2018年秋八年级数学上册 第2章 特殊三角形练习（打包12套）（新版）浙教版.zip

1第 2 章 特殊三角形2.1 图形的轴对称A 组1．下列图形中，属于轴对称图形的是(D)2．以下图形中，对称轴的数量少于 3 条的是(D)3．如图，△ABC 与△A′B′C′关于直线 l 对称，则∠B 的度数为(D)A. 30° B. 50° C. 90° D. 100°(第 3 题)(第 4 题)4．如图，将长方形纸带 ABCD 沿 EF 折叠后，C，D 两点分别落在点 C′，D′的位置，经测量得∠EFB＝65°，则∠AED′的度数为(C)A. 65° B. 55° C. 50° D. 25°5．如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC 纸片，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，将△ABC 沿着 DE 折叠压平，点 A 与点 A′重合．若∠A＝75°，则∠1＋∠2＝(B)A. 210° B. 150° C. 105° D. 75°(第 5 题)2(第 6 题)6．如图，已知大正方形的边长为 4 cm，则图中阴影部分的面积是__8__cm 2.7．请分别在下面的三个网格图中各补画一个小正方形(要求：三个图形形状各不相同，所设计的图案是轴对称图形)．(第 7 题)【解】 如解图所示．（第 7 题解）B 组8．如图，将长方形纸片先沿虚线 AB 按箭头方向向右对折，接着将对折后的纸片沿虚线 CD 按箭头方向向下对折，然后剪下一个小三角形，再将纸片展开，则展开图是(D)(第 8 题)【解】 严格按照图中的方法亲自动手操作一下，即可很直观地呈现出来；也可仔细观察图形特点，利用对称性与排除法求解．9．如图，已知正方形 ABCD 的边长为 2，将正方形 ABCD 沿直线 EF 折叠，则图中折成的 4 个阴影三角形的周长之和为__8__．(第 9 题)3(第 9 题解)【解】 如解图．由折叠可知，AG＝HG，AD＝HM，DN＝MN，∴4 个阴影三角形的周长之和＝HG＋BG＋HM＋BC＋MN＋CN＝AG＋BG＋AD＋BC＋DN＋CN＝AB＋AD＋BC＋CD＝2＋2＋2＋2＝8.(第 10 题)10．如图，△ABC 的内部有一点 P，且 D，E，F 是点 P 分别以 AB，BC，AC 为对称轴的对称点，则∠ADB＋∠BEC＋∠CFA＝360°．【解】 连结 AP， BP， CP.根据轴对称的性质，知∠ ADB＝∠ APB，∠ BEC＝∠ BPC，∠ CFA＝∠ CPA，∴∠ ADB＋∠ BEC＋∠ CFA＝∠ APB＋∠ BPC＋∠ CPA＝360°.11．请在下面三个 2×2 的方格中，各作出一个与图中阴影三角形成轴对称的图形，且所画图形的顶点与方格中小正方形的顶点重合，并将所画图形涂上阴影(注：所画的三个图形不能重复)．(第 11 题)【解】 如解图，答案不唯一．(第 11 题解)数学乐园12．如图，一牧马人从点 A 出发，到草原边 MN 放牧，在傍晚回到帐篷 B 之前，先带马群到河边 PQ 去给马饮水．试问：牧马人应走哪条线路才能使整个放牧的路程最短？写出作法．4(第 12 题)【解】 作法如下：(1)作点 A 关于直线 MN 的对称点 A′，点 B 关于直线 PQ 的对称点 B′.(2)连结 A′B′交 MN 于点 C，交 PQ 于点 D.(3)连结 AC，BD，则牧马人应走的线路为 A→C→D→B.12.2 等腰三角形A组1．若一个等腰三角形的两边长分别为 4，8，则它的周长为(C)A. 12 B. 16C. 20 D. 16或 202．如果等腰三角形的一边长是 8，周长是 18，那么它的腰长是(D)A. 8 B. 5C. 2 D. 8或 53．若等腰三角形的腰长与底边长之比为 2∶3，其周长为 28，则该等腰三角形的底边长为__12__．4．已知一等腰三角形的两边长 x，y 满足方程组 则此等腰三角形的周长{2x－ y＝ 3，3x＋ 2y＝ 8， )为__5__．5．如图，在△ABC 中，AB＝AC，AD 是 BC边上的中线，点 E，F 是 AD的三等分点．若△ABC 的面积为 12 cm2，则图中阴影部分的面积为__6__cm 2.,(第 5题)) ,(第 6题))6．如图，AB，AC 是等腰三角形 ABC的两腰，AD 平分∠BAC，则△BCD 是等腰三角形吗？试说明理由．【解】 △BCD 是等腰三角形．理由如下：∵AD 平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD.∵AB，AC 是等腰三角形 ABC的两腰，∴AB＝AC.在△ABD 和△ACD 中，∵ {AB＝ AC，∠ BAD＝ ∠ CAD，AD＝ AD， )∴△ABD≌△ACD(SAS)，∴BD＝CD，∴△BCD 是等腰三角形．(第 7题)7．如图，AC 平分∠BAD，CD⊥AD，CB⊥AB，连结 BD.请找出图中所有的等腰三角形，并说明理由．