1、12018 年普通高等学校招生全国统一考试数学试题 文(全国卷 3)注意事项:1答卷前,考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题给的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1. 已知集合 , ,则A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析:由题意先解出集合 A,进而得到结果。详解:由集合 A 得 ,所以故答案选
2、C.点睛:本题主要考查交集的运算,属于基础题。2. A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析:由复数的乘法运算展开即可。故选 D.点睛:本题主要考查复数的四则运算,属于基础题。3. 中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来,构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是2A. A B. B C. C D. D【答案】A【解析】分析:观察图形可得。详解:观擦图形图可知,俯视图为故答案为 A.点睛:本题主要考擦空间几何体的三视图,考查学生的空间想象能力,属于基础题。4. 若 ,则A. B.
3、 C. D. 【答案】B【解析】分析:由公式 可得。详解:故答案为 B.点睛:本题主要考查二倍角公式,属于基础题。5. 若某群体中的成员只用现金支付的概率为 0.45,既用现金支付也用非现金支付的概率为 0.15,则不用现金支付的概率为A. 0.3 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.7【答案】B【解析】分析:由公式 计算可得详解:设设事件 A 为只用现金支付,事件 B 为只用非现金支付,3则因为所以故选 B.点睛:本题主要考查事件的基本关系和概率的计算,属于基础题。6. 函数 的最小正周期为A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析:将函数 进行化简即可详解:由已知得的最小正周期故选
4、C.点睛:本题主要考查三角函数的化简和最小正周期公式,属于中档题7. 下列函数中,其图像与函数 的图像关于直线 对称的是A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析:确定函数 过定点(1,0)关于 x=1 对称点,代入选项验证即可。详解:函数 过定点(1,0) , (1,0)关于 x=1 对称的点还是(1,0) ,只有 过此点。故选项 B 正确点睛:本题主要考查函数的对称性和函数的图像,属于中档题。8. 直线 分别与 轴, 轴交于 , 两点,点 在圆 上,则 面积的取值范围是A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析:先求出 A,B 两点坐标得到 再计算圆心到直线距离,得到点 P 到直线
5、距离范围,由面4积公式计算即可详解: 直线 分别与 轴, 轴交于 , 两点,则点 P 在圆 上圆心为(2,0) ,则圆心到直线距离故点 P 到直线 的距离 的范围为则故答案选 A.点睛:本题主要考查直线与圆,考查了点到直线的距离公式,三角形的面积公式,属于中档题。9. 函数 的图像大致为A. A B. B C. C D. D【答案】D【解析】分析:由特殊值排除即可详解:当 时, ,排除 A,B.5,当 时, ,排除 C故正确答案选 D.点睛:本题考查函数的图像,考查了特殊值排除法,导数与函数图像的关系,属于中档题。10. 已知双曲线 的离心率为 ,则点 到 的渐近线的距离为A. B. C. D
6、. 【答案】D【解析】分析:由离心率计算出 ,得到渐近线方程,再由点到直线距离公式计算即可。详解:所以双曲线的渐近线方程为所以点(4,0)到渐近线的距离故选 D点睛:本题考查双曲线的离心率,渐近线和点到直线距离公式,属于中档题。11. 的内角 , , 的对边分别为 , , 若 的面积为 ,则A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析:由面积公式 和余弦定理 进行计算可得。详解:由题可知所以由余弦定理所以6故选 C.点睛:本题主要考查解三角形,考查了三角形的面积公式和余弦定理。12. 设 , , , 是同一个半径为 4 的球的球面上四点, 为等边三角形且其面积为 ,则三棱锥体积的最大值为A.
