1、12.5.1-2.5.2 向量在物理中的应用举例课时作业A 组 基础巩固1在 ABC 中，已知 A(4,1)， B(7,5)， C(4,7)，则 BC 边的中线 AD 的长是( )A2 B.5525C3 D.5725解析： BC 的中点为 D ， ，所以| | .(32， 6) AD ( 52， 5) AD 525答案：B2一个人骑自行车的速度为 v1，风速为 v2，则逆风行驶的速度的大小为( )A v1 v2 B v1 v2C| v1| v2| D.v1v2解析：根据速度的合成可知答案：C3给出下面四个结论：若线段 AC AB BC，则 ；AC AB BC 若 ，则线段 AC AB BC；A
2、C AB BC 若向量 与 共线，则线段 AC AB BC；AB BC 若向量 与 反向共线，| | AB BC；AB BC AB BC 其中正确的结论有( )A0 个 B1 个C2 个 D3 个解析：结论正确，当 AC AB BC 时， B 点在线段 AC 上，这时 .结论不正确，AC AB BC A， B， C 三点不共线时，也有向量 ，而 AC AB BC.结论不正确AC AB BC 答案：B4若 O 是 ABC 所在平面内一点，且满足| | 2 |，则 ABC 的形状是( )OB OC OB OC OA A等腰三角形 B直角三角形C等腰直角三角形 D等边三角形2解析：因为| | | |
3、，| 2 | |，OB OC CB AB AC OB OC OA AB AC 所以| | |，AB AC AB AC 所以以 ， 为邻边的四边形为矩形，即 BAC90，所以 ABC 为直角三角形AB AC 答案：B5已知点 O， N， P 在 ABC 所在平面内，且| | | |， 0， ，则点 O， N， P 依次是OA OB OC NA NB NC PA PB PB PC PC PA ABC 的( )A重心、外心、垂心B重心、外心、内心C外心、重心、垂心D外心、重心、内心解析：| | | |，即点 O 到 A， B， C 三点的OA OB OC 距离相等，点 O 为 ABC 的外心如图，设
4、 D 为 BC 边的中点，则 2 .NB NC ND 0，NA NB NC 2 0， 2 ，NA ND NA DN A， D， N 三点共线，点 N 在 BC 边的中线上同理，点 N 也在 AB， AC 边的中线上，点 N 是 ABC 的重心 ，PA PB PB PC 0，PA PB PB PC ( )0，PB PA PC 0， .PB CA PB CA 同理， ， ，PA BC PC AB 点 P 为 ABC 的垂心答案：C36已知向量 a(6,2)， b ，过点 A(3，1)且与向量 a2 b 平行的直线 l 的方( 4，12)程为_解析：由题意得 a2 b(2,3)，则直线 l 的方程为
5、 3(x3)2( y1)0，即3x2 y70.答案：3 x2 y707 ABC 的外接圆的圆心为 O，半径为 1， ( )，且| | |，AO 12AB AC OA AB 则 _.BA BC 解析：设 BC 的中点是 D，如图所示，则 2 ，则 ，AB AC AD AD AO 所以 O 和 D 重合，所以 BC 是圆 O 的直径，所以 BAC90.又| | |，OA AB 则| |1，| |2，所以 ABC60，BA BC 所以 | | |cos 60BA BC BA BC 12 1.12答案：18一个物体在大小为 10N 的力 F 的作用下产生的位移 s 的大小为 50 m，且力 F 所做的
6、功W250 J，则 F 与 s 的夹角等于_2解析：设 F 与 s 的夹角为 ，由 W Fs，得 250 1050cos ，cos .222又 0， . 4答案： 49如图在正方形 ABCD 中， P 为对角线 AC 上任一点，PE AB， PF BC，垂足分别为 E， F，连接 DP， EF.求证： DP EF.证明：设正方形 ABCD 的边长为 1， AE a(0 a1)，则 EP AE a， PF EB1 a， AP a.2于是 ( )( )DP EF DA AP EP PF DA EP DA PF AP EP AP PF 41 acos 1801(1 a)cos 90 aacos 45
7、 a(1 a)cos 452 2 a a2 a(1 a)0.所以 ，DP EF 所以 DP EF.10已知力 F(斜向上)与水平方向的夹角为 30，大小为 50 N，一个质量为 8 kg 的木块受力 F 的作用在动摩擦因数 0.02 的水平面上运动了 20 m问力 F 和摩擦力 f 所做的功分别为多少？( g10 m/s 2)解析：如图所示，设木块的位移为 s，则WF Fs| F|s|cos 305020 500 (J)32 3将力 F 分解，它在铅垂方向上的分力 F1的大小为|F1| F|sin 3050 25(N)，12所以，摩擦力 f 的大小为|f| (G F1)|(8025)0.021