【解】 等腰三角形有△ABD 和△BCD.理由如下：∵AC 平分∠BAD，2∴∠DAC＝∠BAC.∵CD⊥AD，CB⊥AB，∴∠ADC＝∠ABC＝90°.又∵ AC＝ AC，∴△ ACD≌△ ACB(AAS)，∴ AD＝ AB， CD＝ CB.∴△ ABD，△ BCD都是等腰三角形．B组(第 8题)8．如图，在△ABC 中，AB＝BC＝14，D 为 AB的中点，ED⊥AB，垂足为 D，交 BC于点 E.若△EAC 的周长为 24，则 AC＝__10__．【解】 ∵ED⊥AB，D 为 AB的中点，∴EB＝EA，∴EA＋EC＝EB＋EC＝BC＝14.∵EA＋EC＋AC＝24，∴AC＝24－14＝10.9．若等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为 20°，则顶角的度数是 110°或70°．【解】 当等腰三角形的顶角是钝角时，如解图①，此时顶角的度数是 90°＋20°＝110°；当等腰三角形的顶角是锐角时，如解图②，此时顶角的度数是 90°－20°＝70°.(第 9题解)10．已知 a，b，c 是△ABC 的三边长，且满足 a2＋2ab＝c 2＋2bc，试判断这个三角形的形状．【解】 ∵a 2＋2ab＝c 2＋2bc，∴a 2＋2ab＋b 2＝c 2＋2bc＋b 2，∴(a＋b) 2＝(b＋c) 2，∴a＋b＝±(b＋c)．∵a0，b0，c0，3∴a＋b＝b＋c，∴a＝c.∴△ABC 为等腰三角形．11．如图，直线 l1，l 2交于点 B，A 是直线 l1上的点，在直线 l2上寻找一点 C，使△ABC是等腰三角形，请画出所有的等腰三角形．(第 11题)【解】 分类讨论：若以 AB为腰，B 为顶角顶点，可作出点 C1，C 2；若以 AB为腰，A 为顶角顶点，可作出点 C3；若以 AB为底边，可作 AB的中垂线交 l2于点 C4.故共有 4个满足题意的等腰三角形．12．有一个等腰三角形，三边长分别为 3x－2，4x－3，6－2x，求这个等腰三角形的周长．【解】 当 3x－2＝4x－3 时，解得 x＝1.∴3x－2＝1，4x－3＝1，6－2x＝4，显然不能组成三角形．当 3x－2＝6－2x 时，解得 x＝ .85∴3x－2＝ ，6－2x＝ ，4x－3＝ ，能组成三角形，周长为 ＋ ＋ ＝9.145 145 175 145 145 175当 4x－3＝6－2x 时，解得 x＝ .32∴4x－3＝3，6－2x＝3，3x－2＝ ，能组成三角形，周长为 3＋3＋ ＝ .52 52 172综上所述，这个等腰三角形的周长为 9或 .172数学乐园13．(1)如图①，△ABC 是等边三角形，△ABC 所在平面上有一点 P，使△PAB，△PBC，△PAC 都是等腰三角形，问：具有这样性质的点 P有几个？在图中画出来．(2)如图②，正方形 ABCD所在的平面上有一点 P，使△PAB，△PBC，△PCD，△PDA 都是等腰三角形，问：具有这样性质的点 P有几个？在图中画出来．(第 13题)导学号：91354009【解】 (1)10 个．如解图①，当点 P在△ABC 内部时，P 是边 AB，BC，CA 的垂直平4分线的交点；当点 P在△ABC 外部时，P 是以三角形各顶点为圆心，边长为半径的圆与三条垂直平分线的交点，每条垂直平分线上得 3个交点．故具有这样性质的点 P共有 10个．(第 13题解①)(2)9个．如解图②，两条对角线的交点是 1个，以正方形各顶点为圆心，边长为半径画圆，在正方形里面和外面的交点共有 8个．故具有这样性质的点 P共有 9个．(第 13题解②)12.4 等腰三角形的判定定理A 组1．在△ABC 中，AB＝c，BC＝a，AC＝b，下列条件不能判定△ABC 是等腰三角形的是(D)A． ∠ A∶∠ B∶∠ C＝1∶1∶3B． a∶ b∶ c＝2∶2∶3C． ∠ B＝50°，∠ C＝80°D． 2∠ A＝∠ B＋∠ C2．给出下列三角形：①有两个角等于 60°；②有一个角等于 60°的等腰三角形；③三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的是(D)A．①②③ B．①②④C．①③ D．①②③④(第 3 题)3．如图，在△ABC 中，AB＝7，AC＝5，BC＝6，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点 D，过点 D 作 BC 的平行线交 AB 于点 E，交 AC 于点 F，则△AEF 的周长为(C)A． 9 B． 11C． 12 D． 134．如图，在△ABC 中，AD⊥BC 于点 D，请你再添加一个条件，确定△ABC 是等腰三角形．你添加的条件是 BD＝CD(答案不唯一)．,(第 4 题)) ,(第 5 题))5．如图，已知 OA＝5，P 是射线 ON 上的一个动点，∠AON＝60°．当 OP＝__5__时，△ AOP 为等边三角形．(第 6 题)6．如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，EG∥AD，找出图中的等腰三角形，并给出证明．