1、1第 十 七 单 元 立 体 几 何 综 合注 意 事 项 ：1 答 题 前 ， 先 将 自 己 的 姓 名 、 准 考 证 号 填 写 在 试 题 卷 和 答 题 卡 上 ， 并 将 准 考 证 号 条 形 码粘 贴 在 答 题 卡 上 的 指 定 位 置 。2 选 择 题 的 作 答 ： 每 小 题 选 出 答 案 后 ， 用 2B 铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题 目 的 答 案 标 号 涂 黑 ，写 在 试 题 卷 、 草 稿 纸 和 答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。3 非 选 择 题 的 作 答 ： 用 签 字 笔 直 接 答 在 答 题 卡 上 对 应
2、的 答 题 区 域 内 。 写 在 试 题 卷 、 草 稿纸 和 答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。4 考 试 结 束 后 ， 请 将 本 试 题 卷 和 答 题 卡 一 并 上 交 。一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知不同直线 a， b， l，不同平面 ， ， ，则下列命题正确的是（ ）A若 l， l，则 B若 ， ，则 C若 ， b，则 D若 l， l，则 2某几何体的三视图如图所示（单位： cm），则该几何体的表面积是（ ）A 2245cmB 23cC 22045cmD 28c3设
3、 a， b为两条不同的直线， ， 为两个不同的平面，下列命题中，正确的是（ ）A若 ， ，则 ab B若 a ， b， ，则 C若 a， ，则 D若 ， ， ，则 4在正方形 1BDAC中， E为棱 C的中点，则（ ）A 1EB C 1AEBD 1AEC5如图， 1是直三棱柱， 90，点 、 1F分别是 B、 的中点，若1BCA，则 1BD与 AF所成角的余弦值是（ ）A 301B 12C 3015D 1506已知圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（ ）A B 34C 2D 47九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中提到了一种名为“刍甍
4、”的五面体（如图）面 CD为矩形，棱 EFA 若此几何体中， AB， 2EF， A 和 BCF 都是边长为 2 的等边三角形，则此几何体的表面积为（ ）A 83B 83C 623D 86238已知一个简单几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为（ ）A 36B 6C 312D129在三棱锥 SAC中， 41S， 5SBA， 34SAB，则三棱锥 SABC外接球的表面积为（ ）A 25B100 C 0D 50210某几何体的三视图如下图所示，该几何体的体积是（ ）2A2 B4 C6 D811在正四棱锥 PACD中，已知 0PB，若 P、 A、 B、 C、 都在球 O的表面上，则球 O的表面积
5、是四边形 面积的（ ）A2 倍 B 倍 C 2倍 D 2倍12如图，在棱长为 1 的正方体 1ADB中，点 E、 F是棱 BC、 1的中点， P是底面BCD上（含边界）一动点，满足 PEF，则线段 1AP长度的取值范围是（ ）A 51,2B 53,2C 1,3D 2,3二、填空题（本大题有 4 小题，每小题 5 分，共 20 分请把答案填在题中横线上）13若某几何体的三视图如图所示，其中左视图是一个边长为 2 的正三角形，则这个几何体的体积是_14在正方体 1ABCD中，点 E为正方形 ABCD的中心，则异面直线 1AE与 1BD所成角为_15在长方体 1中， 1， 2，点 E， F分别为 C
