1、- 1 -河北省阜城中学 2017-2018 学年高二数学下学期期末考试试题 文一、选择题（共 12 小题）1.远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”.如图所示的是一位母亲记录的孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满七进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是（ ）A336 B509 C1326 D36032.已知复数 （ 是虚数单位） ，则 （ ）312zizA B C D65i365i125i125i3.其食品研究部门为了解一种酒品的储藏年份与芳香度之间的相关关系，在市场上收集到了一部分不同年份的该酒品，并测定了其芳香度（如表）.年份 x0 1 4 5
2、6 8芳香度 y1.3 1.8 5.6 7.4 9.3由最小二乘法得到回归方程 ，但不小心在检测后滴到表格上一滴检测液，污1.03.yx损了一个数据，请你推断该数据为（ ）A6.1 B6.28 C6.5 D6.8 4.把一枚质地均匀、半径为 1 的圆形硬币抛掷在一个边长为 8 的正方形托盘上，已知硬币平放在托盘上且没有掉下去，则该硬币完全落在托盘上（即没有任何部分在托盘以外）的概率为（ ）A B C D1891641565.甲、乙、丙、丁、戊 5 名同学参加“论语知识大赛” ，决出第 1 名到第 5 名的名次.甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说“虽然你的成绩比乙好，但是你俩都没得到第一名
3、”；对乙说“你当然不会是最差的”.从上述回答分析，丙是第一名的概率是（ ）- 2 -A B C D151314166.设 存在导函数且满足 ，则曲线 上的点()fx0()2)limxfx()yfx处的切线的斜率为（ ）1,A-1 B-2 C1 D27.某校高中三个年级人数饼图如图所示，按年级用分层抽样的方法抽取一个样本，已知样本中高一年级学生有 8 人，则样本容量为（ ）A24 B30 C32 D358.“ ”是“函数 存在零点”的（ ）0m2()log(1)fxmxA充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件9.已知函数 在 时有极值 0，则椭圆 的离心率322()f
4、xxn1x21xymn为（ ）A B C 或 D237923792910.已知 、 分别为双曲线 的左、右焦点，以原点为圆心，半焦距1F221(0)xyab为半径的圆交双曲线右支于 、 两点，且 为等边三角形，则双曲线的离心率为（ AB1FAB）A B C D31322- 3 -11.设点 是曲线 上的任意一点，点 处切线的倾斜角为 ，则角 的取P35yxP值范围是（ ）A B20,320,),)3C D( 12.设 ， 是离心率为 5 的双曲线 的两个焦点， 是双曲线上的一点，且1F2 214xyaP，则 的面积等于（ ）1234P12PFA B C24 D4883二、填空题（共 4 小题）
5、13.已知双曲线 和椭圆 焦点相同，则该双曲线的方程为 21xym214xy14.某单位安排甲、乙、丙三人在某月 1 日至 12 日值班，每人 4 天.甲说：我在 1 日和 3 日都有值班；乙说：我在 8 日和 9 日都有值班；丙说：我们三人各自值班的日期之和相等.据此可判断丙必定值班的日期是 15.在区间 上随机地取一个数 ，则事件“ ”发生的概率为 0,2x12log()x16.已知定义在 上的函数 在导函数为 ，若 ，且当 时，R()fx()fx()fx1，则满足不等式 的实数 的取值范围是 ()0fx12mm三、解答题：17.有甲、乙两个桔柚（球形水果）种植基地，已知所有采摘的桔柚的直