【解】 △AEF 是等腰三角形．证明如下：∵AD 平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD．2∵EG∥AD，∴∠E＝∠CAD，∠EFA＝∠BAD，∴∠E＝∠EFA，∴△AEF 是等腰三角形．(第 7 题)7．如图，在△ABC 中，∠BAC＝90°， AD⊥BC，BE 平分∠ABC．求证： △AEF 是等腰三角形．【解】 ∵BE 平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE．∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°．∵∠ADB＋∠CBE＋∠BFD＝180°，∠BAC＋∠ABE＋∠BEA＝180°，∴∠BFD＝∠BEA．∵∠BFD＝∠AFE，∴∠BEA＝∠AFE．∴△AEF 是等腰三角形．8．如图，已知 AB＝AD，∠ABC＝∠ADC, 则 BC＝CD，请说明理由．(第 8 题)(第 8 题解)【解】 如解图，连结 BD．∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB．∵∠ABC＝∠ADC，∴∠ABD－∠ABC＝∠ADB－∠ADC，即∠CBD＝∠CDB，∴BC＝CD．B 组3(第 9 题)9．如图，E 是等边三角形 ABC 中 AC 边上的点，∠1＝∠2，BE＝CD，则△ADE 的形状是(B)A．一般等腰三角形 B．等边三角形C．不等边三角形 D．不能确定形状【解】 ∵△ ABC 为等边三角形，∴ AB＝ AC，∠ BAC＝60°．又∵∠1＝∠2， BE＝ CD，∴△ ABE≌△ ACD(SAS)．∴ AE＝ AD，∠ CAD＝∠ BAE＝60°．∴△ ADE 是等边三角形．(第 10 题)10．如图，在等边三角形 ABC 中，点 D，E 分别在边 BC，AC 上，且 DE∥AB，过点 E 作EF⊥DE，交 BC 的延长线于点 F．(1)求∠F 的度数．(2)若 CD＝2，求 DF 的长．【解】 (1)∵△ABC 为等边三角形，∴∠B＝∠ACB＝60°．∵ DE∥ AB，∴∠ EDF＝∠ B＝60°．∵ EF⊥ DE，∴∠ DEF＝90°，∴∠ F＝180°－∠ DEF－∠ EDF＝30°．(2)∵∠ ACB＝60°，∠ F＝30°，∴∠ CEF＝∠ ACB－∠ F＝30°＝∠ F，∴ CE＝ CF．∵∠ EDF＝∠ ACB＝60°，∴△ CDE 为等边三角形，∴ CD＝ CE，∴ DF＝ DC＋ CF＝ DC＋ CE＝2 CD＝4．11．如图①，A 是线段 BC 上一点，△ABD 和△ACE 都是等边三角形．(1)连结 BE，DC，求证：BE＝DC．(2)如图②，将△ABD 绕点 A 顺时针旋转得到△AB′D′．4①当旋转角为__60__度时，边 AD′落在 AE 上．②在①的条件下，延长 DD′交 CE 于点 P，连结 BD′，CD′．当线段 AB，AC 满足什么数量关系时，△BDD′与△CPD′全等？并给予证明．(第 11 题)【解】 (1)∵△ABD 和△ACE 都是等边三角形．∴AB＝AD，AE＝AC，∠BAD＝∠CAE＝60°，∴∠BAD＋∠DAE＝∠CAE＋∠DAE，即∠BAE＝∠DAC．在△BAE 和△DAC 中，∵ {AB＝ AD，∠ BAE＝ ∠ DAC，AE＝ AC， )∴△BAE≌△DAC(SAS)，∴BE＝DC．(2)①∵∠BAD＝∠CAE＝60°，∴∠DAE＝180°－60°×2＝60°．∵边 AD′落在 AE 上，∴旋转角＝∠DAE＝60°．②当 AC＝2AB 时，△BDD′与△CPD′全等．证明如下：由旋转可知，AB′与 AD 重合，∴AB＝DB＝DD′＝AD′．又∵BD′＝BD′，∴△ABD′≌△DBD′(SSS)．∴∠ABD′＝∠DBD′＝ ∠ABD＝ ×60°＝30°．12 12同理，∠AD′B＝∠DD′B＝30°，∴DP∥BC．∵△ACE 是等边三角形，∴AC＝AE＝CE，∠ACE＝60°．∵AC＝2AB，∴AE＝2AD′．∴∠PCD′＝∠ACD′＝ ∠ACE＝ ×60°＝30°．12 12∴∠ABD′＝∠ACD′．∴BD′＝CD′．∵DP∥BC，∴∠PD′C＝∠ACD′＝30°．∴∠DBD′＝∠DD′B＝∠PCD′＝∠PD′C＝30°．在△BDD′与△CPD′中，∵ {∠ DBD′ ＝ ∠ PCD′ ，BD′ ＝ CD′ ，∠ DD′ B＝ ∠ PD′ C， )∴△BDD′≌△CPD′(ASA)．数学乐园5(第 12 题)12．如图，△ABC 和△ADC 都是等边三角形，点 E，F 同时分别从点 B，A 出发，以相同的速度各自沿 BA，AD 的方向运动到点 A，D 停止，连结 EC，FC．(1)在点 E，F 运动的过程中，∠ECF 的度数是否随之变化？请说明理由．(2)在点 E，F 运动的过程中，以 A，E，C，F 为顶点的四边形的面积变化了吗？