1、1第 4 讲 功能关系 能量守恒定律微知识 1 功能关系1功是能量转化的量度，即做了多少功就有多少能量发生了转化，而且能的转化必通过做功来实现。2几种常见力的功与能量转化的关系(1)重力做功：重力势能和其他能相互转化。(2)弹簧弹力做功：弹性势能和其他能相互转化。(3)滑动摩擦力做功：机械能转化为内能。(4)电场力做功：电势能与其他能相互转化。(5)安培力做功：电能和机械能相互转化。微知识 2 能量守恒定律1内容能量既不会消灭，也不会创生，它只能从一种形式转化为另一种形式，或者从一个物体转移到另一个物体，而在转化和转移的过程中，能量的总量保持不变。2应用能量守恒的两条基本思路(1)某种形式的能
2、减少，一定存在另一种形式的能增加，且减少量和增加量相等。(2)某个物体的能量减少，一定存在另一个物体的能量增加，且减少量和增加量相等。一、思维辨析(判断正误，正确的画“” ，错误的画“” 。)1做功过程一定有能量的转化。()2力对物体做多少功，物体就有多少能量。()3力对物体做功，物体的总能量一定增加。()4能量在转化和转移的过程中，总量会不断减少。()5滑动摩擦力做功时，一定会引起能量的转化。()二、对点微练1(对功能关系的理解)(多选)对于功和能，下列说法正确的是( )A功和能的单位相同，它们的概念也相同B做功的过程就是物体能量转化的过程C做了多少功，就有多少能量发生了转化D各种不同形式的
3、能可以互相转化，且在转化的过程中，能的总量是守恒的答案 BCD22(功能关系的应用)(多选)一人用力把质量为 m 的物体由静止竖直向上匀加速提升 h，速度增加为 v，则对此过程，下列说法正确的是( )A人对物体所做的功等于物体机械能的增量B物体所受合外力所做的功为 mv212C人对物体所做的功为 mghD人对物体所做的功为 mv212解析 由功能关系可知，人对物体所做的功等于物体机械能的增量，为 mgh mv2，选项12A 正确，C、D 项错误；由动能定理可知，物体所受合外力所做的功为 mv2，选项 B 正确。12答案 AB 3(能的转化和守恒定律)如图所示，一质量均匀的不可伸长的绳索重为 G
4、， A、 B 两端固定在天花板上，现在最低点 C 施加一竖直向下的力将绳索拉至 D 点，在此过程中绳索 AB 的重心位置将( )A逐渐升高 B逐渐降低C先降低后升高 D始终不变解析 由题意知外力对绳索做正功，机械能增加，重心升高，故选 A 项。答案 A 见学生用书 P080微考点 1 功能关系的理解和应用核|心|微|讲力学中常见的功能关系3典|例|微|探【例 1】 质量为 m 的物体，在距地面 h 高处以 g 的加速度由静止竖直下落到地面，下列13说法正确的是( )A物体重力势能减少 mgh23B重力对物体做功 mgh13C物体的机械能减少 mgh23D物体的动能增加 mgh23【解题导思】(
5、1)重力做功与重力势能变化具有何种关系？答：重力做功与重力势能的变化等值、符号相反。(2)哪些力做功引起动能的变化？如何求解机械能的变化？答：合外力的功与物体动能变化相等，除重力以外的其他力的功等于物体的机械能变化。解析 重力做功引起重力势能的变化， WG mgh Ep，物体重力做功 mgh，重力势能减少了 mgh，A、B 项错误；合外力做功引起动能的变化， W 合 h Ek，动能增加了mg3mgh，D 项错误；动能和重力势能之和等于机械能，重力势能减少了 mgh，动能增加了13mgh，故机械能减少了 mgh，C 项正确。13 23答案 C力对物体做功会引起能量形式的转化，并可用做功的多少去度
