2018版高中数学 第二章 数列精选测试（打包10套）新人教B版必修5.zip

1同步精选测试 数 列(建议用时：45 分钟)[基础测试]一、选择题1.下面有四个结论，其中叙述正确的有( )①数列的通项公式是唯一的；②数列可以看做是一个定义在正整数集或其子集上的函数；③数列若用图象表示，它是一群孤立的点；④每个数列都有通项公式.A.①② B.②③ C.③④ D.①④【解析】 数列的通项公式不唯一，有的数列没有通项公式，所以①④不正确.【答案】 B2.数列的通项公式为 an＝Error!则 a2·a3等于( )A.70 B.28C.20 D.8【解析】 由 an＝Error!得 a2＝2， a3＝10，所以 a2·a3＝20.【答案】 C3.若数列{ an}的前 4 项依次是 2,0,2,0，则这个数列的通项公式不能是( )A.an＝1＋(－1) n＋1B.an＝1－cos nπC.an＝2sin 2nπ2D.an＝1＋(－1) n－1 ＋( n－1)( n－2)【解析】 根据各选项中的通项公式写出前 4 项，看是否为题干中的数列即可.当n＝3 和 4 时，D 选项不满足，故选 D.【答案】 D4.已知数列{ an}的通项公式是 an＝ ，那么这个数列是( ) n－ 1n＋ 1【导学号：18082074】A.递增数列 B.递减数列C.常数列 D.摆动数列【解析】 an＝ ＝1－ ，∴当 n 越大， 越小，则 an越大，故该数列是递n－ 1n＋ 1 2n＋ 1 2n＋ 1增数列.2【答案】 A5.在数列－1,0，，，…， ，…中，0.08 是它的( )1918 n－ 2n2A.第 100 项 B.第 12 项C.第 10 项 D.第 8 项【解析】 ∵ an＝ ，令 ＝0.08，解得 n＝10 或 n＝ (舍去).n－ 2n2 n－ 2n2 52【答案】 C二、填空题6.已知数列{ an}的通项公式 an＝19－2 n，则使 an0 成立的最大正整数 n 的值为________.【解析】 由 an＝19－2 n0，得 n0，即 2n＋1－ k0 恒成立，分离变量得 k2n＋1，故只需 k3 即可.【答案】 B3.根据图 2­1­2 中的 5 个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第 n 个图中有________个点.图 2­1­2【解析】 观察图形可知，第 n 个图有 n 个分支，每个分支上有( n－1)个点(不含中心点)，再加中心上 1 个点，则有 n(n－1)＋1＝ n2－ n＋1 个点.【答案】 n2－ n＋14.已知数列{ an}的通项公式为 an＝ (n∈N ＋ ).n2－ 21n2(1)0 和 1 是不是数列{ an}中的项？如果是，那么是第几项？ 【导学号：18082077】(2)数列{ an}中是否存在连续且相等的两项？若存在，分别是第几项.【解】 (1)令 an＝0，得 n2－21 n＝0，∴ n＝21 或 n＝0(舍去)，∴0 是数列{ an}中的第 21 项.5令 an＝1，得 ＝1，n2－ 21n2而该方程无正整数解，∴1 不是数列{ an}中的项.(2)假设存在连续且相等的两项是 an， an＋1 ，则有 an＝ an＋1 ，即 ＝ .n2－ 21n2  n＋ 1 2－ 21 n＋ 12解得 n＝10，所以存在连续且相等的两项，它们分别是第 10 项和第 11 项.1同步精选测试 数列的递推公式(选学)(建议用时：45 分钟)[基础测试]一、选择题1.已知数列{ an}满足： a1＝－ ， an＝1－ (n1)，则 a4等于( )14 1an－ 1A. B. C.－ D.45 14 14 15【解析】 a2＝1－ ＝5， a3＝1－ ＝ ， a4＝1－ ＝－ .1a1 1a2 45 1a3 14【答案】 C2.