请说明理由．(3)连结 EF，在图中找出所有和∠ACE 相等的角，并说明理由．(4)若点 E，F 在射线 BA，射线 AD 上继续运动下去，(1)中的结论还成立吗？直接写出结论，不必说明理由．导学号：91354011【解】 (1)没有变化．理由如下：∵点 E，F 的速度相同，且同时运动，∴BE＝AF．∵△ABC 和△ADC 都是等边三角形，∴BC＝AC，∠B＝∠ACB＝∠CAF＝60°．在△BCE 和△ACF 中，∵ {BE＝ AF，∠ B＝ ∠ CAF＝ 60°，BC＝ AC， )∴△ BCE≌△ ACF(SAS)，∴∠ BCE＝∠ ACF，∴∠ ECF＝∠ ACF＋∠ ACE＝∠ BCE＋∠ ACE＝∠ ACB＝60°．(2)没有变化．理由如下：由(1)知，△ BCE 与△ ACF 的面积相等，∴ S 四边形 AECF＝ S△ ACF＋ S△ ACE＝ S△ BCE＋ S△ ACE＝ S△ ABC．∴四边形 AECF 的面积没有变化．(3)∠ AFE＝∠ DCF＝∠ ACE．理由如下：∵△ ABC 和△ ADC 都是等边三角形，∴∠ EAC＝∠ FDC＝60°， AB＝ AC＝ DC＝ AD．∵ BE＝ AF，∴ AB－ BE＝ AD－ AF，即 AE＝ DF，∴△ ACE≌△ DCF(SAS)，∴∠ ACE＝∠ DCF， EC＝ FC．又∵∠ ECF＝60°，∴△ ECF 是等边三角形，∴∠ EFC＝60°，∴∠ AFE＋∠ DFC＝120°．∵∠ D＝60°，∴∠ DCF＋∠ DFC＝120°，∴∠ AFE＝∠ DCF＝∠ ACE．(4)(1)中的结论仍成立．12.5 逆命题和逆定理A组1．下列说法中，正确的是(A)A． 每一个命题都有逆命题B． 假命题的逆命题一定是假命题C． 每一个定理都有逆定理D． 假命题没有逆命题2．下列命题的逆命题为真命题的是(C)A． 直角都相等B． 钝角都小于 180°C． 若 x2＋ y2＝0，则 x＝ y＝0D． 同位角相等3．下列定理中，有逆定理的是(D)A． 对顶角相等B． 同角的余角相等C． 全等三角形的对应角相等D． 在一个三角形中，等边对等角(第 4题)4．如图，AC＝AD，BC＝BD，则有(A)A． AB垂直平分 CDB． CD垂直平分 ABC． AB与 CD互相垂直平分D． CD平分∠ ACB5．写出下列命题的逆命题，并判断逆命题的真假，若是假命题，请举出反例．(1)若 x＝y＝0，则 x＋y＝0．(2)等腰三角形的两个底角相等．【解】 (1)逆命题：若 x＋y＝0，则 x＝y＝0．这个逆命题是假命题．反例：当x＝－1，y＝1 时，x＋y＝0，但 x≠0，y≠0．(2)逆命题：有两个角相等的三角形是等腰三角形．这个逆命题是真命题．6．写出下列各命题的逆命题，并判断原命题和逆命题是不是互逆定理．(1)相等的角是内错角．(2)两直线平行， 同旁内角互补．【解】 (1)“相等的角是内错角”的逆命题为“内错角相等”，原命题与逆命题都是假命题，不是互逆定理．(2)“两直线平行，同旁内角互补”的逆命题为“同旁内角互补，两直线平行”，原命题和逆命题是互逆定理．2(第 7题)7．利用线段垂直平分线性质定理及其逆定理证明以下命题．已知：如图，AB＝AC，DB＝DC，点 E在 AD上．求证：EB＝EC．【解】 连结 BC．∵AB＝AC，∴点 A在线段 BC的垂直平分线上．∵DB＝DC，∴点 D在线段 BC的垂直平分线上．∴AD 是线段 BC的垂直平分线(两点确定一条直线)．又∵点 E在 AD上，∴EB＝EC．B组8．写出命题“如果一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等”的逆命题，并判断原命题和逆命题的真假．若是假命题，请举出反例．【解】 逆命题：如果两个角相等，那么其中一个角的两边与另一个角的两边分别垂直．原命题是假命题． 反例：如解图①，∠CAD 的两边与∠EBF 的两边分别垂直，但∠CAD＝45°，∠ EBF＝135°，即∠ CAD≠∠ EBF．(第 8题解)逆命题是假命题．反例：如解图②，∠CAD＝∠EBF，但显然 AC与 BE，BF 都不垂直．9．写出命题“等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等”的逆命题，并证明该逆命题是真命题．【解】 逆命题：如果一个三角形一边上的中点到另两边的距离相等，那么这个三角形是等腰三角形．已知：如解图，在△ABC 中，D 是 BC的中点，DE⊥AB 于点 E，DF⊥AC 于点 F，且DE＝DF．3(第 9题解)求证：△ABC 为等腰三角形．证明：连结 AD．∵D 是 BC的中点，∴S △ABD ＝S △ACD ．∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴S △ABD ＝ AB·DE，12S△ACD ＝ AC·DF．12又∵DE＝DF，∴AB＝AC，∴△ABC 为等腰三角形．10．举反例说明定理“全等三角形的面积相等”没有逆定理．