1、3 一次函数的图象1函数的图象对于一个函数，我们把它的自变量 x 与对应的变量 y 的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系中描出它的对应点，所有这些点组成的图形就叫做该函数的图象谈重点 函数图象与点的坐标的关系(1)函数图象上的任意点 P(x， y)必满足该函数关系式(2)满足函数关系式的任意一对 x， y 的值，所对应的点一定在该函数的图象上(3)判定点 P(x， y)是否在函数图象上的方法是：将点 P(x， y)的坐标代入函数表达式，如果满足函数表达式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的表达式，这个点就不在函数的图象上【例 1】 判断下列各点是否在函数 y2 x1 的图象上A(
2、2,3)， B(2，3)分析：将 x 的值代入函数表达式，如果等于 y 的值，这个点就在函数的图象上；否则，这个点不在函数的图象上解：当 x2 时， y2213， A(2,3)在函数 y2 x1 的图象上；当 x2 时， y22153， B(2，3)不在函数 y2 x1 的图象上2函数图象的画法画函数图象的一般步骤：(1)列表：列表给出自变量与函数的一些对应值，通常把自变量 x 的值放在表的第一行，其对应函数值放在表的第二行，其中 x 的值从小到大(2)描点：以表中每对对应值为坐标，在平面直角坐标系内描出相应的点描点时一般把关键的点准确地描出，点取得越多，图象越准确(3)连线：按照自变量从小到
3、大的顺序，把所描的点用平滑的曲线连接起来释疑点 平滑曲线的特点所谓的“平滑曲线” ，现阶段可理解为符合图象的发展趋势、让人感觉过渡自然、比较“平” “滑”的线，实际上有时是直线【例 2】 作出一次函数 y2 x1 的图象分析：取几组对应值，列表，描点，连线即可解：列表：x 2 1 0 1 y 3 1 1 3 描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在坐标系中描出相应的点连线：把这些点连起来注：一次函数 y2 x1 的图象是直线，连线时，两端要露头3.一次函数的图象和性质(1)一次函数的图象和性质一次函数的图象：一次函数 y kx b(k0)的图象是一条直线由于两点确定一条直线，因此画一次函数的图象
4、，只要描出图象上的两个点 ，过这两点作一条直线就行了我们常常把这条直线叫做“直线 y kx b”一次函数中常量 k， b(k0)：直线 y kx b(k0)与 y 轴的交点是(0， b)，当b0 时，直线与 y 轴的正半轴相交；当 b0 时，直线与 y 轴的负半轴相交；当 b0 时，直线经过原点，此时一次函数即为正比例函数一次函数 y kx b 中的 k，决定了直线的倾斜程度， k 的绝对值越大，则直线越接近 y 轴，反之，越靠近 x 轴一次函数 y kx b(k0)的性质：当 k0 时，直线 y kx b 从左向右上升，函数y 的值随自变量 x 的增大而增大；当 k0 时，直线 y kx b
5、 从左向右下降，函数 y 的值随自变量 x 的增大而减小(2)正比例函数的图象和性质正比例函数的图象：一般地，正比例函数 y kx(k 是常数， k0)的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线 y kx.在画正比例函数 y kx 的图象时，一般是经过点(0,0)和(1， k)作一条直线正比例函数 y kx 的性质：当 k0 时，直线 y kx 经过第一、三象限，从左往右上升，即 y 随 x 的增大而增大；当 k0 时，直线 y kx 经过第二、四象限，从左往右下降，即 y 随 x 的增大而减小【例 31】 作出一次函数 y3 x3 的图象分析：由于一次函数的图象是一条直线，因此只要过其图象的
6、两点画出一条直线即可解：列表：x 0 1y3 x3 3 0描点，连线【例 32】 若一次函数 y(2 m6) x5 中， y 随 x 增大而减小，则 m 的取值范围是_解析：当我们知道函数的增减性后，就知道了 k 的取值范围，因为 y 随 x 增大而减小，所以 k 就小于 0，即 2m60， m3.所以 m 的取值范围是 m3.答案： m3析规律 k 与 b 的作用在一次函数解析式中， k 确定函数的增减性， b 确定函数图象与 y 轴的交点【例 33】 下图表示一次函数 y kx b 与正比例函数 y kx(k， b 是常数，且 k0)图象的是( )解析：对于两个不同的函数图象共存于同一坐标