数列 2,4,6,8,10，…的递推公式是( )A.an＝ an－1 ＋2( n≥2)B.an＝2 an－1 (n≥2)C.a1＝2， an＝ an－1 ＋2( n≥2)D.a1＝2， an＝2 an－1 (n≥2)【解析】 由条件可发现， n＞2 时， an－ an－1 ＝2，即 an＝ an－1 ＋2，又 a1＝2，所以 C正确.【答案】 C3.设 an＝－3 n2＋15 n－18，则数列{ an}中的最大项的值是( )A. B. C.4 D.0163 133【解析】 ∵ an＝－3 2＋ ，由二次函数性质得，当 n＝2 或 3 时， an最大，最(n－156) 34大为 0.【答案】 D4.在数列{ an}中， a1＝2， an＋1 ＝ an＋ln ，则 an等于( ) (1＋1n)【导学号：18082078】A.2＋ln n B.2＋( n－1)ln nC.2＋ nln n D.1＋ n＋ln n【解析】 由题意可知： an＋1 ＝ an＋ln ，∴ an＋1 － an＝ln( n＋1)－ln n＋ 1nn，∴ an＝( an－ an－1 )＋( an－1 － an－2 )＋…＋( a2－ a1)＋ a1＝[ln n－ln( n－1)]＋[ln( n－1)－ln( n－2)]＋…＋(ln 2－ln 1)＋2＝2＋ln n.2【答案】 A5.已知在数列{ an}中， a1＝3， a2＝6，且 an＋2 ＝ an＋1 － an，则 a2 016＝( ) 【导学号：18082079】A.3 B.－3 C.6 D.－6【解析】 由题意知： a3＝ a2－ a1＝3， a4＝ a3－ a2＝－3，a5＝ a4－ a3＝－6， a6＝ a5－ a4＝－3，a7＝ a6－ a5＝3， a8＝ a7－ a6＝6，a9＝ a8－ a7＝3， a10＝ a9－ a8＝－3，…故知{ an}是周期为 6 的数列，∴ a2 016＝ a6＝－3.【答案】 B二、填空题6.数列{ an}中，若 an＋1 － an－ n＝0，则 a2 016－ a2 015＝_____________.【解析】 由已知得 a2 016－ a2 015－2 015＝0，∴ a2 016－ a2 015＝2 015.【答案】 2 0157.数列{ an}满足 an＝4 an－1 ＋3，且 a1＝0，则此数列的第 5 项是________.【解析】 因为 an＝4 an－1 ＋3，所以 a2＝4×0＋3＝3，a3＝4×3＋3＝15， a4＝4×15＋3＝63， a5＝4×63＋3＝255.【答案】 2558.在数列{ an}中，对任意 n∈N ＋ ，有 an＋1 ＝ .若 a1＝1，则 a10＝________.an1＋ an【解析】 法一：由已知，得a2＝ ＝ ＝ ， a3＝ ＝ ＝ ， a4＝ ＝ ＝ ，…， a10＝ ＝ .a11＋ a1 11＋ 1 12 a21＋ a2121＋ 12 13 a31＋ a3131＋ 13 14191＋ 19 110法二：由 an＋1 ＝ ，得 ＝ ＋1，an1＋ an 1an＋ 1 1an所以 ＝ ＋1， ＝ ＋1， ＝ ＋1，…， ＝ ＋1，所以 － ＝9.1a2 1a1 1a3 1a2 1a4 1a3 1a10 1a9 1a10 1a1又因为 a1＝1，所以 ＝10，1a10所以 a10＝ .1103【答案】 110三、解答题9.