7、 B. C. D. 【答案】B【解析】分析:判断出当 平面 时,三棱锥 体积最大,然后进行计算可得。详解:如图所示,点 M 为三角形 ABC 的重心,E 为 AC 中点,当 平面 时,三棱锥 体积最大此时,,点 M 为三角形 ABC 的重心中,有故选 B.点睛:本题主要考查三棱锥的外接球,考查了勾股定理,三角形的面积公式和三棱锥的体积公式,判断出7当 平面 时,三棱锥 体积最大很关键,由 M 为三角形 ABC 的重心,计算得到,再由勾股定理得到 OM,进而得到结果,属于较难题型。二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分13. 已知向量 , , 若 ,则 _【答案】【解析】分析
8、:由两向量共线的坐标关系计算即可。详解:由题可得,即故答案为点睛:本题主要考查向量的坐标运算,以及两向量共线的坐标关系,属于基础题。14某公司有大量客户,且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异为了解客户的评价,该公司准备进行抽样调查,可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样,则最合适的抽样方法是_【答案】分层抽样【解析】分析:由题可知满足分层抽样特点详解:由于从不同龄段客户中抽取,故采用分层抽样故答案为:分层抽样。点睛:本题主要考查简单随机抽样,属于基础题。15. 若变量 满足约束条件 则 的最大值是_【答案】3【解析】分析:作出可行域,平移直线可得详解:作出可行域8由图可知目标
9、函数在直线 与 的交点(2,3)处取得最大值 3故答案为 3.点睛:本题考查线性规划的简单应用,属于基础题。16. 已知函数 , ,则 _【答案】【解析】分析:发现 可得。详解:,则故答案为:-2点睛:本题主要考查函数的性质,由函数解析式,计算发现 和关键,属于中档题。三、解答题:共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,第 1721 题为必考题,每个试题考生都必须作答,第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答(一)必考题:共 60 分17. 等比数列 中, (1)求 的通项公式;(2)记 为 的前 项和若 ,求 9【答案】 (1) 或 (2)【解析】分析:(1)列出方程,解出
10、 q 可得;(2)求出前 n 项和,解方程可得 m。详解:(1)设 的公比为 ,由题设得 由已知得 ,解得 (舍去) , 或 故 或 (2)若 ,则 由 得 ,此方程没有正整数解若 ,则 由 得 ,解得 综上, 点睛:本题主要考查等比数列的通项公式和前 n 项和公式,属于基础题。18. 某工厂为提高生产效率,开展技术创新活动,提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式为比较两种生产方式的效率,选取 40 名工人,将他们随机分成两组,每组 20 人,第一组工人用第一种生产方式,第二组工人用第二种生产方式根据工人完成生产任务的工作时间(单位:min)绘制了如下茎叶图:(1)根据茎叶图判断哪种生产方式
11、的效率更高?并说明理由;(2)求 40 名工人完成生产任务所需时间的中位数 ,并将完成生产任务所需时间超过 和不超过 的工人数填入下面的列联表:超过 不超过第一种生产方式第二种生产方式(3)根据(2)中的列联表,能否有 99%的把握认为两种生产方式的效率有差异?10附: , 【答案】 (1)第二种生产方式的效率更高理由见解析(2)超过 不超过第一种生产方式 15 5第二种生产方式 5 15(3)有【解析】分析:(1)计算两种生产方式的平均时间即可。(2)计算出中位数,再由茎叶图数据完成列联表。(3)由公式计算出 ,再与 6.635 比较可得结果。详解:(1)第二种生产方式的效率更高理由如下:(
12、i)由茎叶图可知:用第一种生产方式的工人中,有 75%的工人完成生产任务所需时间至少 80 分钟,用第二种生产方式的工人中,有 75%的工人完成生产任务所需时间至多 79 分钟因此第二种生产方式的效率更高(ii)由茎叶图可知:用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为 85.5 分钟,用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为 73.5 分钟因此第二种生产方式的效率更高(iii)由茎叶图可知:用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于 80 分钟;用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于 80 分钟,因此第二种生产方式的效率更高(iv)由茎叶图可知:用第一
