1、- 1 -2017-18 学年高二年级第二学期期末考试数学试卷（理数）本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分考试时间 120 分钟，满分150 分第 I 卷（选择题，共 60 分）注意事项：答第 I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号、座号、考试科目涂写在答题卡上每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干 净后，再选涂其它答案标号不能答在试题卷上一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知集合 ， ，则集合 的子集个数为（ ）1,0AAyxzB
2、,| B.3 .4 . 7 .8CD2若 是 的必要不充分条件，则实数 的取值范围是（ ）32mx4xm. . . .,3,1,1,3命题“ ， ”的否定为( ),1. . A20x0xB,20x30x. ， . ，C,3D14已知函数 在 单调递减，且为奇函数，若 ，则满足xf, f的 的取值范围是( ）121. . . .A,B1,C4,0D3,15已知函数 ， ，若 ，则 ( )xf5xag21gfa. . . .1 36已知函数 ， 的值域是 ，则实数 的取,lo36xfa,0且,4a值范围是( ). . . .A1,B2,1C,D3,17已知函数 是奇函数，则使 成立 的取值范围是
3、( )axf3xf- 2 -. . . .A1,B0,1C1,0D,18若 ， ，则 ( )0bac. . . .blogl bacclogl cbaabc9已知函数 为偶函数，记 ， 12mxf 3l5.0f5log2f， ，则 的大小关系为 ( )c,. . . .AbaBbcaCbacDac10已知函数 在区间 上是增函数，则实数 的取值范围34213xxf 2,1m是（ ）. . . .A5,4B, ,1,11已知函数 若关于 的方程 有 7|123,0,xfx012axff个不等实根，则实数 的取值范围是( )a. . . .A1,B4, C,D4,12. 已知函数 ， 与 的图象上
4、存在关于 轴对称axf13ex,xgln3x的点，则实数 的取值范围是( )a. . . .A4,03eB2,03eC4,213eD,3第 II 卷（非选择题，共 90 分）注意事项：1.答题前将密封线内的项目及座号填写清楚；2.考生做答时，用黑色签字笔将答案答在答题卷上，答在试题卷上的答案无效二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13已知函数 ，则 .21fxfx10dxf14函数 的定义域为_cosinlg15若 在区间 上恒成立，则实数 的取值范围是 _22xxa2,1a16设 是奇函数 的导函数， ，当 时， ，则ff0fx0fxf- 3 -使 成立的 的取值范围
5、是 .0xfx三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（一）必考题：共 60 分17(本小题满分 12 分)在 中,角 所对的边分别为 且 .ABC, cba, abc322（1）求角 的值；（2）若 为锐角三角形,且 ,求 的取值范围.1318(本小题满分 12 分)从某工厂的一个车间抽取某种产品 50 件，产品尺寸（单位： ）落在各个小组的频数分布如下表：数据分组 12.5,).,185).,21).5,4)2.,75).,30).5,3)频数 3910（1）根据频数分布表，求该产品尺寸落在 的概率；（2）求这 件产品尺寸的样本平均数 ；50x
6、（3）根据频率分布对应的直方图，可以认为这种产品尺寸 服从正态分布 ；其中z2(,)N近似为样本平均值 ， 近似为样本方差 ，经计算得 ，利用正态分布，x22S2.37S求 (27.43)Pz19.(本小题满分 12 分）如图，三棱柱 中， ， ，1CBAB1A016B（1）证明： ；CAB1- 4 -（2）若平面 平面 ， ，求直线 与平面 所成角的正弦ABCB1CAA1CB1值20. (本小题满分 12 分) 已知三点 ， ， ，曲线 上任意一点 满足1,2,0,OyxM,|()2MABAB（1） 求 的方程；C（2） 动点 在曲线 上， 是曲线 在 处的切线问：是否存0,yxQ0xClQ