已知数列{ an}中， a1＝1， an＋1 ＝ (n∈N ＋ )，求通项 an. 3anan＋ 3【导学号：18082080】【解】 将 an＋1 ＝ 两边同时取倒数得：3anan＋ 3＝ ，1an＋ 1 an＋ 33an则 ＝ ＋ ，即 － ＝ ，1an＋ 1 1an 13 1an＋ 1 1an 13∴ － ＝ ， － ＝ ，…， － ＝ ，1a2 1a1 13 1a3 1a2 13 1an 1an－ 1 13把以上这( n－1)个式子累加，得 － ＝ .1an 1a1 n－ 13∵ a1＝1，∴ an＝ (n∈N ＋ ).3n＋ 210.已知数列{ an}的通项公式 an＝( n＋2)· ，试求数列{ an}的最大项. (67)n 【导学号：18082081】【解】 假设第 n 项 an为最大项，则Error!即Error!解得Error! 即 4≤ n≤5，所以 n＝4 或 5，故数列{ an}中 a4与 a5均为最大项，且 a4＝ a5＝ .6574[能力提升]1.已知数列{ an}对任意的 p， q∈N ＋ 满足 ap＋ q＝ ap＋ aq，且 a2＝－6，那么 a10等于( )A.－165 B.－33C.－30 D.－21【解析】 由已知得 a2＝ a1＋ a1＝2 a1＝－6，∴ a1＝－3.∴ a10＝2 a5＝2( a2＋ a3)＝2 a2＋2( a1＋ a2)＝4 a2＋2 a1＝4×(－6)＋2×(－3)＝－30.【答案】 C2.已知数列{ an}满足 an＋1 ＝Error!若 a1＝ ，则 a2 014的值为( )674A. B. C. D.67 57 37 17【解析】 由题意得， a1＝ ， a2＝ ， a3＝ ， a4＝ ，故数列{ an}是以 3 为周期的周期67 57 37 67数列，又 2014＝671×3＋1，∴ a2 014＝ a1＝ .67【答案】 A3.对于数列{ an}，若存在实数 M，对任意的 n∈N ＋ ，都有 an＞ M，则称 M 为数列{ an}的一个下界，数列{ an}的最大下界称为下确界.已知数列{ an}的通项公式为 an＝ ，按此定n＋ 1n义，则数列{ an}的下确界是________.【解析】 由题意， an＝ ＝1＋ .∵ ＞0，∴对任意 n∈N ＋ ，都有 an＞1，易知 1n＋ 1n 1n 1n是数列{ an}的最大下界，故数列{ an}的下确界是 1.【答案】 14.已知数列{ an}，满足 a1＝1， an＝ an－1 ＋ (n≥2)，求数列的通项公式. 1n n－ 1【导学号：18082082】【解】 法一：由 an－ an－1 ＝1n n－ 1＝ － (n≥2)，1n－ 1 1n则 an－1 － an－2 ＝ － ，1n－ 2 1n－ 1…a3－ a2＝ － ，12 13a2－ a1＝1－ .12将上式相加得 an－ a1＝1－ (n≥2)，1n又 a1＝1，∴ an＝2－ .a1＝1 也适合，1n∴ an＝2－ (n∈N ＋ ).1n法二：由已知得 an－ an－1 ＝ － (n≥2)，1n－ 1 1n则 an＝( an－ an－1 )＋( an－1 － an－2 )＋( an－2 － an－3 )＋…＋( a2－ a1)5＋ a1＝ － ＋ － ＋ － ＋…＋1－ ＋1＝2－ (n≥2).1n－ 1 1n 1n－ 2 1n－ 1 1n－ 3 1n－ 2 12 1na1＝1 也适合，∴ an＝2－ (n∈N ＋ ).1n1同步精选测试 等差数列(建议用时：45 分钟)[基础测试]一、选择题1.在等差数列{ an}中， a3＝0， a7－2 a4＝－1，则公差 d等于( )A.－2 B.－12C. D.212【解析】 ∵ a7－2 a4＝( a3＋4 d)－2( a3＋ d)＝－ a3＋2 d，又∵ a3＝0，∴2 d＝－1，∴ d＝－ .12【答案】 B2.在等差数列{ an}中，若 a2＝4， a4＝2，则 a6＝( )A.