这个数 x 就叫做 a 的平方根,也叫做 a 的二次方根算术平方根 平方根表示方法 正数 a 的算术平方根写成 正数 a 的平方根写成±个数 一个正数的算术平方根 只有一个 一 个正数的平方根有两个,它们互为相反数区别性质一个非负数的算术平方根一定是非负数一个正数的平方根有两个,一正一负联系平方根包含算术平方根,算术平方根是平方根的一个;平方根和算术平方根都只有非负数才有.负数没有平方根和 算术平方根;零的平方根和算术平方根都是 0.知识点 2:算术平方根 的双重非负性1.被开方数 a 是非负数:只有正数和 0 才有算术平方根,负数没有算术平方根.2.算术平方根 本身是非负数,即 ≥0.考点 1:算术平方根的非负性2【例 1】 若 x、y 为有理数,且满足|x-3|+ =0,则 的值是 . 答案:1 点拨：两个 非负数之和等于零,必定每个数都等于零,由此可求出 x 和 y 的值,进而求得答案.∵|x-3|+ =0,∴x-3=0,y+3=0,∴x=3,y=-3,所以 =(-1)2 012=1.考点 2:平方根的性质应用【例 2】已知一个正数的平 方根是 3x-2 和 5x+6,则这个数是 . 答案: 点拨：由条件得(3x-2)+(5x+6)=0,解之得 x=- ,从而 3x-2=- ,5x+6= ,于是由 = 知,所求的数为 .总结：解决此类问题的关键是利用一个正数有两个平方根,它们互为相反数这个特性.考点 3：平方根的计算【例 3】下列各数有没有平方根?如果有,求出它的平方根与算术平方根;如果没有,请说明理由.(1)25;(2)0.008 1;(3)(-7)2;(4)-0.36.解:(1) ∵250, ∴25 有 平方 根. ∵(±5) 2=25,∴25 的平方根是±5,即± =±5. 25 的算术平方根是 5,即 =5.(2)∵0.008 10, ∴0.008 1 有平方根.∵(± 0.09)2=0.008 1,∴0.008 1 的平方根是±0.09, 即± =±0.09. 0.008 1 的算术平方根是 0.09, 即=0.09.(3)∵(-7) 2=490, ∴(-7) 2有平方根. ∵(±7) 2=49,∴(-7) 2的平方 根是±7,即± =±7. (-7)2的算术平方根是 7,即 =7.(4) ∵-0.360, ∴-0.36 没有平方根. 点拨：25、0.008 1、(-7) 2都是正数,所以它们都有平方根与算术平方根,而-0.36 是负数,它没有平方根.1第六章 6.2 立方根知识点 1:立方根的认识1.定义:一般地,如果一个数的立方等于 a,这个数就叫做 a 的立方根或三次方根.2.表示 方法:数 a 的立方根表示为 ,读作“三次根号 a”.3.性质:正数的立方根是一个正数,负数的立方根是一个负数,0 的立方根是 0.4.平方根与立方根平方根 立方根一个正数有两个平方根,且互为相反数一个正数只有一个正的立方根负数没有平方根 负数的立方根还是一个负数不同点 中的被开方数 a 是非负数,根指数 2 通常省略不写中的被开方数 a 是任意数,根指数 3 不能省略不写相同点0 的平方根和立方根都是 0.知识点 2:用计算器求一个数的立方根用计算器求一个数的立方根的步骤及方法:用计算器求一 个数的立方根和求一个数的平方根的步骤相同,只是根指数不同.用计算器开立方的顺序是:第一步按 键,第二步按数字键,输入被开方数,第三步按 =键.应注意的是:不同品牌的计算器按键的顺序可能不同,使用计算器时,一定要按说明书操作.考点 1:利用立方根求解简单的三次方程【例 1】求下列方程中 x 的值: (1)x 3=8;(2) =27.2解:(1)∵2 3=8,∴x=2;(2)∵ =27,∴x+5 是 27 的立方根,∴x+ 5=3,∴x=-2 .点拨：利用立方根的定义求解即可.考点 2:立方根的实际应用【例 2】将一个体积为 0.216 m3的大立方 体铝块改铸成 8 个同样大小的小立方体 铝块,求每个小立方体铝块的表 面积.解:设每个小立方体铝块的棱长为 x m,则 8x3=0.216.∴x 3=0.027,∴x=0.3,∴6×0.3 2=0.54 .即每个小立方体铝块的表面积为 0.54 m2.