6、径都在 范59,10围内（单位：毫米，以下同） ，按规定直径在 内为优质品，现从甲、乙两基地所采摘71,89)的桔柚中各随机抽取 500 个，测量这些桔柚的直径，所得数据整理如下：直径分组59,6),71),),3),89),5)9,10)- 4 -甲基地频数10 30 120 175 125 35 5乙基地频数5 35 115 165 110 60 10（1）根据以上统计数据完成下面 列联表，并回答是否有 以上的把握认为“桔柚直295%径与所在基地有关？”甲基地 乙基地 合计优质品 _ _ _非优质品 _ _ _合计 _ _ _（2）求优质品率较高的基地的 500 个桔柚直径的样本平均数 （
7、同一组数据用该区间的中点x值作代表） ；（3）记甲基地直径在 范围内的五个桔柚分别为 、 、 、 、 ，现从中任取95,10ABCDE二个，求含桔柚 的概率.A附： ， .22nadbcKdnabcd20()Pk0.10 0.05 0.010 0.005 0.0012.706 3.841 6.635 7.879 10.82818.已知椭圆 ： 的左焦点 左顶点 .C21(0)xyab(2,0)F1(4,0)A（）求椭圆 的方程；（） 已知 ， 是椭圆上的两点， ， 是椭圆上位于直线 两侧的动点.若 ，(2,3)P(,)QBPQAPQB试问直线 的斜率是否为定值？请说明理由.AB19.某市春节期
8、间 7 家超市广告费支出 （万元）和销售额 （万元）数据如表：ixiy超市 BCDEFG广告费支出 ix1 2 4 6 11 13 19- 5 -销售额 iy19 32 40 44 552 53 54（）若用线性回归模型拟合 与 的关系，求 与 的线性回归方程.yxyx（） 若用二次函数回归模型拟合 与 的关系，可得回归方程：，经计算二次函数回归模型和线性回归模型的 分别约为 0.93 和20.1750yx 2R0.75，请用 说明选择哪个回归模型更合适，并用此模型预测 超市广告费支出 3 万元时R A的销售额.参考数据： ， ， ， .8x42y71294ixy72108ix参考公式： ，
9、.12niibxaybx20.已知抛物线 ： 上的点 到其焦点 的距离为 .C2(01)yp(,1)PmF54（）求 的方程；（） 已知直线 不过点 且与 相交于 ， 两点，且直线 与直线 的斜率之积为lPABAPB1，证明： 过定点.21.已知三次函数 过点 ，且函数 在点32()(,)fxbcxdabR(3,0)()fx处的切线恰好是直线 .(0,)f 0y（）求函数 的解析式；()fx（） 设函数 ，若函数 在区间 上有两个零点，求91gm()yfxg2,1实数 的取值范围.m请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.已知函数 .()xfne（1）若
10、函数 的图象在点 处的切线方程为 ，求 ， 的值；(0,)f 32yxmn（2）当 时，在区间 上至少存在一个 ，使得 成立，求实数 的取值n10x0()f范围.- 6 -高二文科升级考试数学试题答案一、选择题1-5: BBABB 6-10: ACABA 11、12：BC二、填空题13. 14. 6 日和 11 日 15. 16. 217xy341,3三、解答题17、解：（1）由以上统计数据填写 22 列联表如下：甲基地 乙基地 合计优质品 420 390 810非优质品 80 110 190合计 500 500 1000计算 K2= = 5.8483.841，所以有 95%的把握认为：“桔柚
11、直径与所在基地有关” ；（2）甲基地桔柚的优质品率为 =84%，乙基地桔柚的优质品率为 =78%，所以甲基地桔柚的优质品率较高，甲基地的 500 个桔柚直径的样本平均数为= （6210+6830+74120+80175+86125+9235+985）=1.24+4.08+17.76+28.0+21.5+6.44+0.98=80；（3）依题意：记“从甲基地直径在95，101的五个桔柚 A，B，C，D，E 中任取二个，含桔柚 A”为事件 N；实验包含的所有基本事件为：（A，B） ， （A，C） ， （A，D） ， （A，E） ， （B，C） ， （B，D） ，（B，E） ， （C，D） ， （C，