【解】 逆命题：如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等．反例：如解图所示，l 1∥l 2，△ABC 和△BCD 同底等高，∴△ABC 的面积等于△BCD 的面积，但△ABC 和△BCD 不全等．故该定理没有逆定理．(第 10题解)数学乐园11．已知命题“等腰三角形底边上的中线与顶角的平分线重合”，写出它的逆命题，判断该逆命题的真假，并证明．【解】 逆命题：一边上的中线与它所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形．是真命题．(第 11题解)已知：如解图，在△ABC 中，BD＝CD，AD 平分∠BAC．求证：△ABC 是等腰三角形．证明：延长 AD至点 E，使 DE＝AD，连结 BE，CE．∵BD＝CD，DE＝DA，∠BDE＝∠CDA，4∴△BDE≌△CDA(SAS)．∴BE＝CA，∠BED＝∠CAD．∵AD 平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAD．∴∠BAD＝∠BED．∴AB＝BE．∴AB＝AC．∴△ABC 是等腰三角形．12.6 直角三角形(一) A 组1．如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°， CD⊥ AB 于点 D，则图中直角三角形有(D)A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个(第 1 题)(第 2 题)2．如图，公路 AC，BC 互相垂直，公路 AB 的中点 M 与点 C 被湖隔开．若测得 AM 的长为 1．2 km，则 M， C 两点间的距离为(D)A． 0．5 km B． 0．6 kmC． 0．9 km D． 1．2 km3．直角三角形两个锐角平分线相交所成的钝角的度数为(B)A． 120° B． 135°C． 150° D． 120°或 135°4．如图，在△ABC 中，AB＝AC＝10，BC＝8，AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D，E 为 AC 的中点，连结 DE，则△CDE 的周长为(C)A． 12 B． 13 C． 14 D． 20(第 4 题)(第 5 题)5．如图，在 Rt△ ABC 中，∠ ACB＝90°， DE 经过点 C，且 DE∥ AB．若∠ ACD＝50°，则∠ A＝__50°__，∠ B＝__40°__．6．如图，PA⊥OA 于点 A，PB⊥OB 于点 B，D 是 OP 的中点，则 DA 与 DB 的数量关系是BA＝DB．2,(第 6 题)) ,(第 7 题))7．如图，△ABC 绕点 C 顺时针旋转 35°得到△A′B′C′，此时恰好 A′B′⊥AC，则∠A＝__55°__．8．如图，在 Rt△ ABC 中，∠ C＝90°， AB 的中垂线 DE 交 BC 于点 D，垂足为 E，且∠ CAD∶∠ CAB＝1∶3，求∠ B 的度数．(第 8 题)【解】 设∠CAD＝x°，则∠ CAB＝3 x°，∠ BAD＝2 x°．∵ DE 是 AB 的中垂线，∴ DA＝ DB，∴∠ B＝∠ BAD＝2 x°．∵∠ C＝90°，∴∠ CAB＋∠ B＝90°，即 3x＋2 x＝90，解得 x＝18，∴∠ B＝2×18°＝36°．(第 9 题)9．如图，在△ABC 中，AD，BE 分别为边 BC，AC 上的高线，D，E 为垂足，M 为 AB 的中点，N 为 DE 的中点．求证：(1)△MDE 是等腰三角形．(2)MN⊥DE．【解】 (1)∵AD，BE 分别为边 BC，AC 上的高线，∴△ABD，△ABE 均为直角三角形．∵M 是 Rt△ABD 斜边 AB 的中点，∴MD＝ AB．12同理，ME＝ AB．123∴ME＝MD．∴△MDE 是等腰三角形．(2)∵ME＝MD，N 是 DE 的中点，∴MN⊥DE．B 组(第 10 题)10．如图，在 Rt△ ABC 中，∠ ACB＝90°，将边 BC 沿斜边上的中线 CD 折叠到CB′．若∠ B＝50°，则∠ ACB′＝__10°__．【解】 ∵∠ ACB＝90°，∠ B＝50°，∴∠ A＝40°．∵ CD 是 AB 边上的中线，∴ CD＝ BD＝ AD，∴∠ BCD＝∠ B＝50°，∠ DCA＝∠ A＝40°．由折叠可知∠ B′ CD＝∠ BCD＝50°，∴∠ ACB′＝∠ B′ CD－∠ DCA＝10°．(第 11 题)11．如图，在△ABC 中，AD 是高线，CE 是中线，DC＝BE，DG⊥CE 于点 G．求证：(1)G 是 CE 的中点．(2)∠B＝2∠BCE．【解】 (1)连结 DE．∵AD 是高线，∴△ABD 是直角三角形．∵CE 是 AB 边上的中线，∴DE 是 Rt△ ABD 斜边上的中线．∴ DE＝ BE＝ AE．∵ DC＝ BE，∴ DE＝ DC．又∵ DG⊥ CE，∴ CG＝ EG，即 G 是 CE 的中点．