－1 B.0 C.1 D.6【解析】 ∵{ an}为等差数列，∴2 a4＝ a2＋ a6，∴ a6＝2 a4－ a2，即 a6＝2×2－4＝0.【答案】 B3.在等差数列{ an}中，已知 a1＝ ， a2＋ a5＝4， an＝35，则 n＝( ) 13【导学号：18082083】A.50 B.51C.52 D.53【解析】 依题意， a2＋ a5＝ a1＋ d＋ a1＋4 d＝4，代入 a1＝ ，得 d＝ .13 23所以 an＝ a1＋( n－1) d＝ ＋( n－1)× ＝ n－ ，13 23 23 13令 an＝35，解得 n＝53.【答案】 D4.在数列{ an}中， a2＝2， a6＝0，且数列 是等差数列，则 a4＝( ){1an＋ 1}A. B.12 13C. D.14 16【解析】 设数列 的公差为 d，由 4d＝ － ，得 d＝ ，所以 ＝{1an＋ 1} 1a6＋ 1 1a2＋ 1 16 1a4＋ 12＋2× ，解得 a4＝ ，故选 A.1a2＋ 1 16 12【答案】 A5.下列命题中正确的个数是( )(1)若 a， b， c成等差数列，则 a2， b2， c2一定成等差数列；(2)若 a， b， c成等差数列，则 2a,2b,2c可能成等差数列；(3)若 a， b， c成等差数列，则 ka＋2， kb＋2， kc＋2 一定成等差数列；(4)若 a， b， c成等差数列，则 ，， 可能成等差数列.1a1b 1cA.4个 B.3个C.2个 D.1个【解析】 对于(1)，取 a＝1， b＝2， c＝3⇒ a2＝1， b2＝4， c2＝9，(1)错.对于(2)， a＝ b＝ c⇒2a＝2 b＝2 c，(2)正确；对于(3)，∵ a， b， c成等差数列，∴ a＋ c＝2 b.∴( ka＋2)＋( kc＋2)＝ k(a＋ c)＋4＝2( kb＋2)，(3)正确；对于(4)， a＝ b＝ c≠0⇒ ＝ ＝ ，(4)正确.综上可知选 B.1a 1b 1c【答案】 B二、填空题6.中位数为 1 010的一组数构成等差数列，其末项为 2 015，则该数列的首项为__________.【解析】 设数列首项为 a1，则 ＝1 010，故 a1＝5.a1＋ 2 0152【答案】 57.若 x≠ y，两个数列 x， a1， a2， a3， y和 x， b1， b2， b3， b4， y都是等差数列，则＝________.a2－ a1b4－ b3【解析】 设两个数列的公差分别为 d1， d2，则Error! ∴ ＝ ，∴ ＝ ＝ .d1d2 54 a2－ a1b4－ b3 d1d2 54【答案】 548.在等差数列{ an}中， a3＝7， a5＝ a2＋6，则 a6＝________.【解析】 设公差为 d，则 a5－ a2＝3 d＝6，3∴ a6＝ a3＋3 d＝7＋6＝13.【答案】 13三、解答题9.在等差数列{ an}中，已知 a1＝112， a2＝116，这个数列在 450到 600之间共有多少项？【导学号：18082084】【解】 由题意，得d＝ a2－ a1＝116－112＝4，所以 an＝ a1＋( n－1) d＝112＋4( n－1)＝4 n＋108.令 450≤ an≤600，解得 85.5≤ n≤123，又因为 n为正整数，故有 38项.10.已知数列{ an}满足 a1＝2， an＋1 ＝ .2anan＋ 2(1)数列 是否为等差数列？说明理由；{1an}(2)求 an.【解】 (1)数列 是等差数列.理由如下：{1an}因为 a1＝2， an＋1 ＝ ，2anan＋ 2所以 ＝ ＝ ＋ ，1an＋ 1 an＋ 22an 12 1an所以 － ＝ ，1an＋ 1 1an 12即 是首项为 ＝ ，公差为 d＝ 的等差数列.