13、种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎 8 上的最多,关于茎 8 大致呈对称分布;用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎 7 上的最多,关于茎 7 大致呈对称分布,又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同,故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少,因此第二种生产方式的效率更高以上给出了 4 种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分11(2)由茎叶图知 列联表如下:超过 不超过第一种生产方式 15 5第二种生产方式 5 15(3)由于 ,所以有 99%的把握认为两种生产方式的效率有差异点睛:本题主要考
14、查了茎叶图和独立性检验,考察学生的计算能力和分析问题的能力,贴近生活。19. 如图,矩形 所在平面与半圆弧 所在平面垂直, 是 上异于 , 的点(1)证明:平面 平面 ;(2)在线段 上是否存在点 ,使得 平面 ?说明理由【答案】 (1)证明见解析(2)存在,理由见解析【解析】分析:(1)先证 ,再证 ,进而完成证明。(2)判断出 P 为 AM 中点, ,证明 MC OP, 然后进行证明即可。详解:(1)由题设知,平面 CMD平面 ABCD,交线为 CD因为 BC CD, BC 平面 ABCD,所以 BC平面 CMD,故 BC DM因为 M 为 上异于 C, D 的点,且 DC 为直径,所以
15、DM CM又 BC CM=C,所以 DM平面 BMC而 DM 平面 AMD,故平面 AMD平面 BMC(2)当 P 为 AM 的中点时, MC平面 PBD证明如下:连结 AC 交 BD 于 O因为 ABCD 为矩形,所以 O 为 AC 中点连结 OP,因为 P 为 AM 中点,所以 MC OP12MC 平面 PBD, OP 平面 PBD,所以 MC平面 PBD点睛:本题主要考查面面垂直的证明,利用线线垂直得到线面垂直,再得到面面垂直,第二问先断出 P 为AM 中点,然后作辅助线,由线线平行得到线面平行,考查学生空间想象能力,属于中档题。20. 已知斜率为 的直线 与椭圆 交于 , 两点线段 的
16、中点为 (1)证明: ;(2)设 为 的右焦点, 为 上一点,且 证明: 【答案】 (1)证明见解析(2)证明见解析【解析】分析:(1)设而不求,利用点差法,或假设直线方程,联立方程组,由判别式和韦达定理进行证明。(2)先求出点 P 的坐标,解出 m,得到直 的方程,联立直线与椭圆方程由韦达定理进行求解。详解:(1)设 , ,则 , 两式相减,并由 得 由题设知 , ,于是 由题设得 ,故 (2)由题意得 F(1,0) 设 ,则由(1)及题设得 , 又点 P 在 C 上,所以 ,从而 , 13于是 同理 所以 故 点睛:本题主要考查直线与椭圆的位置关系,第一问利用点差法,设而不求可减小计算量,
17、第二问由已知得求出 m,得到 ,再有两点间距离公式表示出 ,考查了学生的计算能力,难度较大。21. 已知函数 (1)求曲线 在点 处的切线方程;(2)证明:当 时, 【答案】 (1)切线方程是(2)证明见解析【解析】分析:(1)求导,由导数的几何意义求出切线方程。(2)当 时, ,令 ,只需证明 即可。详解:(1) , 因此曲线 在点 处的切线方程是 (2)当 时, 令 ,则 当 时, , 单调递减;当 时, , 单调递增;所以 因此 点睛:本题考查函数与导数的综合应用,由导数的几何意义可求出切线方程,第二问当 时,,令 ,将问题转化为证明 很关键,本题难度较大。(二)选考题:共 10 分,请
18、考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分1422. 选修 44:坐标系与参数方程在平面直角坐标系 中, 的参数方程为 ( 为参数) ,过点 且倾斜角为 的直线 与交于 两点(1)求 的取值范围;(2)求 中点 的轨迹的参数方程【答案】 (1)(2) 为参数, 【解析】分析:(1)由圆与直线相交,圆心到直线距离 可得。(2)联立方程,由根与系数的关系求解详解:(1) 的直角坐标方程为 当 时, 与 交于两点当 时,记 ,则 的方程为 与 交于两点当且仅当 ,解得 或 ,即 或 综上, 的取值范围是 (2) 的参数方程为 为参数, 设 , , 对应的参数分别为 , ,
19、 ,则 ,且 , 满足 于是 , 又点 的坐标 满足所以点 的轨迹的参数方程是 为参数, 点睛:本题主要考查直线与圆的位置关系,圆的参数方程,考查求点的轨迹方程,属于中档题。23. 选修 45:不等式选讲设函数 15(1)画出 的图像;(2)当 , ,求 的最小值【答案】 (1)(2) 的最小值为【解析】分析:(1)将函数写成分段函数,再画出在各自定义域的图像即可。(2)结合(1)问可得 a,b 范围,进而得到 a+b 的最小值详解:(1)的图像如图所示16(2)由(1)知, 的图像与 轴交点的纵坐标为 ,且各部分所在直线斜率的最大值为 ,故当且仅当且 时, 在 成立,因此 的最小值为 点睛:本题主要考查函数图像的画法,考查由不等式求参数的范围,属于中档题。