1、14.3 空间直角坐标系课时作业A 组 基础巩固1给出下列说法：(1)在空间直角坐标系中，在 x 轴上的点的坐标一定是(0， b， c)；(2)在空间直角坐标系中，在 yOz 平面上的点的坐标一定可以写成(0， b， c)；(3)在空间直角坐标系中，在 z 轴上的点的坐标可记作(0,0， c)；(4)在空间直角坐标系中，在 xOz 轴上的点的坐标可记作( a,0， c)其中正确的有( )A1 个 B2 个 C3 个 D4 个解析：由空间直角坐标系的概念可知，(1)错，(2)(3)(4)正确答案：C2点 M(2,1,2)在 x 轴上的射影的坐标为( )A(2,0,2) B(2,0,0)C(0,
2、1,2) D(2,1,0)解析：点 M(2,1,2)在 x 轴上的射影的坐标为(2,0,0)答案：B3在空间直角坐标系中，点 P(1,2,3)关于 x 轴对称的点的坐标是( )A(1,2,3) B(1，2，3)C(1，2,3) D(1,2，3)解析：点关于 x 轴对称，横坐标不变，其他符号相反答案：B4若点 P(x,2,1)到 M(1,1,2)， N(2,1,1)的距离相等，则 x( )A. B1 C. D212 32解析：由空间两点间距离公式可得 x 1 2 2 1 2 1 2 2，解得 x1. x 2 2 2 1 2 1 1 2答案：B5以正方体 ABCDA1B1C1D1的棱 AB， AD
3、， AA1所在的直线为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系，且正方体的棱长为 1，则棱 CC1的中点的坐标为( )A. B.(12， 1， 1) (1， 12， 1)C. D.(1， 1，12) (12， 12， 1)解析：画出图形(图略)即知 CC1的中点的坐标为 .(1， 1，12)2答案：C6已知 A(1,2,1)， B(2,2,2)若点 P 在 z 轴上，且| PA| PB|，则点 P 的坐标为_解析：设点 P(0,0， z)，由已知得 ，解得12 22 1 z 2 22 22 2 z 2z3，故点 P 的坐标为(0,0,3)答案：(0,0,3)7以原点为球心，以 5 为半径
4、的球面上的动点 P 的坐标为 P(x， y， z)，则 x， y， z 满足关系式_解析：由空间两点间距离公式可得 x2 y2 z225.答案： x2 y2 z2258如图是一个正方体截下的一角 PABC，其中| PA| a，| PB| b，| PC| c.建立如图所示的空间直角坐标系，则 ABC 的重心 G 的坐标是_解析：由题知， A(a,0,0)， B(0， b,0)， C(0,0， c)，由重心坐标公式得 G 的坐标为.(a3， b3， c3)答案： (a3， b3， c3)9.如图所示，正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 a.(1)求 B1关于平面 xOy 对称的点的坐标；(2
5、)求 B1关于 z 轴对称的点的坐标；(3)求 B1关于原点对称的点的坐标解析：正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 a，易求得点 B1的坐标为( a， a， a)(1)B1关于平面 xOy 对称的点的坐标为( a， a， a)；(2)B1关于 z 轴对称的点的坐标为( a， a， a)；(3)B1关于原点对称的点的坐标为( a， a， a)10已知点 A(0,1,0)、 B(1,0，1)、 C(2,1,1)，若点 P(x,0， z)满足PA AB， PA AC，试求点 P 的坐标解析： PA AB， PAB 为直角三角形，| PB|2| PA|2| AB|2，3即( x1) 2( z1)
6、 2 x21 z2111，即 x z1. 又 PA AC， PAC 为直角三角形，| PC|2| PA|2| AC|2，即( x2) 21( z1) 2 x21 z2401，即 2x z0. 由得Error!点 P 的坐标为 P(1,0,2)B 组 能力提升1在 yOz 平面上求与点 A(3,1,2)， B(4，2，2)， C(0,5,1)等距离的点 P 的坐标为( )A(1,0，2) B(0,1，2)C(2,1,0) D(0，2,1)解析：设 P(0， y， z)，由题意Error!所以Error!即Error! 解得Error!所以点 P 的坐标为(0,1，2)答案：B2一束光线自点 P(