6、量能量转化的多少，所以找4准某个力做功与对应能量转化的关系是解决问题的关键。功能关系选用的原则：(1)若只涉及动能的变化用动能定理分析。(2)若只涉及重力势能的变化用重力做功与重力势能的变化关系分析。(3)若只涉及机械能变化用除重力和弹簧弹力之外的力做功与机械能变化的关系分析。(4)若只涉及电势能的变化用电场力做功与电势能变化的关系分析。题|组|微|练1轻质弹簧右端固定在墙上，左端与一质量 m0.5 kg 的物块相连，如图甲所示。弹簧处于原长状态，物块静止且与水平面间的动摩擦因数 0.2。以物块所在处为原点，水平向右为正方向建立 x 轴。现对物块施加水平向右的外力 F， F 随 x 轴坐标变化
7、的情况如图乙所示。物块运动至 x0.4 m 处时速度为零。则此时弹簧的弹性势能为( g 取 10 m/s2)( )A3.1 J B3.5 J C1.8 J D2.0 J解析 物块与水平面间的摩擦力为 f mg 1 N。现对物块施加水平向右的外力 F，由F x 图象面积表示功可知 F 做功 W3.5 J，克服摩擦力做功 Wf fx0.4 J。由功能关系可知， W Wf Ep，此时弹簧的弹性势能为 Ep3.1 J，A 项正确。答案 A 2(多选)如图所示，轻质弹簧一端固定，另一端与一质量为 m、套在粗糙竖直固定杆 A 处的圆环相连，弹簧水平且处于原长。圆环从 A 处由静止开始下滑，经过 B 处的速
8、度最大，到达 C 处的速度为零， AC h。圆环在 C 处获得一竖直向上的速度 v，恰好能回到 A。弹簧始终在弹性限度内，重力加速度为 g，则圆环( )A下滑过程中，加速度一直减小B下滑过程中，克服摩擦力做的功为 mv214C在 C 处，弹簧的弹性势能为 mv2 mgh14D上滑经过 B 的速度大于下滑经过 B 的速度5解析 圆环向下运动的过程，在 B 点速度最大，说明向下先加速后减速，加速度先向下减小，后向上增大，A 项错误；下滑过程和上滑过程克服摩擦做功相同，因此下滑过程Wf Ep mgh，上滑过程 Wf mgh mv2 Ep，因此克服摩擦做功 Wf mv2，B 项正确；在 C12 14处
9、： Ep mgh Wf mgh mv2，C 项错误；下滑从 A 到 B， mv E p W f mgh，上14 12 2B1滑从 B 到 A， mv E p mgh W f，得 mv mv 2 W f，可见 vB2 vB1，D 项正12 2B 12 2B 12 2B1确。答案 BD 微考点 2 功能关系和能量守恒定律的综合应用核|心|微|讲应用能量守恒定律的一般步骤：1分清有多少种形式的能(如动能、势能、内能、电能等)在变化。2分别列出减少的能量 E 减 和增加的能量 E 增 的表达式。3列恒等式： E 减 E 增 。典|例|微|探【例 2】 如图，质量为 M 的小车静止在光滑水平面上，小车
10、AB 段是半径为 R 的四分之一圆弧光滑轨道， BC 段是长为 L 的水平粗糙轨道，两段轨道相切于 B 点。一质量为 m 的滑块在小车上从 A 点由静止开始沿轨道滑下，重力加速度为 g。(1)若固定小车，求滑块运动过程中对小车的最大压力。(2)若不固定小车，滑块仍从 A 点由静止下滑，然后滑入 BC 轨道，最后从 C 点滑出小车。已知滑块质量 m ，在任一时刻滑块相对地面速度的水平分量是小车速度大小的 2 倍，滑M2块与轨道 BC 间的动摩擦因数为 ，求：滑块运动过程中，小车的最大速度大小 vm。滑块从 B 到 C 运动过程中，小车的位移大小 s。【解题导思】(1)小车固定，滑块从 A B 的
11、过程中，有哪些力对滑块做了功？答：只有重力做功。(2)小车不固定，滑块从 A B 的过程中，滑块重力势能的减少转化成什么形式的能？ B C过程，系统减少的机械能转化成什么形式的能？答： A B 的过程，滑块的重力势能转化为滑块和小车的动能； B C 过程，系统减少的机械6能转化为系统的内能。解析 (1)滑块滑到 B 点时对小车压力最大，从 A 到 B 机械能守恒 mgR mv ，12 2B滑块在 B 点处，由牛顿第二定律知N mg m ，v2BR解得 N3 mg，由牛顿第三定律知N N3 mg。(2)在任一时刻滑块相对地面速度的水平分量是小车速度的 2 倍。滑块下滑到达 B 点时，小车速度最大