{1an} 1a1 12 12(2)由(1)可知， ＝ ＋( n－1) d＝ ，1an 1a1 n2所以 an＝ .2n[能力提升]1.首项为－24 的等差数列，从第 10项起开始为正数，则公差的取值范围是( )A. B.(83， 3) [83， 3]C. D.(83， 3] [83， 3)【解析】 设 an＝－24＋( n－1) d，4由Error! 解得 d≤3.83【答案】 C2.在数列{ an}中， a1＝3，且对任意大于 1的正整数 n，点( ， )在直线an an－ 1x－ y－ ＝0 上，则( )3A.an＝3 n B.an＝ 3nC.an＝ n－ D.an＝3 n23【解析】 ∵点( ， )在直线 x－ y－ ＝0 上，an an－ 1 3∴ － ＝ ，即数列 { }是首项为 ，公差为 的等差数列.an an－ 1 3 an 3 3∴数列{ }的通项公式为an＝ ＋( n－1) ＝ n，an 3 3 3∴ an＝3 n2.【答案】 D3.某市出租车的计价标准为 1.2元/km，起步价为 10元，即最初的 4 km(不含 4千米)计费 10元.如果某人乘坐该市的出租车去往 14 km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付车费________元.【解析】 根据题意，当该市出租车的行程大于或等于 4 km时，每增加 1 km，乘客需要支付 1.2元.所以可以建立一个等差数列{ an}来计算车费.令 a1＝11.2，表示 4 km处的车费，公差 d＝1.2，那么当出租车行至 14 km处时， n＝11，此时需要支付车费a11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2(元).【答案】 23.24.在数列{ an}中，已知 a1＝5，且 an＝2 an－1 ＋2 n－1( n≥2，且 n∈N ＋ ).(1)求 a2， a3的值；(2)是否存在实数 λ ，使得数列 为等差数列？若存在，求出 λ 的值；若不存{an＋ λ2n }在，请说明理由.【解】 (1)因为 a1＝5，所以 a2＝2 a1＋2 2－1＝13， a3＝2 a2＋2 3－1＝33.(2)假设存在实数 λ ，使得数列 为等差数列，{an＋ λ2n }则 ， ， 成等差数列，a1＋ λ2 a2＋ λ22 a3＋ λ23所以 2× ＝ ＋ ，a2＋ λ22 a1＋ λ2 a3＋ λ23即 ＝ ＋ .13＋ λ2 5＋ λ2 33＋ λ85解得 λ ＝－1.当 λ ＝－1 时， －an＋ 1－ 12n＋ 1 an－ 12n＝ [(an＋1 －1)－2( an－1)]12n＋ 1＝ (an＋1 －2 an＋1)12n＋ 1＝ [(2an＋2 n＋1 －1)－2 an＋1]12n＋ 1＝ ×2n＋112n＋ 1＝1.综上可知，存在实数 λ ＝－1，使得数列 为等差数列.{an＋ λ2n }1同步精选测试 等差数列的性质(建议用时：45 分钟)[基础测试]一、选择题1.下列说法中正确的是( )A.若 a， b， c 成等差数列，则 a2， b2， c2成等差数列B.若 a， b， c 成等差数列，则 log2a，log 2b，log 2c 成等差数列C.若 a， b， c 成等差数列，则 a＋2， b＋2， c＋2 成等差数列D.若 a， b， c 成等差数列，则 2a,2b,2c成等差数列【解析】 不妨设 a＝1， b＝2， c＝3.A 选项中， a2＝1， b2＝4， c2＝9，显然 a2， b2， c2不成等差数列.B 选项中，log 21＝0，log 22＝1，log 231，显然 log2a，log 2b，log 2c 也不成等差数列.C 选项中， a＋2＝3， b＋2＝4， c＋2＝5，显然 a＋2， b＋2， c＋2 成等差数列.D 选项中，2 a＝2,2 b＝4,2 c＝8，显然 2a,2b,2c也不构成等差数列.