各地2018年度中考数学试卷精选汇编 全等三角形（含解析）.pdf

1、全等三角形 一、选择题 1 （ 2018四川成都 3分） 如图，已知 ，添加以下条件，不能判定 的是（ ） A. B. C. D. 【答案】 C 【考点】三角形全等 的判定 【解析】【解答】解： A、 A= D， ABC= DCB， BC=CB ABC DCB，因此 A 不符合题意； B、 AB=DC， ABC= DCB， BC=CB ABC DCB，因此 B不符合题意； C、 ABC= DCB， AC=DB， BC=CB，不能判断 ABC DCB，因此 C符合题意； D、 AB=DC， ABC= DCB， BC=CB ABC DCB，因此 D不符合题意； 故答案为： C 【分析】根据全等三角

2、形的判定定理及图中的隐含条件，对各选项逐一判断即可。 2 （ 2018年江苏省南京市 2 分）如图， AB CD，且 AB=CD E、 F是 AD 上两点， CE AD， BF AD若 CE=a， BF=b， EF=c，则 AD的长为（ ） A a+c B b+c C a b+c D a+b c 【分析】只要证明 ABF CDE，可得 AF=CE=a， BF=DE=b，推出 AD=AF+DF=a+（ b c） =a+b c； 【解答】解： AB CD， CE AD， BF AD， AFB= CED=90 ， A+ D=90 ， C+ D=90 ， A= C， AB=CD， ABF CDE， A

3、F=CE=a， BF=DE=b， EF=c， AD=AF+DF=a+（ b c） =a+b c， 故选： D 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型 3 （ 2018 山东临沂 3 分 ）如图， ACB=90 ， AC=BC AD CE， BE CE，垂足分别是点 D、 E， AD=3， BE=1，则 DE的长是（ ） A B 2 C 2 D 【分析】根据条件可以得出 E= ADC=90 ，进而得出 CEB ADC，就可以得 出 BE=DC，就可以求出 DE的值 【解答】解： BE CE， AD CE， E= ADC=90 ， EBC+

4、 BCE=90 BCE+ ACD=90 ， EBC= DCA 在 CEB和 ADC中， ， CEB ADC（ AAS）， BE=DC=1， CE=AD=3 DE=EC CD=3 1=2 故选： B 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键，学会正确寻找全等三角形，属于中考常考题型 4 （ 2018台湾 分）如图，五边形 ABCDE中有一正三角形 ACD，若 AB=DE， BC=AE， E=115 ，则 BAE的度数为何？（ ） A 115 B 120 C 125 D 130 【分析】 根据全等三角形的判定和性质得出 ABC与 AED全等，进而得出

5、B= E，利用多边形的内角和解 答即可 【解答】 解： 正三角形 ACD， AC=AD， ACD= ADC= CAD=60 ， AB=DE， BC=AE， ABC AED， B= E=115 ， ACB= EAD， BAC= ADE， ACB+ BAC= BAC+ DAE=180 115=65 ， BAE= BAC+ DAE+ CAD=65 +60=125 ， 故选： C 【点评】 此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据全等三角形的判定和性质得出 ABC与 AED全等 5. （ 2018广西桂林 3分 ） 如图， 在正方形 ABCD中， AB=3，点 M在 CD的边上，且 DM=1， AE

6、M与 ADM关于 AM所在的直线对称，将 ADM按顺时针方向绕点 A旋转 90 得到 ABF，连接 EF，则线段 EF的长为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】 C 【解析】分析：连接 BM.证明 AFE AMB得 FE=MB，再运用勾股定理求出 BM 的长即可 . 详解：连接 BM，如图， 由旋转的性质得： AM=AF. 四边形 ABCD是正方形， AD=AB=BC=CD， BAD= C=90, AEM与 ADM关于 AM所在的直线对称， DAM= EAM. DAM+ BAM= FAE+ EAM=90, BAM= EAF, AFE AMB FE=BM. 在 Rt BCM中， BC=3