12、。由机械能守恒mgR Mv m(2vm)2，12 2m 12解得 vm 。gR3设滑块运动到 C 点时，小车速度大小为 vC，由功能关系得mgR mgL Mv m(2vC)2，12 2C 12设滑块从 B 到 C 过程中，小车运动加速度大小为 a，由牛顿第二定律，有mg Ma，由运动学规律得v v 2 as，2C 2m解得 s L。13答案 (1)3 mg (2) LgR3 13题|组|微|练3. (多选)如图所示，一倾角为 的固定斜面下端固定一挡板，一劲度系数为 k 的轻弹簧下端固定在挡板上，现将一质量为 m 的小物块从斜面上离弹簧上端距离为 s 处，由静止释放，已知物块与斜面间的动摩擦因数
13、为 ，物块下滑过程中最大动能为 Ekm，则小物块从释放到运动至最低点的过程中，下列说法正确的是( )A mg cos ，解得 mg cos ，物块继续向下加速，动能仍在增大，所以此瞬间动能不是最大，当物块的合力为零时动能才最大，故 B 项错误；根据能量转化和守恒定律知，弹簧的最大弹性势能等于整个过程中物块减少的重力势能与产生的内能之差，而内能等于物块克服摩擦力做功，可得弹簧的最大弹性势能等于整个过程中物块减少的重力势能与摩擦力对物块做功之和，C 项正确；若将物块从离弹簧上端 2s 的斜面处由静止释放，下滑过程中物块动能最大的位置不变，弹性势能不变，设为 Ep，此位置弹簧的压缩量为 x。根据功能
14、关系可得：将物块从离弹簧上端 2s 的斜面处由静止释放，下滑过程中物块的最大动能为 Ekm mg sin mg cos Ep，(s x) (s x)将物块从离弹簧上端 2s 的斜面处由静止释放，下滑过程中物块的最大动能为 Ekm mgsin mg cos Ep，而(2s x) (2s x)2Ekm mg sin mg cos 2 Ep mg sin mg cos(2s 2x) (2s 2x) (2s x) (2s x) Ep( mgxsin mgx cos Ep) E km( mgxsin mgx cos Ep)，由于在物块接触弹簧到动能最大的过程中，物块的重力势能转化为内能和物块的动能，则根
15、据功能关系可得 mgxsin mgx cos Ep，即 mgxsin mgx cos Ep0，所以得E km2Ekm，故 D 项正确。答案 ACD 4如图所示，静止在光滑水平面上的长木板 B，质量 M2 kg，长 l14.5 m，与 B 等高的固定平台 CD 长 l23 m，平台右侧有一竖直放置且半径 R1 m 的光滑半圆轨道 DEF。质量 m1 kg 的小滑块 A 以初速度 v06 m/s 从 B 的左端水平滑上 B，随后 A、 B 向右运动，长木板 B 与平台 CD 碰撞前的瞬间，小滑块 A 的速度大小为 vA4 m/s，此时 A、 B 还未达到共同速度。设长木板 B 与平台碰撞后立即被锁
16、定，小滑块 A 可视为质点，小滑块 A 与平台 B 之间的动摩擦因数 10.2，小滑块 A 与平台 CD 之间的动摩擦因数 20.1， x0.5 m， g10 m/s 2，求：(1)长木板 B 与平台碰撞前的瞬间， B 的速度大小。(2)小滑块 A 最终停在离木板 B 左端多远处。解析 (1) B 与平台 CD 碰撞时， A、 B 还未达到共同速度。设 B 与平台碰撞前瞬间速度大小为 vB，由动能定理有 1mgx Mv ，12 2B解得 vB1 m/s。8(2)B 与平台碰撞前 A 相对 B 发生的位移为 x，根据能量守恒定律有 1mg x mv mv mv ，12 20 12 2A 12 2
