1、1第 3 课时 数列的通项公式课时作业A 组 基础巩固1设数列 an中， a12， an1 an3，则数列 an的通项公式为( )A an3 n B an3 n1C an3 n1 D an3 n1答案：C2数列 an中，若 a11， an1 2 an3( n1)，则该数列的通项 an_.( )A2 n1 3 B2 n3C2 n3 D2 n1 3解析： an1 32( an3)，此数列是以 a13 为首项，2 为公比的等比数列，an3(13)2 n1 ，即 an2 n1 3.答案：A3设数列 an满足 a12 a22 2a32 n1 an (nN *)，则通项公式是( )n2A an B an1
2、2n 12n 1C an D an12n 12n 1解析：设|2 n1 an|的前 n 项和为 Tn，数列 an满足a12 a22 2a32 n1 an (nN *)， Tn ，2 n1 an Tn Tn1 ，n2 n2 n2 n 12 12 an ，经验证， n1 时也成立，122n 1 12n故 an .故选 C.12n答案：C4已知数列 an满足 a11，且 an an1 n(n2，且 nN *)，则数列 an的通项公式13 (13)为( )A an B an3nn 2 n 23nC an n2 D an( n2)3 n解析： an an1 n(n2，且 nN *) 1，13 (13)
3、an(13)n an 1(13)n 12即 bn ，则数列 bn为首项 b1 3 a13，公差为 1 的等差数列，an(13)na113所以 bn3( n1)1 n2，所以 an .n 23n答案：B5若数列 an的前 n 项和为 Sn，且 an2 Sn3，则 an的通项公式是_解析：由 an2 Sn3 得 an1 2 Sn1 3( n2)，两式相减得 an an1 2 an(n2)， an an1 (n2)， 1( n2)anan 1故 an是公比为1 的等比数列，令 n1 得 a12 a13， a13，故 an3(1) n1 .答案： an3(1) n16已知数列 an满足 a11， an
4、1 an2 n1( nN *)，则 an_.解析： a11， an1 an2 n1( nN *)， an( an an1 )( an1 an2 )( a2 a1) a1(2 n3)(2 n5)11 1 n22 n2. n 1 2n 3 12答案： n22 n27在数列 an中， a12， an3 an1 2( n2， nN *)，则通项 an_.解析：由 an3 an1 2，得 an13( an1 1)( n2) a12， a1130，数列an1是以 3 为首项，3 为公比的等比数列， an133 n1 3 n，即 an3 n1.答案： 3 n18已知数列 an满足 a12，( n1) an(
5、 n1) an1 (n2， nN *)，则 _，数a3a1列 an的通项公式为_解析：当 n2 时，由( n1) an( n1) an1 得 ，anan 1 n 1n 1故 .a3a1 a2a1 a3a2 13 24 16an a1 2 2a2a1 a3a2 a4a3 an 1an 2 anan 1 13 24 35 n 2n n 1n 1 12n n 1 .又 a12 满足上式，故 an (nN *)4n n 1 4n n 1答案： an (nN *)16 4n n 19已知数列 an满足： Sn1 an(nN *)，其中 Sn为数列 an的前 n 项和，求 an的通项3公式解析： Sn1
6、an， Sn1 1 an1 ，得 an1 an1 an， an1 an，( nN *)12又 n1 时， a11 a1， a1 .12 an ( )n1 ( )n(nN *)12 12 1210已知数列 an满足 a1 ， an1 an，求 an.23 nn 1解析：由题意知 an0，因为 an1 an，nn 1所以 ，an 1an nn 1故 an a1 .anan 1 an 1an 2 a2a1 n 1n n 2n 1 12 23 23nB 组 能力提升1已知数列 an满足 a1 ， a1 a2 an n2an，则 an为( )12A an B an1n n 1 1n n 1C an D
7、annn 1 n 1n 1解析： a1 a2 an n2an， a1 a2 an1 ( n1) 2an1 (n2， nN *)，得 an n2an( n1) 2an1 .即 (n2， nN *)anan 1 n 1n 1 .a2a1 a3a2 a4a3 anan 1 13 24 35 46 n 2n n 1n 1即 ，又 a1 ， an ，ana1 2n n 1 12 1n n 1当 n1 时， a1 成立，11 1 1 12 an (nN *)1n n 14答案：A2已知 an是首项为 1 的正项数列，且( n1) a na anan1 0，则 an的通项公式2n 1 2n为 an( )A.
8、 B( )n11n nn 1C. D( )n1n 1 nn 1解析：( n1) a na anan1 0.2n 1 2n( an1 an)(n1) an1 nan0. an0， an1 an0. ，即 an1 an.an 1an nn 1 nn 1 an an1 an2 a1 (n2)n 1n n 1n n 2n 1 n 1n n 2n 1 n 3n 2 23 12 1n当 n1 时， a1 也成立， an .1n 1n答案：A3对于数列 an，满足 a11， an1 an ，则 an_.1n 1 n解析： an1 an ，n 1 n( a2 a1)( a3 a2)( an an1 )( 1)
9、( )( )，即 an2 3 2 n n 1(n2)，将 n1 代入也成立， an .n n答案： n4设数列 an满足 a12 a23 a3 nan n(n1)( n2)( nN *)，则通项 an_.解析：数列 nan的前 n 项和为 a12 a23 a3 nan n(n1)( n2) 其前 n1 项和为 a12 a23 a3( n1) an1 ( n1) n(n1)，得 nan n(n1)( n2)( n1)3 n(n1)，即 an3 n3.当 n1 时也满足上式故 an3 n3.答案：3 n35已知数列 an满足 a11， an1 2 an1.(1)证明数列 an1是等比数列；(2)求
10、数列 an的通项公式解析：(1)证明：法一：因为 an1 2 an1，所以 an1 12( an1)由 a11，知 a110，从而 an10.5所以 2( nN *)an 1 1an 1所以数列 an1是等比数列法二：由 a11，知 a110，从而 an10. 2( nN *)，an 1 1an 1 2an 1 1an 1 2 an 1an 1 an1是等比数列(2)由(1)可知 an122 n1 2 n， an2 n1.6数列 an的前 n 项和为 Sn， a11， Sn1 4 an2( nN *)(1)设 bn an1 2 an，求证： bn是等比数列；(2)设 cn ，求证： cn是等比
11、数列an3n 1证明：(1)由 Sn1 4 an2 得 Sn4 an1 2， an1 Sn1 Sn(4 an2)(4 an1 2)4 an4 an1 (n2)，即 an1 2 an2( an2 an1 )， bn2 bn1 (n2， nN *)，又 b1 a22 a13， bn是以 3 为首项，2 为公比的等比数列(2)由(1)知 an1 2 an bn32 n1 ，于是有an2 1an1 32 n2 ，21an1 2 2an2 32 n2 ，22an2 2 3an3 32 n2 ，2n2 a22 n1 a132 n2 .将以上 n1 个等式叠加得an2 n1 a1( n1)32 n2 ， an3( n1)2 n2 2 n1 a1(3 n1)2 n2 (n2， nN *)，又 n1 时也满足此式， cn 2 n2 ，an3n 1 cn是等比数列，公比是 2.