6、， 1的中点，点 G在棱 1A上，若 CG 平面 AEF，则四棱锥 GABCD的外接球的体积为_16如图，在梯形 ABCD中， B ， 90AC， :2:34DBCA， E、 F分别是 AB、CD的中点，将四边形 FE沿直线 进行翻折，给出四个结论： F； ； 平面 平面 F； 平面 F平面 在翻折过程中，可能成立的结论序号是_三、解答题（本大题有 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（10 分）如图，在三棱锥 ABCD中， A， BCD，平面 AB平面 CD，点 E，F(E与 A， D不重合)分别在棱 ， 上，且 EF求证：（1） 平面 ；（2） C18（12
7、分）如图，在四棱锥 PABCD中， ，且 90BAPCD（1）证明：平面 AB平面 ；（2）若 PD， 90，且四棱锥 的体积为 83，求该四棱锥的侧面积319（12 分）如图，在三棱柱 1ABC中， 1A平面 BC，底面三角形 ABC是边长为 2 的等边三角形， D为 的中点（1）求证： 1BC 平面 1；（2）若直线 A与平面 B所成的角为 30，求三棱柱 1ABC的体积20（12 分）如图，在四棱锥 PABCD中，侧面 PA底面 BCD，侧棱 2PA，底面ABCD为直角梯形，其中 ， ， 22， O为 中点（1）求证： PO平面 ；（2）求异面直线 B与 所成角的余弦值；（3）求点 A到
8、平面 CD的距离421（12 分）如图， ADBC 且 2， ADC， EGA 且 D， CFG 且2CDFG， 平面 ， （1）若 M为 的中点， N为 EG的中点，求证： MN 平面 ；（2）求二面角 EBF的正弦值；（3）若点 P在线段 D上，且直线 BP与平面 ADE所成的角为 60，求线段 DP的长22（12 分）如图，边长为 2 的正方形 ABCD所在的平面与半圆弧 ACD所在平面垂直， M是 ACD上异于 C， D的点（1）证明：平面 AM平面 ；（2）当三棱锥 BC体积最大时，求面 MAB与面 所成二面角的正弦值教育单元训练金卷高三数学卷答案（B）第 十 七 单 元 立 体 几
9、 何 综 合一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 【答案】D【解析】对于 A，若 al， bl，则 a， b平行、相交或异面均有可能，不正确；对于 B，若 ， ，则两个平面可能平行、相交，不正确；对于 C，若 ， b，则 或 b，不正确；对于 D，垂直于同一直线的两个平面平行，正确，故选 D2 【答案】C【解析】由题意，根据给定的几何体的三视图可知，该几何体下半部分表示一个边长为 2 的正方体，其对应的表面积为 21250cmS；上半部分表示一个底边边长为 2 的正方形，高为 2 的正四棱锥，所以其斜高为 h，其
10、正四棱锥的侧面积为 145cmSch ，所以几何体的表面积为 2120，故选 C3 【答案】C【解析】在 A 中，若 ， b ，则 a与 b相交、平行或异面，故 A 错误；在 B 中，可以举出反例，如图示，在正方体 1BCDA中，令 1AD为 a，面 BC为面 ， 1A为 b，面 1BCD为面 ，满足 a ， b， ，但是不成立，故 B 错误；在 C 中，因为 a ，所以由 a 可得，在平面 内存在一条直线 b，使得 ab ，因为 ，所以 b，所以 ，故 C 正确；在 D 中，若 a， ， a ，则由面面垂直的判定定理得 ，故 D 错误；故选 C4 【答案】C【解析】根据三垂线定理的逆定理，可
11、知平面内的线垂直于平面的斜线，则也垂直于斜线在平面内的射影，A若 1AEDC，那么 1EDC，很显然不成立；B若 1AEBD，那么 AE，显然不成立；C若 B，那么 1，成立，反过来 C时，也能推出 1C，所以 C 成立；D若 1，则 A，显然不成立，故选 C5 【答案】A【解析】取 B的中点 ，连结 1DF， ，则 1BDF ，据此可得 1DF（或其补角）即为所求，设 120CAm，则 5Am， 5， 16m，在 1 中应用余弦定理可得 130cosDFA故选A6 【答案】B【解析】绘制圆柱的轴截面如图所示，由题意可得： 1AC， 2B，结合勾股定理，底面半径213r，由圆柱的体积公式，可得