7、1,1,1)关于 xOy 平面反射到达点 Q(3,3,6)被吸收，那么光线所走的路程是( )A. B. C. D. 37 47 33 57解析： P(1,1,1)关于 xOy 平面的对称点为 P(1,1，1)，| P Q| . 3 1 2 3 1 2 6 1 2 57答案：D3.如图，三棱锥 ABCD 中， AB底面 BCD， BC CD，且AB BC1， CD2，点 E 为 CD 的中点，则 AE 的长为( )A. B.2 3C2 D. 5解析：过点 C 作 CM AB，以 C 为坐标原点， CD 所在的直线为 x 轴，CB 所在的直线为 y 轴， CM 所在的直线为 z 轴建立空间直角坐标
8、系，则D(2,0,0)， E(1,0,0)， A(0,1,1)， AE .12 12 12 3答案：B4在空间直角坐标系中， xOy 平面内的直线 x y1 上的点 M 为_时， M 到点N(6,5,1)的距离最小，最小值为_解析：设点 M(x,1 x,0)，则4|MN| x 6 2 1 x 5 2 0 1 2 .2 x 1 2 51故当 x1 时，| MN|min ，对应的点 M1(1,0,0)51答案：(1,0,0) 515.如图所示，已知正四面体 ABCD 的棱长为 1， E， F 分别为棱 AB、 CD 的中点(1)建立适当的空间直角坐标系，写出顶点 A， B， C， D 的坐标(2)
9、求 EF 的长解析：(1)设底面正三角形 BCD 的中心为点 O，连接 AO， DO，延长 DO 交 BC于点 M，则 AO平面 BCD， M 是 BC 的中点，且 DM BC，过点 O 作 ON BC，交 CD 于点 N，则 ON DM，故以 O 为坐标原点， OM， ON， OA 所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，正四面体 ABCD 的棱长为 1， O 为底面 BCD 的中心 OD DM ， OM DM .23 23 1 14 33 13 36OA .AD2 DO21 39 63 A ， B ， C ，(0， 0，63) (36， 12， 0) (36
10、， 12， 0)D .(33， 0， 0)(2)由(1)及中点坐标公式得 E ，(312， 14， 66)F ，(312， 14， 0)| EF| .( 36)2 (12)2 ( 66)2 226.如图所示，以棱长为 1 的正方体的具有公共顶点的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系 Oxyz，点 P 在对角线 AB 上运动，点 Q 在棱 CD 上运动(1)当 P 是 AB 的中点，且 2|CQ| QD|时，求| PQ|的值；(2)当 Q 是棱 CD 的中点时，试求| PQ|的最小值及此时点 P 的坐标解析：(1)正方体的棱长为 1， P 是 AB 的中点， P .(12， 12， 12
11、)52| CQ| QD|，| CQ| ， Q .13 (0， 1， 13)由两点间的距离公式得|PQ| (12 0)2 (12 1)2 (12 13)2 .1936 196(2)如图所示，过点 P 作 PE OA 于点 E，则 PE 垂直于坐标平面 xOy.设点 P 的横坐标为 x，则由正方体的性质可得点 P 的纵坐标也为 x，由正方体的棱长为 1，得| AE| (1 x)2 ，|AE|AO| |PE|BO| PE| 1 x，2 1 x 12 P(x， x,1 x)又 Q ，(0， 1，12)| PQ| 0 x 2 1 x 2 ( 12 x)2 3x2 3x 54 .3(x 12)2 12当 x 时，| PQ|min ，点 P 的坐标为 ，即 P 为 AB 的中点时，| PQ|的值最小，12 22 (12， 12， 12)最小值为 .22