7、， CM=CD-DM=3-1=2, BM= FE= . 故选 C. 点睛：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等也考查了正方形的性质 6.(2018四川省眉山市 2分 ) 如图，在 ABCD中， CD=2AD， BE AD于点 E， F为 DC的中点，连结 EF、 BF，下列结论： ABC=2 ABF； EF=BF； S 四边形 DEBC=2S EFB； CFE=3 DEF,其中正确结论的个数共有（ ）。 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】 D 【考点】 全等三角形的判定与性质，等腰三角形 的性质，

8、直角三角形斜边上的中线，平行四边形的性质 【解析】 【解答】解： 四边形 ABCD是平行四边形， AB CD， AD=BC， AD BC, CFB= ABF， 又 CD=2AD， F为 CD 中点， CF=DF=AD=BC， CFB= CBF， ABF= CBF， BF平分 ABC， ABC=2 ABF， 故 正确 . 延长 EF交 BC于点 G， AD BC, D= FCG, 在 DEF和 CGF中， , DEF CGF（ ASA）， EF=FG， 又 BE AD， AD BC, AEB= EBC=90 ， BEG为直角三角形， 又 F为 EG 中点， EF=BF， 故 正确 . 由 知 D

9、EF CGF， S DEF=S CGF ， S 四 DEBC=S BEG ， 又 F为 EG 中点， S BEF=S BGF ， S BEG=2S BEF ， 即 S 四 DEBC=2S BEF ， 故 正确 . 设 FEB=x， 由 知 EF=BF, FBE= FEB=x， BFE=180 -2x， 又 BED= AED= EBC=90 ， DEF= CBF=90 -x， CF=BC, CFB= CBF=90 -x， 故 正确 . 故答案为 :D. 【分析】 根据平行四边形的性质得 AB CD， AD=BC， AD BC,根据平行线的性质得 CFB= ABF，由中点定义结合已知条件得 CF=

10、DF=AD=BC，根据等边对等角得 CFB= CBF，等量代换即可得 ABF= CBF，从而得 正确 . 延长 EF交 BC于点 G，根据平行线的性质得 D= FCG,根据全等三角形的判定 ASA得 DEF CGF，再由全等三角形的性质得 EF=FG，根据平行线的性质和垂直定义得 AEB=EBC=90 ，故 BEG为直角三角形，根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半即知 正确 . 由 知 DEF CGF，根据全等三角形的定义得 S DEF=S CGF ， S 四 DEBC=S BEG ， 又 F 为EG中点得 S BEF=S BGF ， 故 S BEG=2S BEF ， 即 S 四 D

11、EBC=2S BEF ， 得 正确 . 设 FEB=x，由 知 EF=BF,根据等 边对等角得 FBE= FEB=x，由三角形内角和得 BFE=180 -2x，根据三角形内角和和等边对等角得 CFB= CBF=90 -x，由 CFE= CFB+ BFE，代入数值化简即可得 正确 . 二 .填空题 1. （ 2018广东广州 3 分 ）如图 9， CE 是平行四边形 ABCD 的边 AB 的垂直平分线，垂足为点 O， CE 与 DA 的延长线交于点 E，连接 AC， BE， DO， DO 与 AC 交于点 F，则下列结论：四边形 ACBE是菱形； ACD= BAE AF： BE=2： 3 其中正

12、确的结论有 _。（填写所有正确结论的序号） 【答案】 【考点】 三角形的面积，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质 【解析】 【解答】解： CE是平行四边形 ABCD的边 AB的垂直平分线， AO=BO, AOE=BOC=90,BC AE， AE=BE， CA=CB， OAE= OBC， AOE BOC（ ASA）， AE=BC， AE=BE=CA=CB， 四边形 ACBE是菱形， 故正确 . 由四边形 ACBE是菱形， AB平分 CAE， CAO= BAE， 又 四边形 ABCD是平行四边形， BA CD， CAO= ACD， ACD= BA

13、E. 故正确 . CE 垂直平分线 AB， O为 AB中点， 又 四边形 ABCD是平行四边形， BA CD， AO= AB= CD， AFO CFD， = ， AF:AC=1:3, AC=BE， AF:BE=1:3, 故错误 . CDOC, 由知 AF:AC=1:3, , = CDOC= , = + = = , 故正确 . 故答案为： . 【分析】根据平行四边形和垂直平分线的性质得 AO=BO, AOE= BOC=90,BC AE，AE=BE， CA=CB，根据 ASA得 AOE BOC，由全等三角形性质得 AE=CB，根据四边相等的四边形是菱形得出正确 . 由菱形性质得 CAO= BAE，