12、圆柱的体积是22314Vrh，故选 B7 【答案】B【解析】过 F作 O平面 ABCD，垂足为 O，取 BC的中点 P，连结 F，过 作 Q，垂足为 ，连结 Q ADE 和 都是边长为 2 的等边三角形， 1=12OPBF（ ） ， 3P， 1OBC ， 2， 2FQ3， 43EFBAEFDCS梯 形 梯 形 ，又 3C ， 428ABCDS矩 形 ，几何体的表面积 23S，故选 B8 【答案】A【解析】由三视图知，该几何体有四分之一圆锥与三棱锥构成，故体积为 21134346,4V，故选 A9 【答案】C【解析】对棱相等的三棱锥可以补为长方体（各个对面的面对角线），设长方体的长、宽、高分别是
13、 a， b， c，则有2415 3abc，三个式子相加整理可得 2250，所以长方体的对角线长为 2，所以其外接球的半径 R，所以其外接球的表面积 450SR，故选 C10 【答案】B【解析】则 12324V，故选 B11 【答案】D【解析】设正四棱锥的底面 ABCD的边长为 a，则四边形 ABCD的面积为 2a，从 P向 ABCD作 O平面 ，则垂足 O为底面 的中心，因为 60，所以侧面都是边长为 的等边三角形，a， 2a，则 2PBa，所以 OABCDOR，所以球的表面积 24SRa，所以2ABDSa，所以选 D12 【答案】D【解析】因为 C平面 1B， EF平面 1BC，所以 DEF
14、，又因为 1BC ，1B， EF所以可得 平面 A，当点 P在线段 C上时，总有 APEF，所以 AP的最大值为 1=3A， 1P的最小值为 12，可得线段 1A长度的取值范围是2,3，故选 D二、填空题（本大题有 4 小题，每小题 5 分，共 20 分请把答案填在题中横线上）13 【答案】 3【解析】该几何体为四棱锥，所以体积为 13=14 【答案】 2【解析】如图所示：连接 BD， AC，则 B， A的交点为 E，连接 1A，由正方体的性质易得 1ABD，又因为 1，所以 BD面 ，所以 1BDE，故 E，即异面直线 1E与 1所成角为 2，故答案为 215 【答案】 3【解析】当 G是
15、1A中点时，连接 GD交 AF于点 H，则 是 GD的中点，又因为 E别为 CD的中点，所以 CEH，从而根据线面平行的判定定理可得 C 平面 AF，所以四棱锥 GAB的外接球就是以 AB， D， G为棱的正方体的外接球，设外接球的半径为 R，则外接球直径等于正方体对角线长，所以 23R， 342VR，故答案为 3216 【答案】【解析】作出翻折后的大致图形，如图所示对于， ADBC ， 与 F相交，但不垂直， BC与 DF不垂直，故错误；对于，设点 在平面 上的射影为点 P，则翻折过程中， P点所在的直线平行于 BE，当BPF时，有 ，而 :2:34ADBC可使条件满足，故正确；对于，当点
16、落在 F上时， 平面 F，平面 B平面 FC，故正确；对于，点 的射线不可能在 上，不成立，故错误；综上所述，可能成立的结论序号是三、解答题（本大题有 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17 【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】证明：（1）在平面 ABD内，因为 AD， EF，所以 EFAB 又因为 EF平面 C， 平面 BC，所以 平面 C（2）因为平面 平面 ，平面 平面 D， 平面 D， CB，所以 B平面 A因为 平面 A，所以 A又 D， B， 平面 B， 平面 B，所以 平面 C，又因为 平面 C，所以 C18 【答案】（1）见解析；（2） 623