(2)∵ DE＝ BE，∴∠ B＝∠ BDE．∵ DE＝ DC，∴∠ DEC＝∠ BCE．∵∠ BDE 是△ DCE 的一个外角，∴∠ BDE＝∠ DEC＋∠ BCE＝2∠ BCE．∴∠ B＝2∠ BCE．4(第 12 题)12．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°， M 是边 AB 的中点， CH⊥ AB 于点 H， CD 平分∠ ACB．(1)求证：∠1＝∠2．(2)过点 M 作 AB 的垂线交 CD 的延长线于点 E，连结 AE， BE．求证： CM＝ EM．【解】 (1)∵∠ ACB＝90°，∴∠ BCH＋∠ ACH＝90°．∵ CH⊥ AB，∴∠ CAH＋∠ ACH＝90°，∴∠ CAH＝∠ BCH．∵ M 是斜边 AB 的中点，∴ CM＝ AM＝ BM，∴∠ CAM＝∠ ACM．∴∠ BCH＝∠ ACM．∵ CD 平分∠ ACB，∴∠ BCD＝∠ ACD，∴∠ BCD－∠ BCH＝∠ ACD－∠ ACM，即∠1＝∠2．(2)∵ CH⊥ AB， ME⊥ AB，∴ ME∥ CH，∴∠1＝∠ MED．∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠ MED，∴ CM＝ EM．数学乐园(第 13 题)13．如图，在 Rt△ ABC 的场地上，∠ B＝90°， AB＝ BC，∠ CAB 的平分线 AE 交 BC 于点E．甲、乙两人同时从 A 处出发，以相同的速度分别沿 AC 和 A→ B→ E 线路前进，甲的目的地为 C，乙的目的地为 E．请你判断一下，甲、乙两人谁先到达各自的目的地？并说明理由．【解】 同时到达．理由如下：过点 E 作 EF⊥ AC 于点 F．∵ AB＝ BC，∠ B＝90°，∴∠ C＝ ＝45°．180°－ ∠ B2∵ EF⊥ AC，∴∠ EFC＝90°，∴∠ CEF＝90°－∠ C＝45°＝∠ C，∴ EF＝ CF．5又∵ AE 平分∠ CAB，∴ EF＝ EB．易证得△ AEF≌△ AEB，得 AF＝ AB，可知 AB＋ BE＝ AF＋ CF＝ AC，故同时到达．12.6 直角三角形(二) A 组1．具备下列条件的△ABC 中，不是直角三角形的是(D)A． ∠ A＋∠ B＝∠ CB． ∠ A＝2∠ B＝2∠ CC． ∠ A∶∠ B∶∠ C＝1∶2∶3D． ∠ A＝∠ B＝3∠ C2．已知一个三角形的其中一个角等于另两个角的差，则这个三角形一定是直角三角形．(第 3 题)3．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AB 的垂直平分线 DE 交 AC 于点 E，交 BC 的延长线于点 F．若∠F＝30°，DE＝1，则 BE 的长是__2__．4．等腰三角形一腰上的高线等于这条腰的一半，则这个等腰三角形的顶角的度数为30°或 150°．5．在△ABC 中，2∠B＝∠A＋∠C，最小角∠A＝30°，最长边的中线为 8 cm，则最短边的长为__8__cm．6．直角三角形斜边上的高线长与中线长分别为 5 cm 和 6 cm，则它的面积为__30__cm2．7．如图，CE⊥AD，垂足为 E，∠A＝∠C．求证：△ABD 是直角三角形．(第 7 题)【解】 ∵CE⊥AD，∴∠CED＝90°，∴∠ C＋∠ D＝90°．又∵∠ A＝∠ C，∴∠ A＋∠ D＝90°，∴△ ABD 是直角三角形．8．如图，已知 AB∥CD，直线 EF 分别交 AB，CD 于点 E，F，∠BEF 的平分线与∠DFE 的平分线相交于点 P．求证：△PEF 是直角三角形．2(第 8 题)【解】 ∵AB∥CD，∴∠BEF＋∠DFE＝180°．∵∠BEF 的平分线与∠DFE 的平分线相交于点 P，∴∠PEF＝ ∠BEF，∠PFE＝ ∠DFE，12 12∴∠PEF＋∠PFE＝ (∠BEF＋∠DFE)＝90°．12∴△PEF 是直角三角形．B 组(第 9 题)9．如图，在△ABC 中，AB＝AC＝6，BC＝8，AE 平分∠BAC 交 BC 于点 E，D 为 AB 的中点，连结 DE，则△BDE 的周长是__10__．【解】 ∵AB＝AC，AE 平分∠BAC，∴AE 垂直平分 BC．∵BC＝8，∴BE＝4．∵D 是 AB 的中点，∴AD＝BD＝DE＝ AB＝3．12∴C △BDE ＝BD＋DE＋BE＝3＋3＋4＝10．(第 10 题)10．如图，在等边三角形 ABC 中，D，E 分别为 AB，BC 边上的两动点，且总使AD＝BE，AE 与 CD 交于点 F，AG⊥CD 于点 G，则 ＝__ __．FGAF 12【解】 ∵△ABC 是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠B＝∠ACB＝60°．3∵AD＝BE，∴CE＝BD．在△ACE 和△CBD 中，∵ {AC＝ CB，∠ ACE＝ ∠ B，CE＝ BD， )∴△ACE≌△CBD(SAS)．∴∠CAE＝∠BCD．