14、根据平行四边形的性质得 BA CD，再由平行线的性质得 CAO= ACD，等量代换得 ACD= BAE；故正确 . 根据平行四边形和垂直平分线的性质得 BA CD， AO= AB= CD，从而得 AFO CFD，由相似三角形性质得 = ，从而得出 AF:AC=1:3,即 AF:BE=1:3,故错误 . 由 三 角 形 面 积 公 式 得 CDOC, 从知 AF:AC=1:3, 所以= + = = ,从而得出 故正确 . 2. （ 2018广东深圳 3分 ） 如图，四边形 ACFD是正方形， CEA和 ABF都是直角且点 E、A、 B三点共线， AB=4，则阴影部分的面积是 _ 【答案】 8 【

15、考点】全等三角形的判定与性质，正方形的性质 【解析】【解答】解： 四边形 ACFD是正方形， CAF=90 ， AC=AF， CAE+ FAB=90 ， 又 CEA和 ABF都是直角， CAE+ ACE=90 ， ACE= FAB， 在 ACE和 FAB中， , ACE FAB（ AAS）， AB=4， CE=AB=4， S 阴影 =S ABC= ABCE= 44=8. 故答案为： 8. 【分析】根据正方形的性质得 CAF=90 ， AC=AF，再根据三角形内角和和同角的余角相等得 ACE= FAB，由全等三角形的判定 AAS得 ACE FAB，由全等三角形的性质得 CE=AB=4，根据三角形

16、的面积公式即可得阴影部分的面积 . 3. （ 2018 四川 宜宾 3 分）如图，在矩形 ABCD 中， AB=3， CB=2，点 E 为线段 AB 上的动点，将 CBE 沿 CE 折叠，使点 B 落在矩形内点 F 处，下列结论正确的是 （写出所有正确结论的序号） 当 E为线段 AB 中点时， AF CE； 当 E为线段 AB 中点时， AF= ； 当 A、 F、 C三点共线时， AE= ； 当 A、 F、 C三点共线时， CEF AEF 【考点】 PB：翻折变换（折叠问题）； KB：全等三角形的判定； LB：矩形的性质 【分析】 分两种情形分别求解即可解决问题； 【解答】 解：如图 1中，当

17、 AE=EB时， AE=EB=EF， EAF= EFA， CEF= CEB， BEF= EAF+ EFA， BEC= EAF， AF EC，故 正确， 作 EM AF，则 AM=FM， 在 Rt ECB中， EC= = ， AME= B=90 ， EAM= CEB， CEB EAM， = ， = ， AM= ， AF=2AM= ，故 正确， 如图 2中，当 A、 F、 C 共线时，设 AE=x 则 EB=EF=3 x， AF= 2， 在 Rt AEF中， AE2=AF2+EF2， x2=（ 2） 2+（ 3 x） 2， x= ， AE= ，故 正确， 如果， CEF AEF，则 EAF= EC

18、F= ECB=30 ，显然不符合题意，故 错误， 故答案为 【点评】 本题考查翻折变换、全等三角形的性质、勾股定理、矩形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决 问题，属于中考填空题中的压轴题 4.（ 2018 浙江 衢州 4 分）如图，在 ABC和 DEF中，点 B， F， C， E在同一直线上， BF=CE，AB DE，请添加一个条件，使 ABC DEF，这个添加的条件可以是 AB=ED （只需写一个，不添加辅助线） 【考点】 三角形全等的判定方法 【分析】 根据等式的性质可得 BC=EF，根据平行线的性质可得 B= E，再添加 AB=ED可利用 SAS判定

19、ABC DEF 【解答】 解：添加 AB=ED BF=CE， BF+FC=CE+FC，即 BC=EF AB DE， B= E在 ABC和 DEF中 ， ABC DEF（ SAS） 故答案为： AB=ED 【点评】 本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有： SSS、 SAS、ASA、 AAS、 HL 注意： AAA、 SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形 全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角 5. （ 2018湖南省永州市 4 分）一副透明的三角板，如图叠放，直角三角板的斜边 AB、 CE相交于点 D，则 BDC= 75 【分析】 根