【答案】 C2.等差数列{ an}中， a2＋ a5＋ a8＝9，那么关于 x 的方程 x2＋( a4＋ a6)x＋10＝0( )A.无实根 B.有两个相等实根C.有两个不等实根 D.不能确定有无实根【解析】 由于 a4＋ a6＝ a2＋ a8＝2 a5，而 3a5＝9，∴ a5＝3，方程为 x2＋6 x＋10＝0，无解.【答案】 A3.设{ an}，{ bn}都是等差数列，且 a1＝25， b1＝75， a2＋ b2＝100，则 a37＋ b37＝( ) 【导学号：18082085】A.0 B.37 C.100 D.－37【解析】 设 cn＝ an＋ bn，由于{ an}，{ bn}都是等差数列，则{ cn}也是等差数列，且c1＝ a1＋ b1＝25＋75＝100，c2＝ a2＋ b2＝100，∴{ cn}的公差 d＝ c2－ c1＝0.∴ c37＝100.【答案】 C4.若{ an}是等差数列，且 a1＋ a4＋ a7＝45， a2＋ a5＋ a8＝39，则 a3＋ a6＋ a9＝( )A.39 B.20 C.19.5 D.332【解析】 由等差数列的性质，得a1＋ a4＋ a7＝3 a4＝45，a2＋ a5＋ a8＝3 a5＝39，a3＋ a6＋ a9＝3 a6.又 3a5×2＝3 a4＋3 a6，解得 3a6＝33，即 a3＋ a6＋ a9＝33.【答案】 D5.已知数列{ an}的首项为 3，{ bn}为等差数列，且 bn＝ an＋1 － an(n∈N ＋ ).若b3＝－2， b10＝12，则 a8＝( )A.0 B.3 C.8 D.11【解析】 设数列{ bn}的首项为 b1，公差为 d.由 b3＝－2， b10＝12，得Error! 解得Error!所以 bn＝－6＋2( n－1)＝2 n－8.因为 bn＝ an＋1 － an，所以 a8＝( a8－ a7)＋( a7－ a6)＋( a6－ a5)＋( a5－ a4)＋( a4－ a3)＋( a3－ a2)＋( a2－ a1)＋ a1＝ b7＋ b6＋ b5＋…＋ b1＋ a1＝(6＋4＋2＋0－2－4－6)＋3＝3.【答案】 B二、填空题6.在等差数列{ an}中，已知 a3＋ a8＝10，则 3a5＋ a7＝________. 【导学号：18082086】【解析】 设等差数列{ an}的公差为 d，则 a3＋ a8＝2 a1＋9 d＝10，所以 3a5＋ a7＝4 a1＋18 d＝2(2 a1＋9 d)＝20.【答案】 207.在等差数列{ an}中，已知 a1， a99是函数 f(x)＝ x2－10 x＋16 的两个零点，则a50＋ a20＋ a80＝________.12【解析】 由题意，知 a1， a99是方程 x2－10 x＋16＝0 的两根，则 a1＋ a99＝10.又因为{an}是等差数列，所以 a50＝ ＝5，故 a50＋ a20＋ a80＝ a50＝ ×5＝ .a1＋ a992 12 52 52 2523【答案】 2528.《九章算术》 “竹九节”问题：现有一根 9 节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面 4 节的容积共 3 L，下面 3 节的容积共 4 L，则第 5 节的容积为________L.【解析】 法一：设数列{ an}为等差数列，自上而下第一节竹子的容积为 a1，第二节竹子的容积为 a2……第九节竹子的容积为 a9.a1＋ a2＋ a3＋ a4＝3， a7＋ a8＋ a9＝4，即 4a5－10 d＝3，①3a5＋9 d＝4.