7、在定点 使得 与 都相交，交点分别为 ，且 与tPlPA, ED,AB的面积之比为常数？若存在，求 的值；若不存在，说明理由DEt21.(本小题满分 12 分）已知函数 ， xflnxeg（1）求函数 的单调区间；fy（2）求证：函数 和 在公共定义域内， 恒成立；xy2xfg（3）若存在两个不同的实数 ， ，满足 ，求证： 12axff21 12e（二）选考题：共 10 分，请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所作第一题计分.22.(本小题满分 10 分)在直角坐标系中，以坐标原点为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系。已知点 的极x A坐标为 ，直线 的极坐标方程为
8、，且点 在直线 上4,2La4cosAL（1）求 的值及直线 的直角坐标方程；a（2）圆 的参数方程为 （ 为参数），试判断直线 与圆 的位置关系Csinc1yx C23. (本小题满分 10 分)已知函数 ， .2xaxf R（1）若不等式 有解，求实数 的取值范围；()|1|a（2）当 时，函数 的最小值为 ，求实数 的值afx3（2）当 时，函数 的最小值为 3，求实数 的值 .a- 5 - 6 -高二年级数学答案及评分标准（理数）1-12 CDABDA13、 14、 15、 16、67Zkk,2,2,127,20,17. 解:() ,即 ,为三角形内角, ; -6 分 ()由()得 ,
9、即 ,又 为锐角三角形,解得: , ,由正弦定理得: ,即 , , ,则 . -12 分18. 解：（1）根据频数分布表可知，产品尺寸落在 内的概率 .。4 分（2）样本平均数.。8 分（3）依题意 .- 7 -而 ， ，则 .即为所求. -8 分19. （）取 的中点 ，连接 。因为 ，所以 。由于 ， ，故 为等边三角形，所以 。因为 ，所以 平面 ，又 平面 ，故 -4 分（）由（）知 。又平面 平面 ，交线为 ，所以 平面 ，故 两两互相垂直。以 为坐标原点， 的方向为 轴的正方向， 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系 ，由题设知 ，则 ，设 是平面 的法向量，则 ，即 。可取 ，
10、故，所以 与平面 所成角的正弦值为 -12 分20. （1）依题意可得 ，- 8 -由已知得 ，化简得曲线 C 的方程： -4分（2）假设存在点 满足条件，则直线 的方程是 ，直线的方程是 ，曲线 C 在点 Q 处的切线 l 的方程为: ,它与y 轴的交点为 ，由于 ，因此当 时， ，存在 ，使得 ，即 l 与直线平行，故当 时与题意不符当 时， ，所以 l 与直线 一定相交，分别联立方程组，解得 的横坐标分别是则 ，又 ，有 ，又 于是对任意 ，要使 与 的面积之比是常数，只需 t 满足，解得 ，此时 与 的面积之比为 2，故存在 ，使 与 的面积之比是常数 2。 -12 分21. 解:(1
11、)函数 的定义域为 , ,故当 时, ,当 时, ,故函数 的单调增区间为 ,单调减区间为 ;-4 分- 9 -(2)证明:函数 和 的公共定义域为 ,设 ,则 在 上单调递增,故 ;设 ,当 时有极大值点,;故 ;故函数 和 在公共定义域内, . -8 分(3)证明:不妨设 ,由题意得, ;所以 ;而要证 ,只需证明 ;即证明 ;即证明 ;即证明, ;令 ,则 ;即证明 ;设 ;则 ,故函数 在区间 上是增函数,所以 ,即 ;所以不等式 成立.-12 分22. （1）由点 在直线 上，可得 ，所以直线的方程可化为 ，从而直线的直角坐标方程为 -5 分（2）根据圆 的参数方程可以得到对应的直角坐标方程为 ，所以圆心为，半径 ，则圆心到直线的距离 ，所以直线与圆相交-10 分- 10 -23. （）由题 ，即为 而由绝对值的几何意义知 ，由不等式 有解， ，即 实数 的取值范围 - 5 分（）函数 的零点为 和 ，当 时知- 7 分如图可知 在 单调递减，在 单调递增，得 （合题意），即 -10 分