点拨：由改铸前后的体积不变,列出关于 x 的方程解之.考点 3：用计算器求立方 根【例 3】求 5 的立方根(精确到 0.01).解:由计算器得 ≈1.709 975 947,所以 ≈1.71.点拨：根据约束条件,由计算器 得到的数值,再通过“四舍五入”法得出近似值.1第六章 6.3 实数知识点 1:无理数1.定义:无限不循环小数叫做无理数.2.表现形式:(1)开方开不尽得到的数如: 、 等;(2)含有 π 的式子;(3)有规律但不循环的无限小数, 如:0.101 001 000 1…;注意:对于 实数的分类,不能 只看形式,并非所有带根号的数都是无理数,应严格按照有理数和无理数的定义来判定,如 为有理数.知识点 2:实数的概念(1)定义:有理数和无理数统称实数.例如:-6, , ,0.4,π 等都是实数.(2)实数的分类总结：(1)实数的相反数的意义和有理数的相反数的意义一样,如果 a表示任意一个实数,那么-a就是 a的相反数,即 a与-a 互为相反数,例如: 的相反数是 - , 的相反数是- .另外,规定 0的相反数仍然是 0;(2)实数的绝对值的意义与有理数的绝对值的意义一样,一个正实数的绝对值是它本身;一个负实数的绝对值是它的相反数;0 的绝对值是 0,用字母表示为:对于任意实数 a,有|a|=知识点 3:实数与数轴1.对应关系:实数与数轴上的点一一对应.2.与有理数相同,数轴上右边的点表示的数总比左边的点表示的数大.总结：(1)利用数轴可以比较实数的大小,在数轴上,右边的点表示的实数总比左边的点 表示的实数大;(2)正实数大于 0,负实数小于 0,正实数大于一切负实数,两个负实数比较大小,绝对值大的反而小.2知识点 4:实数的性质在实数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义和在有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样.知识点 5:实数的运算(1)实数有加、减、乘、除、乘方、开方运算,混合运算的顺序是先算乘方、开方,再算乘、除,最后算加、减,同级运 算按照从左到右的 顺序进行,有括号的要先算括号里的;(2)加法交换律:a+b=b+a;加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c) ;乘法交换律:ab=ba; 乘法结合律:(ab)c=a(bc);乘法分配律:a(b+c)=ab+ac.总之有理数的一切运算法则适用于实 数的运算 .考点 1：实数概念的应用【例 1】下列各数:-5,3.7, , , ,-π, ,0.3,- ,0.212 112 111 2…(每两个 2之间依 次多一个 1)哪些是有理数?哪些是无理数?哪些是正实数?哪些是负实数?解: 有理数有:-5,3.7, , ,0.3,- ;无理数有: ,-π, ,0.212 112 111 2…(每两个 2之间依次多一个 1);正实数有:3.7, , ,0.3, , ,0.212 112 111 2…(每两个 2之间依次多一个 1);负实数有:-5,- ,-π.考点 2:实数的大小比较【例 2】比较 2, , 的大小,正确的是( )A.27,∴2 .故选 C.考点 3：用数轴比较数的大小3【例 3】 在数轴上表示下列各数,并把它们按从小到大的顺序排列起来,用“”连接:-0. ,-, .解:-0 . ,- , 在数轴上表示,如图所示.由图得到:- -0. .点拨：对于- ,可以通过画边长为 1的正方形的对角线得到.考点 4：实数的运算【例 4】计算:(1)( + )× ;(2) - - ;(3) - (精确到 0.01);(4) + ( aπ)(精确到 0.01).解:(1)原式=(0.1+0.1)×12=2.4;(2)原式= - - =- ;(3)原式=( - )-( + )= - - - =-2 ≈(-2)×1.414=-2.828≈-2.83;(4)由 aπ,得原式=(π-a)+(a- )=π- ≈3.142-1.414=1.728≈1.73.点拨：对于一些常用的无理数,应记住其近似值,如 ≈1.414, ≈1.732.