7、系的问题，常假设某一图象正确，确定 k， b 的符号，然后再根据 k 或 b 的符号判断另一函数图象是否与 k， b 的符号相符合观察 A 中一次函数图象可知 k0， b0，而正比例函数的图象经过第二、四象限，此时 k0，所以 A 不正确，用同样的方法可确定 B，C 不正确故选 D.答案：D点技巧 同一坐标系中多函数图象问题解答这类问题一般首先根据正比例函数和一次函数的图象分别先确定 k 的符号，对比k 的符号，若 k 符号一致，才说明可能正确，再结合题中的其他条件确定最终正确答案4 k， b 的符号与直线所过象限的关系学习了一次函数 y kx b(k0)，我们知道一次函数图象经过哪些象限是由
8、 k， b 的符号决定的一般分为四种情况：(1)k0， b0 时，图象过第一、二、三象限；(2)k0， b0 时，图象过第一、三、四象限；(3)k0， b0 时，图象过第一、二、四象限；(4)k0， b0 时，图象过第二、三、四象限析规律 k， b 的符号与直线的关系根据一次函数 y kx b 中 k， b 的符号可以确定图象所经过的象限；根据函数图象所经过的象限，可以确定 k， b 的符号解决有关问题，应熟练把握 k， b 的符号与函数图象所经过象限的几个类型，并能灵活应用【例 41】 一次函数 y kx b 的图象经过第二、三、四象限，则正比例函数 y kbx的图象经过哪个象限？分析：要确
9、定函数 y kbx 的图象经过哪些象限，则需要确定 kb 的符号，而 kb 的符号由 k 的符号和 b 的符号决定，所以只要根据已知条件确定 k， b 的符号即可解决问题解：因为 y kx b 的图象经过第二、三、四象限，所以 k0， b0，所以 kb0.所以函数 y kbx 的图象经过第一、三象限【例 42】 如图是一次函数 y kx b 的图象的大致位置，试分别确定 k， b 的正负号，并判断一次函数 y( k1) x b 的图象所经过的象限分析：由函数 y kx b 的图象可知，函数的图象经过第一、三、四象限，所以k0， b0，由此可得 k10， b0，从而确定一次函数 y( k1) x
10、 b 的图象经过第一、二、四象限解：观察图象可得 k0， b0，所以 k10， b0，所以一次函数 y( k1)x b 的图象经过第一、二、四象限5.一次函数图象与坐标轴的交点一次函数的图象是直线，这条直线与 x 轴交于点 ，与 y 轴交于点(0， b)考查直线与两坐标轴的交点的问题常见的有三类：(1)判定直线所过的象限，一般给出函数关系式，判定直线经过哪几个象限或确定不经过哪个象限(2)求直线的解析式，一般先设出函数关系式为 y kx b(k0)，把已知的两点的坐标分别代入，求出 k， b 的值即可(3)求两交点与坐标轴围成的三角形的面积，由于这个三角形是直角三角形，利用面积公式即可【例 5
11、】 如图，已知直线 y kx3 经过点 M(2,1)，求此直线与 x 轴， y 轴的交点坐标，并求出与坐标轴所围的三角形的面积分析：先将点 M(2,1)代入 y kx3，确定一次函数解析式，再分别令 x0 和y0，即可求出此直线与 x 轴， y 轴的交点坐标解：将点 M(2,1)代入 y kx3，得 12 k3，解得 k2，所以 y2 x3.又当 x0 时， y3，当 y0 时， x ，所以此直线与 x 轴， y 轴的交点坐标分别为32，(0，3)所以所围三角形的面积为 3 .12 32 94点评：在平面直角坐标系中求图形的面积时，通常把轴上的边作为底，再利用点的坐标求得底上的高，然后利用面积
12、公式求解6关于一次函数的最值问题对于一般的一次函数，由于自变量的取值范围可以是全体实数，因此不存在最大、最小值(简称“最值”)，但在实际问题中，因题目中的自变量受到实际问题的限制，所以就有可能出现最大值或最小值求解这类问题，先分析问题中两个变量之间的关系是否适合一次函数模型，再在自变量允许的取值范围内建立一次函数模型运用一次函数解决实际问题的关键是根据一次函数的性质来解答除正确确定函数表达式外，利用自变量取值范围去分析最值是解题的关键“在生活中学数学，到生活中用数学” ，是新课标所倡导的一个主旨之一，在考题中，有许多利用数学知识求解生活中的实际问题的试题，考查同学们利用所学知识求解实际问题的能
13、力【例 6】 某报刊销售亭从报社订购晚报的价格是 0.7 元，销售价是每份 1 元，卖不掉的报纸可以以每份 0.2 元的价格退回报社，若每月按 30 天计算，有 20 天每天可卖出 100份报纸，其余 10 天每天只能卖出 60 份，但每天报亭从报社订购的份数必须相同，报亭每天从报社订购多少份报纸，才能使每月所获得的利润最大？分析：若报亭每天从报社订购 x 份报纸，每月获得的利润为 y，那么 y 是 x 的一次函数，且自变量的取值范围是 60 x100，并根据函数的性质来确定订多少份报纸解：根据题意，得y(10.7)(20 x1060)(0.70.2)( x60)10，即 y x480(60 x100)此函数是一次函数，且一次项的系数大于 0，函数 y 随 x 的增大而增大，当 x100 时， y 有最大值，其最大值为 100480580(元)订购方案：每天从报社订 100 份报纸，这样获得利润最大，最大利润为 580 元