12、E） ， （D，E）共 10 种；事件 N 包含的结果有：（A，B） ， （A，C） ， （A，D） ， （A，E）共 4 种；所求事件的概率为： 18、解：（）由题意可得，a=4，c=2 由 a2=b2+c2，得 b2=422 2=12，- 7 -所以椭圆 C 的方程为 （）当APQ=BPQ 时，AP，BP 的斜率之和为 0，设直线 PA 的斜率为 k，则直线 PB 的斜率为k，设 A（x 1，y 1）B（x 2，y 2） ，PA 的方程为 y3=k（x2） 联立 消 y 得（3+4k 2）x 2+8（3kk 2）x+4（4k 2+912k）48=0所以 ，同理 ，所以 ， ，所以 kAB=
13、 = = ，所以 AB 的斜率为定值 19、解：（） =708，回归系数为 = ，；y 关于 x 的线性回归方程是 ； （）R 2分别约为 0.93 和 0.75，且 0.750.93，二次函数回归模型更合适； 当 x=3 万元时， +5x+20=0.173 2+53+20=33.47，预测 A 超市销售额为 33.47 万元 20、 【解答】解：（）由题意，得 2pm=1，即 - 8 -由抛物线的定义，得 由题意， 解得 ，或 p=2（舍去） 所以 C 的方程为 y2=x（）证法一：设直线 PA 的斜率为 k（显然 k0） ，则直线 PA 的方程为 y1=k（x1） ，则y=kx+1k由 消
14、去 y 并整理得 k2x2+2k（1k）1x+（1k） 2=0设 A（x 1，y 1） ，由韦达定理，得 ，即 .= 所以 由题意，直线 PB 的斜率为 同理可得 ，即 B（k 21） 2，k1） 若直线 l 的斜率不存在，则 解得 k=1，或 k=1当 k=1 时，直线 PA 与直线 PB 的斜率均为 1，A，B 两点重合，与题意不符；当 k=1 时，直线 PA 与直线 PB 的斜率均为1，A，B 两点重合，与题意不符所以，直线 l 的斜率必存在直线 l 的方程为 x（k1） 2，即 所以直线 l 过定点（0，1） 证法二：由（1） ，得 P（1，1） 若 l 的斜率不存在，则 l 与 x
15、轴垂直设 A（x 1，y 1） ，则 B（x 1，y 1） ， 则 = = （x 110，否则，x 1=1，则 A（1，1） ，或 B（1，1） ，直线 l 过点 P，与题设条件矛盾）- 9 -由题意， ，所以 x1=0这时 A，B 两点重合，与题意不符所以 l 的斜率必存在设 l 的斜率为 k，显然 k0，设 l：y=kx+t，由直线 l 不过点 P（1，1） ，所以 k+t1由 消去 y 并整理得 k2x2+（2kt1）x+t 2=0由判别式=14kt0，得 设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，则 ， ，则= = 由题意， 故（k 21）x 1x2+（ktk+1） 将代入式
16、并化简整理得 ，即 1t 2ktk=0即（1+t） （1t）k（t+1）=0，即（1+t） （1tk）=0又 k+t1，即 1tk0，所以 1+t=0，即 t=1所以 l：y=kx1显然 l 过定点（0，1） 证法三：由（1） ，得 P（1，1） 设 l：x=ny+t，由直线 l 不过点 P（1，1） ，所以 n+t1由 消去 x 并整理得 y2nyt=0由题意，判别式=n 2+4t0设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，则 y1+y2=n，y 1y2=t则 = = 由题意，y 1y2+（y 1+y2）+1=1，即 y1y2+（y 1+y2）=0- 10 -将代入式得t+n=0，