20、据三角板的性质以及三角形内角和定理计算即可； 【解答】 解： CEA=60 ， BAE=45 ， ADE=180 CEA BAE=75 ， BDC= ADE=75 ， 故答案为 75 【点评】 本题考查三角板的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考 基础题 三 .解答题 1. （ 2018年江苏省泰州市 8分）如图， A= D=90 ， AC=DB， AC、 DB相交于点 O求证：OB=OC 【分析】 因为 A= D=90 ， AC=BD， BC=BC，知 Rt BAC Rt CDB（ HL），所以 AB=CD，证明 ABO与 CDO全等，所以有 OB=OC 【解

21、答】 证明：在 Rt ABC 和 Rt DCB中 ， Rt ABC Rt DCB（ HL）， OBC= OCB， BO=CO 【点评】 此题主要考查了全等三角形的判定，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具 2. （ 2018山东滨州 13分 ）已知，在 ABC中， A=90 ， AB=AC，点 D为 BC的中点 （ 1）如图 ，若点 E、 F分别为 AB、 AC上的点，且 DE DF，求证： BE=AF； （ 2）若点 E、 F分别为 AB、 CA 延长 线上的点，且 DE DF，那么 BE=AF吗？请利用图 说明理由 【分析】 （ 1）连接 AD，根据等腰三角形的

22、性质可得出 AD=BD、 EBD= FAD，根据同角的余角相等可得出 BDE= ADF，由此即可证出 BDE ADF（ ASA），再根据全等三角形的性质即可证出 BE=AF； （ 2）连接 AD，根据等腰三角形的性质及等角的补角相等可得出 EBD= FAD、 BD=AD，根据同角的余角相等可得出 BDE= ADF，由此即可证出 EDB FDA（ ASA），再根据全等三角形的性质即可得出 BE=AF 【解答】 （ 1）证明：连接 AD，如图 所示 A=90 ， AB=AC， ABC为等腰直角三角形， EBD=45 点 D为 BC 的中点， AD= BC=BD， FAD=45 BDE+ EDA=9

23、0 ， EDA+ ADF=90 ， BDE= ADF 在 BDE和 ADF中， ， BDE ADF（ ASA）， BE=AF； （ 2） BE=AF，证明如下： 连接 AD，如图 所示 ABD= BAD=45 ， EBD= FAD=135 EDB+ BDF=90 ， BDF+ FDA=90 ， EDB= FDA 在 EDB和 FDA中， ， EDB FDA（ ASA）， BE=AF 【点评】 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形、补角及余角，解题的关键是：（ 1）根据全等三角形的判定定理 ASA证出 BDE ADF；（ 2）根据全等三角形的判定定理 ASA证出 EDB FDA 3

24、（ 2018山东菏泽 6分 ）如图， AB CD， AB=CD， CE=BF请写出 DF与 AE的数量关系，并证明你的结论 【考点】 KD：全等三角形的判定与性质 【分析】 结论： DF=AE只要证明 CDF BAE即可； 【解答】 解：结论： DF=AE 理由： AB CD， C= B， CE=BF， CF=BE， CD=AB， CDF BAE， DF=AE 【点评】 本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，属于中考常考 题型 4（ 2018 湖南省衡阳 6分）如图，已知线段 AC， BD相交于点 E， AE=DE， BE=CE （ 1）求证： ABE DC

25、E； （ 2）当 AB=5时，求 CD的长 【解答】 （ 1）证明：在 AEB和 DEC中， ， AEB DEC（ SAS） （ 2）解： AEB DEC， AB=CD， AB=5， CD=5 5（ 2018 湖北省武汉 8分）如图，点 E、 F在 BC上， BE=CF， AB=DC， B= C， AF与 DE交于点 G，求证： GE=GF 【分析】求出 BF=CE，根据 SAS推出 ABF DCE，得对应角相等，由等腰三角形的判定可得结论 【解答】证明： BE=CF， BE+EF=CF+EF， BF=CE， 在 ABF和 DCE中 ABF DCE（ SAS）， GEF= GFE， EG=FG