17、【解析】（1）由已知 90BAPD，得 ABP， D由于 ABCD ，故 ，从而 平面 又 平面 ，所以平面 平面 （2）在平面 PAD内作 E，垂足为 E由（1）知， B面 ，故 ABP，可得 平面 ABCD设 x，则由已知可得 2x， 2x故四棱锥 PACD的体积 3113PABCDVE由题设得 318x，故 2x从而 2， 2ADBC， 2PC四棱锥 B的侧面积为 11sin60319 【答案】（1）见解析；（2） 26【解析】（1）连接 1AC交 于 E点，连接 D因为 D， E分别为 B， 的中点，所以 1BC ，又 1BC平面 1， 平面 1，所以 平面 A（2）等边三角形 AC中
18、， DA， 1平面 ， 1，且 1B， CD平面 1B则 在平面 1的射影为 1DA，故 1A与平面 所成的角为 CA在 Rt 中， 1=30AD， 3，算得 1=3tan0C， 21=2，所以 1ABC的体积 12326ABCVS20 【答案】（1）见解析；（2） 63；（3） 【解析】（1）在 PD 中 ， O为 D中点，所以 POAD又侧面 A底面 BC，平面 A平面 BC ， 平面 ，所以 O平面 （2）连结 ，在直角梯形 中， ， 2ABC，有 且 ODBC，所以四边形 OBCD是平行四边形，所以 OBDC 由（1）知 P， 为锐角，所以 P是异面直线 PB与 CD所成的角因为 22
19、A，在 RtA 中， 1， A，所以 2O，在 RtO 中，因为 ， O，所以 ，在 tPB 中， 23PB， 26cos3BP，所以异面直线 与 CD所成的角的余弦值为 6（3）由（2）得 2OB，在 RtPOC 中， 2+OP，所以 P， 34PCDS又 1ADSB设点 A到平面 的距离 h，由 ACDPV得 1133CDPCDSOS ，即 1332h，解得 2321 【答案】（1）见解析；（2） 0；（3） 【解析】依题意，可以建立以 为原点，分别以 DA， C， G的方向为 x轴， y轴， z轴的正方向的空间直角坐标系（如图），可得 0,（ ） ， 2,0（ ） ， 1,20B（ ）
20、， ,C（ ） ， 2,0E（ ） ， ,12F（ ） ， 0,G（ ） ， 30,12M，12N（ ）（1）依题意 0,2DC（ ）， 2,0E（ ） 设 0()xyz， ，n为平面 的法向量，则 0 DCEn即 20 yxz不妨令 1，可得 01,（ ）n，又 31,MN，可得 0MNn，又因为直线 MN平面 CDE，所以 平面 C（2）依题意，可得 1,0BC（ ）， 1,2BE， 0,12CF（ ）设 xyz（ ， ， ）n为平面 的法向量，则 n即 xyz不妨令 1，可得 0,1（ ）n设 xyz（ ， ， ）m为平面 BCF的法向量，则 0 BCFm即 20xyz不妨令 1，可得
21、0,21（ ） 因此有 3cos， mn，于是 10sin， 所以，二面角 EBCF的正弦值为 10（3）设线段 DP的长为 ,2h ，则点 P的坐标为 0,h（ ） ，可得 1,2，易知， 0,（ ）为平面 ADGE的一个法向量，故 2cos 5BCPh ，由题意，可得 23sin605h，解得 30,2 所以线段 DP的长为 322 【答案】（1）见解析；（2） 25【解析】（1）由题设知，平面 CMD平面 AB，交线为 CD因为 BC， 平面ABCD，所以 平面 ，故 因为 M为 上异于 ， 的点，且 为直径，所以 M又 ，所以 D平面 BC而 D平面 A，故平面 AM平面 （2）以 为坐标原点， 的方向为 x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz当三棱锥 MABC体积最大时， M为 ACD的中点由题设得 0,D， 2,0， ,20B， ,， 0,1M，2,1， ,， ,设 ,xyzn是平面 MAB的法向量，则 0 ABn即 20 xyz可取 1,02， D是平面 C的法向量，因此 5cosDA,n， 25sin,DA，所以面 AB与面 所成二面角的正弦值是 25