17、即 t=n所以 l：x=n（y+1） 显然 l 过定点（0，1） 21、 【解答】解：（1）f（x）=3x 2+2bx+c，由已知条件得：，解得 b=3，c=d=0；f（x）=x 33x 2（2）由已知条件得：f（x）g（x）=0 在2，1上有两个不同的解；即 x33x 29xm+1=0 在区间2，1有两个不同的解；即 m=x33x 29x+1 在2，1上有两个不同解令 h（x）=x 33x 29x+1，h（x）=3x 26x9，x2，1；解 3x26x90 得：2x1；解 3x26x90 得：1x1；h（x） max=h（1）=6，又 f（2）=1，f（1）=10，h（x） min=10；m
18、=h（x）在区间2，1上有两个不同的解，1m6实数 m 的取值范围是1，6） 22、 【解答】解：（1）f（x）= +n，故 f（0）=nm，即 nm=3，又f（0）=m，故切点坐标是（0，m） ，切点在直线 y=3x+2 上，故 m=2，n=1；（2）f（x）= +x，f（x）= ，当 m0 时，f（x）0，故函数 f（x）在（，1）递增，令 x0=a0，此时 f（x）0，符合题意，当 m0 时，即 0me 时，则函数 f（x）在（，lnm）递减，在（lnm，+）递增，当 lnm1 即 0me 时，则函数 f（x）在（，lnm）递减，在（lnm，1递增，f（x） min=f（lnm）=lnm
19、+10，解得：0m ，当 lnm1 即 me 时，函数 f（x）在区间（，1）递减，- 11 -则函数 f（x）在区间（，1）上的最小值是 f（1）= +10，解得：me，无解，综上，m ，即 m 的范围是（， ） - 12 -高二文科升级考试数学试题答案一、 选择题：1、B【解答】解：由题意满七进一，可知该图示为七进制数，化为十进制数为 173+372+27+5=509故选：B2、B【解答】解： = ， ，故选：B3、A【解答】解：由表中数据： = =4，回归方程 =1.03x+1.13， =1.034+1.13=5.26， = =5.26，解得：？=6.1故选：A4、B【解答】解：如图，要
20、使硬币完全落在托盘上，则硬币圆心在托盘内以 6 为边长的正方形内，硬币在托盘上且没有掉下去，则硬币圆心在托盘内，由测度比为面积比可得，硬币完全落在托盘上的概率为 P= 故选：B5、B【解答】解：甲和乙都不可能是第一名，- 13 -第一名只可能是丙、丁或戊，又考虑到所有的限制条件对丙、丁都没有影响，这三个人获得第一名是等概率事件，丙是第一名的概率是 故选：B6、A【解答】解：y=f（x）在点（1，f（1） ）处的切线的斜率为 f（1）=1，故选：A7、C【解答】解：由分层抽样的方法可设样本中有高中三个年级学生人数为 x 人，则 ，解得：x=32故选：C8、 A【解答】解：m0，函数 f（x）=m
21、+log 2x（x1） ，又 x1，log 2x0，y=log 2x 在 x1 上为增函数，求 f（x）存在零点，要求 f（x）0，必须要求 m0，f（x）在 x1 上存在零点；若 m=0，代入函数 f（x）=m+log 2x（x1） ，可得 f（x）=log 2x，令 f（x）=log 2x=0，可得 x=1，f（x）的零点存在，“m0”是“函数 f（x）=m+log 2x（x1）存在零点”充分不必要条件，故选：A9、B【解答】解：f（x）=x 3+3mx2+nx+m2 f（x）=3x 2+6mx+n依题意可得 即： ，解得 ，或 ，当 m=1，n=3 时函数 f（x）=x 3+3x2+3x
22、+1，f（x）=3x 2+6x+3=3（x+1） 20，函数在 R 上单调递增，函数无极值，舍去，- 14 -椭圆 ，m=2，n=9，则 a=9，c=77，所以椭圆的离心率为： 故选：B10、A【解答】解：F 1、F 2分别为双曲线 的左、右焦点，以原点为圆心，半焦距为半径的圆交双曲线右支于 A、B 两点，且F 1AB 为等边三角形，则 A（ ， ） ，代入双曲线方程可得： ，即：e 2 ，可得 e2 =4，即 e48e 2+4=0可得 e2=4+2 ，e= 故选：A11、B【解答】解：y=3x 2 ，tan ，0， ） ，） ，故选：B12、 【解答】解：设 F1，F 2是离心率为 5 的双