26、 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键 6（ 2018 湖北省宜昌 11 分）在矩形 ABCD 中， AB=12， P 是边 AB 上一点，把 PBC 沿直线 PC折叠，顶点 B 的对应点是点 G，过点 B作 BECG ，垂足为 E且在 AD 上， BE 交 PC 于点F （ 1）如图 1，若点 E是 AD 的中点，求证： AEB DEC； （ 2）如图 2， 求证： BP=BF； 当 AD=25，且 AE DE时，求 cos PCB的值； 当 BP=9时，求 BEEF的值 【分析】（ 1）先判断出 A= D=90 ， AB=DC

27、再判断出 AE=DE，即可得出结论； （ 2） 利用折叠的性质，得出 PGC= PBC=90 ， BPC= GPC，进而判断出 GPF= PFB即可得出结论； 判断出 ABE DEC，得出比例式建立方程求解即可得出 AE=9， DE=16，再判断出 ECF GCP，进而求出 PC，即可得出结论； 判断出 GEF EAB，即可得出结论 【解答】解：（ 1）在矩形 ABCD中， A= D=90 ， AB=DC， E是 AD中点， AE=DE， 在 ABE和 DCE中， ， ABE DCE（ SAS）； （ 2） 在矩形 ABCD， ABC=90 ， BPC沿 PC折叠得到 GPC， PGC= PB

28、C=90 ， BPC= GPC， BE CG， BE PG， GPF= PFB， BPF= BFP， BP=BF； 当 AD=25时， BEC=90 ， AEB+ CED=90 ， AEB+ ABE=90 ， CED= ABE， A= D=90 ， ABE DEC， ， 设 AE=x， DE=25 x， ， x=9或 x=16， AE DE， AE=9， DE=16， CE=20， BE=15， 由折叠得， BP=PG， BP=BF=PG， BE PG， ECF GCP， ，设 BP=BF=PG=y， ， y= ， BP= ，在 Rt PBC中， PC= ， cos PCB= = ； 如图，连

29、接 FG， GEF= BAE=90 ， BF PG， BF=PG， BPGF是菱形， BP GF， GFE= ABE， GEF EAB， ， BEEF=ABGF=129=108 【点评】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，折叠的性质，利用方程的思想解决问题是解本题的关键 7.（ 2018山东泰安 11分）如图， ABC 中， D是 AB上一点， DEAC 于点 E， F是 AD的中点， FGBC 于点 G，与 DE交于点 H，若 FG=AF， AG 平分 CAB ，连接 GE， CD （ 1）求证： ECGGHD ； （ 2）小亮同学经过探

30、究发现： AD=AC+EC请你帮助小亮同学证明这一结论 （ 3）若 B=30 ，判定四边形 AEGF是否为菱形，并说明理由 【分析】（ 1）依据条件得出 C=DHG=90 ， CGE=GED ，依据 F是 AD 的中点， FGAE ，即可得到 FG 是线段 ED 的垂直平分线，进而得到 GE=GD， CGE=GDE ，利用 AAS 即可判定ECGGHD ； （ 2）过点 G作 GPAB 于 P，判定 CAGPAG ，可得 AC=AP，由（ 1）可得 EG=DG，即可得到 RtECG RtGPD ，依据 EC=PD，即可得出 AD=AP+PD=AC+EC； （ 3）依据 B=30 ，可得 ADE

31、=30 ，进而得到 AE= AD，故 AE=AF=FG，再根据四边形 AECF是平行四边形，即可得到四边形 AEGF是菱形 【解答】解：（ 1） AF=FG ， FAG=FGA ， AG 平分 CAB ， CAG=FGA ， CAG=FGA ， ACFG ， DEAC ， FGDE ， FGBC ， DEBC ， ACBC ， C=DHG=90 ， CGE=GED ， F 是 AD的中 点， FGAE ， H 是 ED的中点， FG 是线段 ED的垂直平分线， GE=GD ， GDE=GED ， CGE=GDE ， ECGGHD ； （ 2）证明：过点 G作 GPAB 于 P， GC=GP ，