∴∠AFG＝∠CAF＋∠ACF＝∠BCD＋∠ACF＝∠ACB＝60°．∵AG⊥CD，∴∠FAG＝30°．∴ ＝ ．FGAF 12(第 11 题)11．如图，在四边形 ABCD 中，∠ABC＝∠ADC＝90°，M，N 分别是对角线 AC，BD 的中点，连结 MN．(1)试猜想 MN 与 BD 的位置关系，并证明你的结论．(2)如果∠BCD＝45°，BD＝2，求 MN 的长．【解】 (1)MN⊥BD．证明如下：连结 BM，DM．∵∠ADC＝90°， M 是 AC 的中点，∴ AC＝2 DM＝2 CM．同理， AC＝2 BM＝2 CM，∴ BM＝ DM．∵ N 是 BD 的中点，∴ MN⊥ BD．(2)由(1)，得 BM＝ CM， DM＝ CM，∴∠ BCM＝∠ CBM，∠ DCM＝∠ CDM．∵∠ AMB 是△ BCM 的一个外角，∴∠ AMB＝∠ BCM＋∠ CBM＝2∠ BCM．同理，∠ AMD＝2∠ DCM．∵∠ BCD＝45°，∴∠ BCM＋∠ DCM＝45°．∴∠ BMD＝∠ AMB＋∠ AMD＝2(∠ BCM＋∠ DCM)＝90°．∴△ BMD 是直角三角形．∵ N 是 BD 的中点， BD＝2，∴ MN＝ BD＝1．1212．如图，AD，BF 分别是△ABC 的高线与角平分线，BF，AD 交于点 E，∠1＝∠2．求证：△ABC 是直角三角形．(第 12 题)【解】 ∵BF 是△ABC 的角平分线，∴∠ABF＝∠CBF．∵AD 是△ABC 的高线，4∴∠ADB＝90°，∴∠ CBF＋∠ BED＝90°．∵∠1＝∠2＝∠ BED，∴∠ ABF＋∠2＝90°，∴∠ BAC＝90°，∴△ ABC 是直角三角形．(第 13 题)13．如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D 为 BC 的中点，CE⊥AD 于点E，BF∥AC 交 CE 的延长线于点 F，连结 DF．求证：AB 垂直平分 DF．【解】 ∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，∠CAD＋∠CDE＝90°．∵CE⊥AD，∴∠CED＝90°．∴∠CDE＋∠DCE＝90°．∴∠CAD＝∠DCE，即∠CAD＝∠BCF．∵BF∥AC，∴∠CBF＋∠ACB＝180°，∴∠CBF＝180°－∠ACB＝90°．∴∠CBF＝∠ACD．在△ACD 和△CBF 中，∵ {∠ ACD＝ ∠ CBF，AC＝ CB，∠ CAD＝ ∠ BCF， )∴△ACD≌△CBF(ASA)．∴CD＝BF．∵D 为 BC 的中点，∴CD＝BD，∴BD＝BF．∵BF∥AC，∴∠ABF＝∠CAB＝∠DBA＝45°．∴AB 垂直平分 DF．数学乐园14．如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠A＝90°，CD 平分∠ACB，点 E 在 AC 上，且AE＝AD，EF⊥CD 交 BC 于点 F，交 CD 于点 O．求证：BF＝2AD．(第 14 题)导学号：913540125【解】 连结 DF，过点 D 作 DG⊥BC 于点 G．∵∠A＝90°，AD＝AE，AB＝AC，∴∠ADE＝∠AED＝45°，∠B＝∠ACB＝45°，∴∠ADE＝∠B，∴DE∥BC，∴∠EDC＝∠BCD．∵CD 平分∠ACB，∴∠BCD＝∠ACD．∴∠EDC＝∠ACD．∴DE＝EC．∵EF⊥CD，∴EF 垂直平分 CD．∴FD＝FC．∴∠FDC＝∠FCD．∴∠FDC＝∠ACD．∴DF∥AC．∴∠DFB＝∠ACB＝45°．∴∠B＝∠BFD＝45°．∴BD＝DF，∠BDF＝90°．∴△DBF 为等腰直角三角形．∵DG⊥BF，∴DG 为斜边 BF 上的中线，∴DG＝ BF．12∵CD 平分∠ACB，∠A＝∠DGC＝90°，∴AD＝DG．∴AD＝ BF，即 BF＝2AD．1212.7 探索勾股定理(二) A 组1．将下列各组数据中的三个数作为三角形的三边长，其中能构成直角三角形的是(B)A． ， ， B．1， ，3 4 5 2 3C．6，7，8 D．2，3，42．若一个三角形的三边长 a，b，c 满足(a＋c)(a－c)＝b 2，则该三角形是(B)A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．都有可能3．一个三角形的三边长分别为 15，20，25，那么它的最长边上的高是(B)A．12．5 B．12C． D．915 22(第 4 题)4．如图，在△ABC 中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，CD 是 AB 边上的中线，则CD＝__6．5__．5．如图，在边长为 1 的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：(1)画线段 AD∥BC，且使 AD＝BC，连结 CD．(2)线段 CD 的长为__ __，AD 的长为__5__．