17、B解得 x4.5 m，即 B 与平台碰撞时， A 恰好到达平台左端。设 A 在半圆形轨道上能到达的最大高度为 h，则由动能定理有 mgh 2mgl20 mv ，12 2A解得 h0.5 m R，故 m 到达最高点后沿半圆形轨道返回。设 A 向左到达 C 点时速度为 vC，有 mgh 2mgl2 mv ，12 2C解得 vC2 m/s。A 过 C 之后在 B 上运动的距离为 l，有 1mgl0 mv ，12 2C解得 l1 m，即 A 最终停在离 B 木板左端 3.5 m 处。答案 (1)1 m/s (2)3.5 m见学生用书 P082与摩擦生热相关的两个物理模型素能培养1两个模型(1)滑块木板
18、模型。(2)传送带模型。2两种摩擦力的做功情况比较93.求解相对滑动物体的能量问题的方法(1)正确分析物体的运动过程，做好受力情况分析。(2)利用运动学公式，结合牛顿第二定律分析物体的速度关系及位移关系。(3)公式 Q fl 相对 中 l 相对 为两接触物体间的相对位移，若物体在传送带上做往复运动时，则 l 相对 为总的相对路程。经典考题 如图所示， AB 为半径 R0.8 m 的 光滑圆弧轨道，下端 B 恰与小车右端平滑对接。小车质14量 M3 kg，车长 L2.06 m，车上表面距地面的高度 h0.2 m，现有一质量 m1 kg 的滑块，由轨道顶端无初速度释放，滑到 B 端后冲上小车。已知
19、地面光滑，滑块与小车上表面间的动摩擦因数 0.3，当车运动了 t01.5 s 时，车被地面装置锁定( g 取 10 m/s2)。求：(1)滑块到达 B 端时，轨道对它支持力的大小。(2)车被锁定时，车右端距轨道 B 端的距离。(3)从车开始运动到被锁定的过程中，滑块与车上表面间由于摩擦而产生的内能大小。解析 (1)由机械能守恒定律和牛顿第二定律得10mgR mv ， NB mg m ，12 2B v2BR则 NB30 N。(2)设 m 滑上小车后经过时间 t1与小车同速，共同速度大小为 v对滑块有 mg ma1，v vB a1t1，对于小车有 mg Ma2，v a2t1，解得 v1 m/s，t
20、11 s，因 t1t0，故滑块与小车同速后，小车继续向左匀速行驶了 0.5 s，则小车右端距 B 端的距离为l 车 t1 v(t0 t1)，v2解得 l 车 1 m。(3)Q mgl 相对 mg ，(vB v2 t1 v2t1)解得 Q6 J。答案 (1)30 N (2)1 m (3)6 J对法对题1. (多选)如图所示，水平传送带由电动机带动，并始终保持以速度 v 匀速运动，现将质量为 m 的某物块由静止释放在传送带上的左端，过一会儿物块能保持与传送带相对静止，设物块与传送带间的动摩擦因数为 ，对于这一过程，下列说法正确的是( )A摩擦力对物块做的功为 0.5mv2B物块对传送带做功为 0.
21、5mv2C系统摩擦生热为 0.5mv2D电动机多做的功为 mv2解析 对物块运用动能定理，摩擦力做的功等于物块动能的增加，即 0.5mv2，故 A 项正确；传送带的位移是物块位移的两倍，所以物块对传送带做功的绝对值是摩擦力对物块做功的两倍，即为 mv2，故 B 项错误；电动机多做的功就是传送带克服摩擦力做的功，也为 mv2，故 D 项正确；系统摩擦生热等于摩擦力与相对位移的乘积，故 C 项正确。答案 ACD 2. (多选)如图所示，质量为 M、长为 L 的木板置于光滑的水平面上，一质量为 m 的滑块放置在木板左端，滑块与木板间滑动摩擦力大小为 f，用水平的恒定拉力 F 作用于滑块。当滑块运动到
22、木板右端时，木板在地面上移动的距离为 x，滑块速度为 v1，木板速度为 v2，11下列结论正确的是( )A上述过程中， F 做功大小为 mv Mv12 21 12 2B其他条件不变的情况下， M 越大， x 越小C其他条件不变的情况下， F 越大，滑块到达右端所用时间越长D其他条件不变的情况下， f 越大，滑块与木板间产生的热量越多解析 由功能原理可知，上述过程中， F 做功大小为二者动能与产生的热量之和，选项 A错误；其他条件不变的情况下， M 越大， M 的加速度越小， x 越小，选项 B 正确；其他条件不变的情况下， F 越大，滑块的加速度越大，滑块到达右端所用时间越短，选项 C 错误；