32、而 AG=AG， CAGPAG ， AC=AP ， 由（ 1）可得 EG=DG， RtECGRtGPD ， EC=PD ， AD=AP+PD=AC+EC ； （ 3）四边形 AEGF是菱形， 证明： B=30 ， ADE=30 ， AE= AD， AE=AF=FG ， 由（ 1）得 AEFG ， 四边形 AECF是平行四边形， 四边形 AEGF是菱形 【点评】本题属于四边形综合题，主要考查了菱形的判定、全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定与性质以及含 30 角的直角三角形的性质的综合运用，利用全等三角形的对应边相等，对应角相等是解决问题的关键 8. （ 2018 新疆生产建设兵团 8分

33、）如图， ABCD 的对角线 AC， BD相交于点 O E， F 是AC上的两点，并且 AE=CF，连接 DE， BF （ 1）求证： DOEBOF ； （ 2）若 BD=EF，连接 FB， DF判断四边形 EBFD的形状，并 说明理由 【分析】（ 1）根据 SAS 即可证明； （ 2）首先证明四边形 EBFD是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形是菱形即可证明； 【解答】（ 1）证明： 四边形 ABCD是平行四边形， OA=OC ， OB=OD， AE=CF ， OE=OF ， 在 DEO 和 BOF 中， DOEBOF （ 2）解：结论：四边形 EBFD是菱形 理由： OD=OB ，

34、OE=OF， 四边形 EBFD是平行四边形， BD=EF ， 四边形 EBFD是菱形 【点评】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和 性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型 9 （ 2018 四川 宜宾 6分）如图，已知 1= 2， B= D，求证： CB=CD 【考点】 KD：全等三角形的判定与性质 【分析】 由全等三角形的判定定理 AAS证得 ABC ADC，则其对应边相等 【解答】 证明：如图， 1= 2， ACB= ACD 在 ABC与 ADC中， ， ABC ADC（ AAS）， CB=CD 【点评】 考查了全等三角形的判定与性质在应用全等三角形的判定时，要

35、注意三角形间的公共边和公共角 ，必要时添加适当辅助线构造三角形 10. （ 2018 四川自贡 12 分）如图，已知 AOB=60 ，在 AOB的平分线 OM上有一点 C，将一个 120 角的顶点与点 C重合，它的两条边分别与直线 OA、 OB 相交于点 D、 E （ 1）当 DCE绕点 C旋转到 CD与 OA垂直时（如图 1），请猜想 OE+OD与 OC 的数量关系，并说明理由； （ 2）当 DCE绕点 C旋转到 CD与 OA不垂直时，到达图 2的位置，（ 1）中的结论是否成立？并说明理由； （ 3）当 DCE 绕点 C 旋转到 CD 与 OA 的反向延长线相交时，上述结论是否成立？请在图

36、3中画 出图形，若成立，请给于证明；若不成立，线段 OD、 OE与 OC 之间又有怎样的数量关系？请 写 出 你 的 猜 想 ， 不 需 证明 【分析】 （ 1）先判断出 OCE=60 ，再利用特殊角的三角函数得出 OD= OC，同 OE= OC，即可得出结论； （ 2）同（ 1）的方法得 OF+OG= OC，再判断出 CFD CGE，得出 DF=EG，最后等量代换即可得出结论； （ 3）同（ 2）的方法即可得出结论 【解答】 解：（ 1） OM是 AOB的角平分线， AOC= BOC= AOB=30 ， CD OA， ODC=90 ， OCD=60 ， OCE= DCE OCD=60 ， 在

37、 Rt OCD中， OD=OEcos30= OC， 同理： OE= OC， OD+OD= OC； （ 2）（ 1）中结论仍然成立，理由： 过点 C作 CF OA 于 F， CG OB于 G， OFC= OGC=90 ， AOB=60 ， FCG=120 ， 同（ 1）的方法得， OF= OC， OG= OC， OF+OG= OC， CF OA， CG OB，且点 C是 AOB的平分线 OM上一点， CF=CG， DCE=120 ， FCG=120 ， DCF= ECG， CFD CGE， DF=EG， OF=OD+DF=OD+EG， OG=OE EG， OF+OG=OD+EG+OE EG=OD