5(3)△ACD 为__直角__三角形．,(第 5 题)) ,(第 5 题解))【解】 (1)如解图．6．如图，在△ABC 中，AB＝AC＝41，D 是 AC 上的点，DC＝1，BD＝9，求△ABC 的面积．(第 6 题)2【解】 ∵AC＝41，CD＝1，∴AD＝AC－CD＝40．又∵BD＝9，∴BD 2＋AD 2＝9 2＋40 2＝1681．又∵AB 2＝41 2＝1681，∴AB 2＝BD 2＋AD 2，∴△ADB 是直角三角形，且∠ADB＝90°，∴ S△ ABC＝ AC·BD＝ ×41×9＝184．5．12 12B 组7．已知 a，b，c 是△ABC 的三边长，且满足|c 2－a 2－b 2|＋(a－b) 2＝0，则△ABC 的形状为等腰直角三角形．【解】 ∵|c 2－a 2－b 2|＋(a－b) 2＝0，∴|c 2－a 2－b 2|＝0，(a－b) 2＝0，∴c 2＝a 2＋b 2，a＝b，∴△ABC 是等腰直角三角形．(第 8 题)8．如图，P 为正三角形 ABC 内一点，PA＝1，PB＝2，PC＝ ，则正三角形 ABC 的面积3为__ __．734【解】 ∵△ABC 为正三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°．将△ ABP 绕点 A 逆时针旋转 60°到△ ACD 的位置，连结 PD．∵△ ACD≌△ ABP，∴ DA＝ PA， DC＝ PB，∠ ADC＝∠ APB．∵△ ABP 逆时针旋转 60°，∴∠ PAD＝60°，∴△ PAD 为正三角形，∴ PD＝ PA＝1．∵ DC＝ PB＝2， PC＝ ，3∴ PD2＋ PC2＝ CD2，∴△ PCD 为直角三角形，∠ DPC＝90°．∵ CD＝2， PD＝1，∴∠ PCD＝30°，∴∠ PDC＝60°，∴∠ ADC＝120°，∴∠ APB＝120°．∴∠ BPC＝360°－∠ APB－∠ APD－∠ CPD＝90°．∴ BC2＝ PB2＋ PC2．∵ PB＝2， PC＝ ，∴ BC＝ ．3 7∵△ ABC 为正三角形，∴ S△ ABC＝ BC2＝ ．34 73439．已知 a，b，c 满足 ＋ ＋(c－ )2＝0．|a－ 7| b－ 5 32(1)求 a，b，c 的值．(2)判断以 a，b，c 为边能否构成三角形？若能构成三角形，此三角形是什么形状？并求出三角形的面积；若不能，请说明理由．【解】 (1)∵a，b，c 满足 ＋ ＋(c－ )2＝ 0．|a－ 7| |b－ 5| 32∴ ＝0， ＝0，(c － )2＝0，|a－ 7| |b－ 5| 32解得 a＝ ，b＝5，c＝ ．7 32(2)∵a＝ ，b＝5，c＝ ，7 32∴a＋b＝ ＋52＋5＝7＝ ，7 49 32∴以 a，b，c 为边能构成三角形．∵a 2＋b 2＝( )2＋5 2＝32＝c 2，7∴此三角形是直角三角形，∴S＝ × ×5＝ ．12 7 5 72(第 10 题)10．如图，在等腰直角三角形 ABC 中，∠BAC＝90°，P 是△ABC 内一点，PA＝1，PB＝3，PC＝ ．求∠CPA 的度数．7【解】 将△APB 绕点 A 逆时针旋转 90°到△AQC 的位置，连结 PQ，则易得△APQ 为等腰直角三角形，且△AQC≌△APB，∴QA＝PA＝1，QC＝PB＝3．∵△APQ 为等腰直角三角形，∴PQ 2＝PA 2＋AQ 2＝2，∠APQ＝45°．在△CPQ 中，PC 2＋PQ 2＝7＋2＝9＝QC 2，∴∠QPC＝90°，∴∠CPA＝∠QPC＋∠APQ＝135°．数学乐园11．如图，在正方形 ABCD 中，点 E，G 分别在边 AB，对角线 BD 上，EG∥AD，F 为 GD的中点，连结 FC．求证：EF⊥FC．导学号：91354014,(第 11 题)) ,(第 11 题解))【解】 如解图，过点 F 作 FH⊥AB 于点 H，FK⊥AD 于点 K，延长 HF 交 CD 于点 I．由题意易得四边形 FIDK 是正方形，四边形 AKFH 是长方形，∴AK＝HF，KD＝DI＝FI＝KF＝AH．∵AD＝CD，∴IC＝AK＝HF．4∵AD∥FH∥EG，F 是 DG 的中点，∴易证得 HA＝HE，∴HE＝FI．在 Rt△HEF 和 Rt△FIC 中，由勾股定理，得EF2＝HE 2＋HF 2，FC 2＝FI 2＋IC 2，∴EF 2＋FC 2＝HE 2＋HF 2＋FI 2＋IC 2＝2HE 2＋2HF 2．在 Rt△BCE 中，由勾股定理，得EC2＝BE 2＋BC 2．∵BE 2＝(AB－AE) 2＝(AD－2HE) 2＝(HF＋FI－2HE) 2＝(HF＋HE－2HE) 2＝(HF－HE) 2＝HF 2－2HF·HE＋HE 2，BC2＝(HF＋FI) 2＝(HF＋HE) 2＝HF 2＋2HF·HE＋HE 2，∴EC 2＝BE 2＋BC 2＝HF 2－2HF·HE＋HE 2＋HF 2＋2HF·HE＋HE 2＝2HE 2＋2HF 2，即 EF2＋FC 2＝EC 2，∴△EFC 是直角三角形，且∠EFC＝90°，∴EF⊥FC．