23、其他条件不变的情况下，滑块与木板间产生的热量等于滑动摩擦力与相对位移的乘积， f越大，滑块与木板间产生的热量越多，选项 D 正确。答案 BD 见学生用书 P0821篮球运动员的定点跳投动作可分解如下：静止在地面上的运动员先屈腿下蹲，然后突然蹬地，重心上升双脚离开地面，离地后重心继续上升，到达最高点后投出篮球。已知某运动员的质量为 m，双脚离开地面时的速度为 v，从下蹲到最高点的过程中重心上升的高度为h，下列说法正确的是( )A从下蹲到离开地面，地面对运动员做的功为 mghB从下蹲到离开地面，地面对运动员做的功为零C从下蹲到离开地面，运动员的机械能增加了 mgh mv212D从下蹲到最高点，运动
24、员先超重后失重解析 地面对运动员的力的作用点没有位移，故地面对运动员的力不做功，运动员的机械能来自运动员自身的化学能，选项 A 错误，选项 B 正确；从下蹲到离开地面，运动员的机械能增加了 mgh，选项 C 错误；运动员下蹲时，重心下移，处于失重状态；突然蹬地，所受合外力向上，加速度向上，处于超重状态，双脚离开地面后，只受重力，加速度向下，处于完全失重状态，选项 D 错误。答案 B 2滑板是现在非常流行的一种运动，如图所示，一滑板运动员以 7 m/s 的初速度从曲面的 A 点下滑，运动到 B 点的速度仍为 7 m/s，若他以 6 m/s 的初速度仍由 A 点下滑，则他运动到 B 点时的速度(
25、)12A大于 6 m/s B等于 6 m/sC小于 6 m/s D条件不足，无法计算解析 当初速度为 7 m/s 时，由功能关系知，运动员克服摩擦力做的功等于减少的重力势能。运动员做曲线运动可看成圆周运动，当初速度变为 6 m/s 时，所需的向心力变小，因而运动员对轨道的压力变小，由 f N 知运动员所受的摩擦力减小，故从 A 到 B 过程中克服摩擦力做的功减少，而重力势能变化量不变，故运动员在 B 点的动能大于他在 A 点的动能，A 项正确。答案 A 3.如图所示，质量均为 m，半径均为 R 的两个完全相同的小球 A、 B，在水平轨道上以某一初速度向右冲上倾角为 的倾斜轨道，两轨道通过一小段
26、圆弧平滑连接。若两小球运动过程中始终接触，不计摩擦阻力及弯道处的能量损失，在倾斜轨道上运动到最高点时两球机械能的差值为( )A0 B mgRsinC2 mgRsin D2 mgR解析 两球运动到最高点时速度相等，动能相等，则两球机械能的差值等于重力势能的差值，为 E mg2Rsin 2 mgRsin ，故 C 项正确。答案 C 4(多选)如图所示，甲、乙两传送带，倾斜于水平地面放置，传送带上表面以同样恒定速率 v 向上运动。现将一质量为 m 的小物体(视为质点)轻轻放在 A 处，小物体在甲传送带上到达 B 处时恰好达到传送带的速率 v；小物体在乙传送带上到达离 B 竖直高度为 h 的 C 处时
27、达到传送带的速率 v。已知 B 处离 A 处的竖直高度皆为 H。则在小物体从 A 到 B 的过程中( )A两种传送带对小物体做功相等13B将小物体传送到 B 处，两种传送带消耗的电能相等C两种传送带与小物体之间的动摩擦因数不同D将小物体传送到 B 处，两种系统产生的热量相等解析 对小物体，从 A 到 B 由动能定理有 W mgH mv2，则 A 项正确；小物体在匀加速过12程中，由 a ，因位移 x 不同，则加速度不同，根据牛顿第二定律，动摩擦因数不同，v22x则 C 项正确；系统产生的热量 Q mgx相 cos mg cos ，因动摩擦因数不同， Q 不同，v22 gcos gsin mv22 2tan则 D 项错误；将小物体传送到 B 处，传送带消耗的电能 E W Q，可见 E 也不同，则 B 项错误。答案 AC