38、+OE， OD+OE= OC ；（ 3）（ 1）中结论不成立，结论为： OE OD= OC， 理由：过点 C作 CF OA于 F， CG OB于 G， OFC= OGC=90 ， AOB=60 ， FCG=120 ， 同（ 1）的方法得， OF= OC， OG= OC， OF+OG= OC， CF OA， CG OB，且点 C是 AOB的平分线 OM上一点， CF=CG， DCE=120 ， FCG=120 ， DCF= ECG， CFD CGE， DF=EG， OF=DF OD=EG OD， OG=OE EG， OF+OG=EG OD+OE EG=OE OD， OE OD= OC 【点评】

39、此题是几何变换综合题，主要考查了角平分线的定义和定理，全等三角形的判定和性质，特殊角的三角函数直角三角形的性质，正确作出辅助线是解本题的关键 11.（ 2018湖北黄冈 8 分）如图，在 口 ABCD 中，分别以边 BC， CD 作等腰 BCF， CDE，使 BC=BF， CD=DE， CBF CDE，连接 AF， AE. （ 1）求证： ABF EDA； （ 2）延长 AB与 CF相交于 G，若 AF AE，求证 BF BC. （第 20 题图） 【考点】 平行四边形、全等三角形，等腰三角形 . 【分析】 （ 1）先证明 ABF ADE，再利用 SAS证明 ABF EDA； （ 2）要证 B

40、F BC，须证 FBC 90，通过 AF AE 挖掘角的量的关系。 【解答】 （ 1）证： 口 ABCD， AB=CD=DE， BF=BC=AD 又 ABC ADC， CBF CDE， ABF ADE； 在 ABF与 EDA中， AB DE ABF ADE BF=AD ABF EDA. （ 2）由（ 1）知 EAD AFB， GBF AFB+ BAF， 由 口 ABCD可得： AD BC， DAG CBG， FBC FBG+ CBG EAD+ FAB+ DAG= EAF=90， BF BC. 【点评】 本题考查了 平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质 、 等腰三角形的性质 . 难度一

41、般。 12（ 2018湖北荆门 9分）如图，在 Rt ABC中，（ M2， N2）， BAC=30 ， E为 AB 边的中点，以 BE为边作等边 BDE，连接 AD， CD （ 1）求证： ADE CDB； （ 2）若 BC= ，在 AC边上找一点 H，使得 BH+EH 最小，并求出这个最小值 【分析】 （ 1）只要证明 DEB是等边三角形，再根据 SAS即可证明； （ 2）如图，作点 E关于直线 AC点 E，连接 BE交 AC 于点 H则点 H即为符合条件的点 【解答】 （ 1）证明：在 Rt ABC中， BAC=30 ， E为 AB边的中点， BC=EA， ABC=60 DEB为等边三角形

42、， DB=DE， DEB= DBE=60 ， DEA=120 ， DBC=120 ， DEA= DBC ADE CDB （ 2）解：如图，作点 E关于直线 AC点 E，连接 BE交 AC于点 H 则点 H即为符合条件的点 由作图可知： EH=HE， AE=AE， EAC= BAC=30 EAE=60 ， EAE为等边三角形， ， AEB=90 ， 在 Rt ABC中， BAC=30 ， ， ， ， ， BH+EH 的最小值为 3 【点评】 本题考查轴对称最短问题、等边三角形的判定 和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型 13. （ 201

43、8 浙江临安 6分）已知：如图， E、 F是平行四边形 ABCD的对角线 AC上的两点，AE=CF 求证：（ 1） ADF CBE； （ 2） EB DF 【考点】 三角形全等的判定方法 【分析】 （ 1）要证 ADF CBE，因为 AE=CF，则两边同时加上 EF，得到 AF=CE，又因为 ABCD是平行四边形，得出 AD=CB， DAF= BCE，从而根据 SAS推出两三角形全等； （ 2）由全等可得到 DFA= BEC，所以得到 DF EB 【解答】 证明：（ 1） AE=CF， AE+EF=CF+FE，即 AF=CE 又 ABCD是平行四边形， AD=CB， AD BC DAF= BCE 在 ADF与 CBE中 ， ADF CBE（ SAS） （ 2） ADF CBE