1、13.3.1 几何概型课时作业A 组 学业水平达标1如图， A 是圆 O 上固定的一点，在圆上其他位置任取一点 A，连接 AA，它是一条弦，它的长度小于或等于半径长度的概率为( )A. B.12 32C. D.13 14解析：如图，当 AA的长度等于半径长度时， AOA ，由圆的 3对称性及几何概型得 P .故选 C.232 13答案：C2如图所示，以边长为 1 的正方形 ABCD 的一边 AB 为直径在其内部作一半圆若在正方形中任取一点 P，则点 P 恰好取自半圆部分的概率为( )A. B. 2 12C. D. 4 8解析：所求概率 P .故选 D.12 (12)211 8答案：D3已知地铁
2、列车每 10 min 一班，在车站停 1 min，则乘客到达站台立即乘上车的概率是( )A. B.110 19C. D.111 18解析：总的时间段长为 10 min，在车站停 1 min， P .110答案：A4已知点 P， Q 为圆 C： x2 y225 上的任意两点，且| PQ|6，若 PQ 中点组成的区域为M，在圆 C 内任取一点，则该点落在区域 M 上的概率为( )A. B.35 9252C. D.1625 25解析： PQ 中点组成的区域 M 如图阴影部分所示，那么在 C 内部任取一点落在 M 内的概率为 ，故选 B.25 1625 925答案：B5在区间0,2上随机地取一个数 x
3、，则事件“1 (x )1”12发生的概率为( )A. B.34 23C. D. 13 14解析：由1 (x )1 得， log (x )12 12 12 ， x 2,0 x ，所以由几何概型概率的计算公式得， P ，故选12 12 12 32 32 02 0 34A.答案：A6点 A 为周长等于 3 的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点 B，则劣弧 的长度小于 1 的概率为_解析：如图可设 与 的长度等于 1，则由几何概型可知其整体事件是其周长 3，则其概率是 .23答案：237广告法对插播广告时间有规定，某人对某台的电视节目作了长期的统计后得出结论，他任意时间打开电视机看该台节目，看不
4、到广告的概率约为 ，那么该台每小时约有910_分钟广告3解析：这是一个与时间长度有关的几何概型，这人看不到广告的概率为 ，则看到广告的910概率约为 ，故 60 6.110 110答案：68已知线段 AC16 cm，先截取 AB4 cm 作为长方体的高，再将线段 BC 任意分成两段作为长方体的长和宽，则长方体的体积超过 128 cm3的概率为_解析：依题意，设长方体的长为 x cm，则相应的宽为(12 x)cm，由 4x(12 x)128 得x212 x320,4 x8，因此所求的概率等于 .8 412 13答案：139一个路口的红灯亮的时间为 30 秒，黄灯亮的时间为 5 秒，绿灯亮的时间为
5、 40 秒，当你到达路口时，看见下列三种情况的概率各是多少？(1)红灯亮；(2)黄灯亮；(3)不是红灯亮解析：在 75 秒内，每一时刻到达路口亮灯的时间是等可能的，属于几何概型(1)P ；红 灯 亮 的 时 间全 部 时 间 3030 40 5 25(2)P ；黄 灯 亮 的 时 间全 部 时 间 575 115(3)P 不 是 红 灯 亮 的 时 间全 部 时 间 黄 灯 亮 或 绿 灯 亮 的 时 间全 部 时 间 .4575 3510在正方体 ABCDA1B1C1D1中，棱长为 1，在正方体内随机取一点 M，求使 MABCD 的体积小于 的概率16解析：设点 M 到面 ABCD 的距离为
6、 h，则 VMABCD S 底 ABCDh ，即 h .13 16 12所以只要点 M 到面 ABCD 的距离小于 时，即满足条件12所有满足点 M 到面 ABCD 的距离小于 的点组成以面 ABCD 为底，高为 的长方体，其体积为 .12 12 12又因为正方体体积为 1，所以使四棱锥 MABCD 的体积小于 的概率为 P .16 121 124B 组 应考能力提升1如图所示，在一个边长为 a， b(ab0)的矩形内画一个梯形，梯形上、下底长分别为 与 ，高为 b.向该矩形内随机地投一点，则所投的点落在a3 a2梯形内部的概率为( )A. B.112 14C. D.512 712解析：两“几
7、何度量”即为两面积，直接套用几何概型的概率公式 S 矩形 ab， S 梯形 (12a a)b ab，所以所投的点落在梯形内部的概率为 .13 12 512 S梯 形S矩 形 512abab 512答案：C2如图，矩形 ABCD 中，点 A 在 x 轴上，点 B 的坐标为(1,0)且点 C 与点 D 在函数 f(x)Error! 的图象上若在矩形 ABCD 内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率等于( )A. B.16 14C. D. 38 12解析：由已知得 B(1,0)， C(1,2)， D(2,2)， F(0,1)，则矩形 ABCD 的面积为 326，阴影部分的面积为 31 ，故该点取自阴
8、影部分的概率等于 .12 32 326 14答案：B3.如图，在圆心角为 90的扇形中，以圆心 O 为起点作射线 OC，则使得 AOC 和 BOC 都不小于 30的概率是_解析：将圆心角为 90的扇形等分成三部分：当射线 OC 位于中间一部分时，使得 AOC 和 BOC 都不小于 30，使得 AOC 和 BOC 都不小于 30的概率为：5P中间部分的圆心角大小整个扇形的圆心角的大小3090 ，故使得 AOC 和13 BOC 都不小于 30的概率为 .13答案：134如图所示，墙上挂着一块边长为 16 cm 的正方形木板，上面画了大、中、小三个同心圆，半径分别为 6 cm，4 cm，2 cm.某
9、人站在 3 m 之外向此板投镖，设投镖击中线上或没有击中木板时都不算，可重投，问：(1)投中大圆内的概率是多少？(2)投中小圆与中圆形成的圆环的概率是多少？(3)投中大圆之外的概率是多少？解析：整个正方形木板的面积，即基本事件所占的区域总面积 D1616256(cm 2)设“投中大圆内”为事件 A， “投中小圆与中圆形成的圆环”为事件 B， “投中大圆之外”为事件 C，则事件 A 所占区域面积为 dA6 236(cm 2)；事件 B 所占区域面积为dB4 22 216412(cm 2)；事件 C 所占区域面积为dC D dA(25636)(cm 2)由几何概型的概率公式，得(1)P(A) ，d
10、AD 36256 964即投中大圆内的概率为 .964(2)P(B) ，dBD 12256 364即投中小圆与中圆形成的圆环的概率为 .364(3)P(C) 1 ，dCD 256 36256 964即投中大圆之外的概率为 1 .9645.设关于 x 的一元二次方程 x22 ax b20.(1)若 a 是从 0,1,2,3 四个数中任取的一个数， b 是从 0,1,2 三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；(2)若 a 是从区间0,3内任取的一个数， b 是从区间0,2内任取的一个数，求上述方程有6实根的概率解析：设事件 A 为“方程 x22 ax b20 有实根” ，当 a0， b0 时，此方程有实根的条件是(2 a)24 b20，即 a b.(1)基本事件共有 12 个，分别是(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3，1)，(3,2)，其中括号内第一个数表示 a 的取值，第二个数表示 b 的取值事件 A 中包含 9 个基本事件，故事件 A 发生的概率为 P(A) .912 34(2)试验的全部结果所构成的区域为( a， b)|0 a3,0 b2，而构成事件 A 的区域为( a， b)|0 a3,0 b2， a b，即如图所示的阴影部分，所以 P(A) .32 122232 23