23、曲线 的两个焦点，e= = =5，解得 a2=1，c=5，|F 1F2|=2c=10，3|PF 1|=4|PF2|，设|PF 2|=x，则|PF 1|= |PF2|= x，由双曲线的性质知 xx=2，解得 x=6- 15 -|PF 1|=8，|PF 2|=6，F 1PF2=90，PF 1F2的面积= 68=24故选：C二、 填空题：13、 【解答】解：根据题意，椭圆 焦点的在 x 轴上，且其焦点坐标为（2，0） ，若双曲线 和椭圆 焦点相同，则有 m+1=8，解可得 m=7；则双曲线的方程为： y 2=1；故答案为： y 2=114、 【解答】解：由题意，1 至 12 的和为 78，因为三人各
24、自值班的日期之和相等，所以三人各自值班的日期之和为 26，根据甲说：我在 1 日和 3 日都有值班；乙说：我在 8 日和 9 日都有值班，可得甲在1、3、10、12 日值班，乙在 8、9、2、7 或 8、9、4、5，据此可判断丙必定值班的日期是 6 日和 11 日，故答案为：6 日和 11 日15、 【解答】解：利用几何概型，其测度为线段的长度1log （x+ ）1 x+ 2解得 0x ，0x2- 16 -0x所求的概率为：P= = 故答案为： 16、 【解答】解：由 f（x）=f（2x） ，得函数关于 x=1 对称，当 x1 时，f（x）0，此时函数为减函数，不妨设 f（x）=（x1） 2，
25、则不等式 f（m+1）f（2m）等价为（m+11） 2（2m1） 2，即m 24m 2+4m1，即 3m24m+10，得 m1，故实数 m 的取值范围是 ，1，故答案为： ，1，三、 解答题：17、 【解答】解：（1）由以上统计数据填写 22 列联表如下：甲基地 乙基地 合计优质品 420 390 810非优质品 80 110 190合计 500 500 1000计算 K2= = 5.8483.841，所以有 95%的把握认为：“桔柚直径与所在基地有关” ；（2）甲基地桔柚的优质品率为 =84%，乙基地桔柚的优质品率为 =78%，所以甲基地桔柚的优质品率较高，甲基地的 500 个桔柚直径的样本
26、平均数为= （6210+6830+74120+80175+86125+9235+985）=1.24+4.08+17.76+28.0+21.5+6.44+0.98=80；- 17 -（3）依题意：记“从甲基地直径在95，101的五个桔柚 A，B，C，D，E 中任取二个，含桔柚 A”为事件 N；实验包含的所有基本事件为：（A，B） ， （A，C） ， （A，D） ， （A，E） ， （B，C） ， （B，D） ，（B，E） ， （C，D） ， （C，E） ， （D，E）共 10 种；事件 N 包含的结果有：（A，B） ， （A，C） ， （A，D） ， （A，E）共 4 种；所求事件的概率为： 1
27、8、 【解答】解：（）由题意可得，a=4，c=2 由 a2=b2+c2，得 b2=422 2=12，所以椭圆 C 的方程为 （）当APQ=BPQ 时，AP，BP 的斜率之和为 0，设直线 PA 的斜率为 k，则直线 PB 的斜率为k，设 A（x 1，y 1）B（x 2，y 2） ，PA 的方程为 y3=k（x2） 联立 消 y 得（3+4k 2）x 2+8（3kk 2）x+4（4k 2+912k）48=0所以 ，同理 ，所以 ， ，所以 kAB= = = ，所以 AB 的斜率为定值 19、 【解答】解：（） =708，回归系数为 = ，（3 分）；（5 分）- 18 -y 关于 x 的线性回归
28、方程是 ；（6 分）（）R 2分别约为 0.93 和 0.75，且 0.750.93，二次函数回归模型更合适；（9 分）当 x=3 万元时， +5x+20=0.173 2+53+20=33.47，预测 A 超市销售额为 33.47 万元（12 分）20、 【解答】解：（）由题意，得 2pm=1，即 由抛物线的定义，得 由题意， 解得 ，或 p=2（舍去） 所以 C 的方程为 y2=x（）证法一：设直线 PA 的斜率为 k（显然 k0） ，则直线 PA 的方程为 y1=k（x1） ，则y=kx+1k由 消去 y 并整理得 k2x2+2k（1k）1x+（1k） 2=0设 A（x 1，y 1） ，由