8、.1(N)，因此 Wf fs| f|s|cos 1801.120(1)22(J)即 F 和 f 所做的功分别为 500 J 和22 J.3B 组 能力提升1水平面上的物体受到力 F1， F2的作用， F1水平向右， F2与水平向右方向的夹角为 ，物体在运动过程中，力 F1与 F2的合力所做的功为 W，若物体一直沿水平地面运动，则力 F2对物体做功的大小为( )A. W B. W|F2|F1| |F2| |F2|cos |F1| |F2|C. W D. W|F2|F1|cos |F2| |F2|cos |F1| |F2|cos 解析：设物体的位移是 s，根据题意有(| F1| F2|cos )|
9、s| W，即| s| ，所以力 F2对物体做功的大小为 W.W|F1| |F2|cos |F2|cos |F1| |F2|cos 答案：D2设 P， Q 为 ABC 内的两点，且 ， ，则 ABP 的面积与 ABQAP 25AB 15AC AQ 23AB 14AC 的面积之比为( )A. B.15 455C. D.14 13解析：如图 1，过 P 作 PE AC 交 AB 于 E，过 P 作 PF AB，交 AC 于点 F，过 C 作 CD AB 于 D，由平面向量基本定理及 可知 ，| PE| AF|，AP 25AB 15AC AF 15AC 故 ，|PEAC| |AFAC| 15又因为 R
10、t ACDRt EPO，所以 ，|POCD| |PEAC| 15 ，S ABPS ABC12|AB|PO|12|AB|CD| 15如图 2，同理可证 ，S ABQS ABC12|AB|QG|12|AB|CH| |QGCH| 14所以 .S ABPS ABQ15S ABC14S ABC 45答案：B3已知向量 a(1,1)， b(1， a)其中 a 为实数， O 为原点，当此两向量夹角在 变(0，12)动时， a 的范围是_解析：已知 (1,1)，即 A(1,1)，如图所示，OA 当点 B 位于 B1和 B2时， a 与 b 夹角为 ，12即 AOB1 AOB2 ，12此时 B1Ox ， 4 1
11、2 66 B2Ox ， 4 12 3故 B1 ， B2(1， )，又 a 与 b 夹角不为 0，(1，33) 3故 a1，由图象可知 a 的范围是 (1， )(33， 1) 3答案： (1， )(33， 1) 34已知正方形 ABCD 的边长为 2，点 P 为对角线 AC 上一点，则( )( )的最大AP BD PB PD 值为_解析：如图所示，设 x ， a， b，AP AC AB AD 则 ab0， b a， x x(a b)，BD AP AC 其中 x0,1，所以 a x(a b)PB AB AP (1 x)a xb， b x(a b) xa(1 x)b，PD AD AP 所以( )(
12、) x(a b) b a(1 x)a xb xa(1 x)b( x1)AP BD PB PD a( x1) b(12 x)a(12 x)b16 x28 x16 21，(x14)由于 x0,1，则16 21 的最大值为 1.(x14)答案：15平面直角坐标系 xOy 中，已知向量 (6,1)，AB ( x， y)， (2，3)，且 .BC CD BC AD (1)求 x 与 y 间的关系(2)若 ，求 x 与 y 的值及四边形 ABCD 的面积AC BD 解析：(1)由题意得 ( x4， y2)， ( x， y)，AD AB BC CD BC 因为 ，所以( x4) y( y2) x0，BC A
13、D 即 x2 y0 (2)由题意得 ( x6， y1)，AC AB BC ( x2， y3)，BD BC CD 7因为 ，所以 0，AC BD AC BD 即( x6)( x2)( y1)( y3)0，即 x2 y24 x2 y150 由得Error!或Error!当Error! 时， (8,0)， (0，4)，AC BD 则 S 四边形 ABCD | | |16，12AC BD 当Error! 时， (0,4)， (8,0)，AC BD 则 S 四边形 ABCD | | |16，12AC BD 所以Error! 或Error!四边形 ABCD 的面积为 16.6如图，在直角三角形 ABC 中，已知 BC a，若长为 2a的线段 PQ 以 A 为中点，问 与 的夹角 取何值时，PQ BC 的值最大，并求出这个最大值BP CQ 解析：因为 ，AB AC 所以 0.AB AC 因为 ， ， ，AP AQ BP AP AB CQ AQ AC ( )( )BP CQ AP AB AQ AC AP AQ AP AC AB AQ AC AB a2 AP AC AB AP a2 ( )AP AB AC a2 12PQ BC a2 a2cos .故当 cos 1，即 0( 与 方向相同)时， 最大，其最大值为 0.PQ BC BP CQ