29、韦达定理，得 ，即 .= 所以 由题意，直线 PB 的斜率为 同理可得 ，即 B（k 21） 2，k1） 若直线 l 的斜率不存在，则 解得 k=1，或 k=1当 k=1 时，直线 PA 与直线 PB 的斜率均为 1，A，B 两点重合，与题意不符；当 k=1 时，直线 PA 与直线 PB 的斜率均为1，A，B 两点重合，与题意不符所以，直线 l 的斜率必存在直线 l 的方程为 x（k1） 2，即 - 19 -所以直线 l 过定点（0，1） 证法二：由（1） ，得 P（1，1） 若 l 的斜率不存在，则 l 与 x 轴垂直设 A（x 1，y 1） ，则 B（x 1，y 1） ， 则 = = （x
30、 110，否则，x 1=1，则 A（1，1） ，或 B（1，1） ，直线 l 过点 P，与题设条件矛盾）由题意， ，所以 x1=0这时 A，B 两点重合，与题意不符所以 l 的斜率必存在设 l 的斜率为 k，显然 k0，设 l：y=kx+t，由直线 l 不过点 P（1，1） ，所以 k+t1由 消去 y 并整理得 k2x2+（2kt1）x+t 2=0由判别式=14kt0，得 设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，则 ， ，则= = 由题意， 故（k 21）x 1x2+（ktk+1） 将代入式并化简整理得 ，即 1t 2ktk=0即（1+t） （1t）k（t+1）=0，即（1+t）
31、 （1tk）=0又 k+t1，即 1tk0，所以 1+t=0，即 t=1所以 l：y=kx1显然 l 过定点（0，1） 证法三：由（1） ，得 P（1，1） - 20 -设 l：x=ny+t，由直线 l 不过点 P（1，1） ，所以 n+t1由 消去 x 并整理得 y2nyt=0由题意，判别式=n 2+4t0设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，则 y1+y2=n，y 1y2=t则 = = 由题意，y 1y2+（y 1+y2）+1=1，即 y1y2+（y 1+y2）=0将代入式得t+n=0，即 t=n所以 l：x=n（y+1） 显然 l 过定点（0，1） 21、 【解答】解：（1
32、）f（x）=3x 2+2bx+c，由已知条件得：，解得 b=3，c=d=0；f（x）=x 33x 2（2）由已知条件得：f（x）g（x）=0 在2，1上有两个不同的解；即 x33x 29xm+1=0 在区间2，1有两个不同的解；即 m=x33x 29x+1 在2，1上有两个不同解令 h（x）=x 33x 29x+1，h（x）=3x 26x9，x2，1；解 3x26x90 得：2x1；解 3x26x90 得：1x1；h（x） max=h（1）=6，又 f（2）=1，f（1）=10，h（x） min=10；m=h（x）在区间2，1上有两个不同的解，1m6实数 m 的取值范围是1，6） 22、 【解
33、答】解：（1）f（x）= +n，故 f（0）=nm，即 nm=3，又f（0）=m，故切点坐标是（0，m） ，切点在直线 y=3x+2 上，故 m=2，n=1；（2）f（x）= +x，f（x）= ，- 21 -当 m0 时，f（x）0，故函数 f（x）在（，1）递增，令 x0=a0，此时 f（x）0，符合题意，当 m0 时，即 0me 时，则函数 f（x）在（，lnm）递减，在（lnm，+）递增，当 lnm1 即 0me 时，则函数 f（x）在（，lnm）递减，在（lnm，1递增，f（x） min=f（lnm）=lnm+10，解得：0m ，当 lnm1 即 me 时，函数 f（x）在区间（，1）递减，则函数 f（x）在区间（，1）上的最小值是 f（1）= +10，解得：me，无解，综上，m ，即 m 的范围是（， ）