②联立①②，解得 a5＝ .6766法二：设数列{ an}为等差数列，自上而下第 1 节竹子的容积为 a1，第 2 节竹子的容积为 a2……第九节竹子的容积为 a9.因为 a1＋ a2＋ a3＋ a4＝4 a1＋6 d＝3，a7＋ a8＋ a9＝3 a1＋21 d＝4，解得 a1＝ ， d＝ ，1322 766所以 a5＝ a1＋4 d＝ ＋4× ＝ .1322 766 6766【答案】 6766三、解答题9.已知等差数列{ an}，设 bn＝ an，又已知 b1＋ b2＋ b3＝ ， b1b2b3＝ ，求{ an}的通项(12) 218 18公式.【解】 因为 b1＋ b2＋ b3＝ a1＋ a2＋ a3＝ ， b1b2b3＝ a1＋ a2＋ a3＝ ，(12) (12) (12) 218 (12) 18所以 a1＋ a2＋ a3＝3.由 a1， a2， a3成等差数列，可设 a1＝ a2－ d， a3＝ a2＋ d，于是 a2＝1.由 ＋ ＋ ＝ ，(12)1－ d 12 (12)1－ d 218得 2d＋2 － d＝ ，174解得 d＝2 或 d＝－2.当 d＝2 时， a1＝1－ d＝－1， an＝－1＋2( n－1)＝2 n－3；当 d＝－2 时， a1＝1－ d＝3， an＝3－2( n－1)＝－2 n＋5.10.四个数成递增等差数列，中间两数的和为 2，首末两项的积为－8，求这四个数. 4【导学号：18082087】【解】 设这四个数为 a－3 d， a－ d， a＋ d， a＋3 d(公差为 2d)，依题意，2 a＝2，且( a－3 d)(a＋3 d)＝－8，即 a＝1， a2－9 d2＝－8，∴ d2＝1，∴ d＝1 或 d＝－1.又四个数成递增等差数列，所以 d0，∴ d＝1，故所求的四个数为－2,0,2,4.[能力提升]1.已知等差数列{ an}满足 a1＋ a2＋ a3＋…＋ a101＝0，则有( )A.a1＋ a1010 B.a2＋ a1010C.a3＋ a99＝0 D.a51＝51【解析】 根据性质得： a1＋ a101＝ a2＋ a100＝…＝ a50＋ a52＝2 a51，由于a1＋ a2＋ a3＋…＋ a101＝0，所以 a51＝0，又因为 a3＋ a99＝2 a51＝0，故选 C.【答案】 C2.在等差数列{ an}中，若 a4＋ a6＋ a8＋ a10＋ a12＝120，则 a9－ a11的值为( )13A.14 B.15 C.16 D.17【解析】 设公差为 d，∵ a4＋ a6＋ a8＋ a10＋ a12＝120，∴5 a8＝120， a8＝24，∴ a9－ a11＝( a8＋ d)－ (a8＋3 d)＝ a8＝16.13 13 23【答案】 C3.数列{ an}中， a1＝1， a2＝ ，且 ＋ ＝ ，则 an＝________.23 1an－ 1 1an＋ 1 2an【解析】 因为 ＋ ＝ ，1an－ 1 1an＋ 1 2an所以数列 为等差数列，{1an}又 ＝1，公差 d＝ － ＝ －1＝ ，1a1 1a2 1a1 32 12所以通项公式 ＝ ＋( n－1) d＝1＋( n－1)× ＝ ，所以 an＝ .1an 1a1 12 n＋ 12 2n＋ 1【答案】 2n＋ 14.两个等差数列 5,8,11，…和 3,7,11，…都有 100 项，那么它们共有多少相同的项？【解】 设已知的两数列的所有相同的项构成的新数列为{ cn}， c1＝11，又等差数列 5,8,11，…的通项公式为 an＝3 n＋2，等差数列 3,7,11，…的通项公式为 bn＝4 n－1.5所以数列{ cn}为等差数列，且公差 d＝12，①所以 cn＝11＋( n－1)×12＝12 n－1.又 a100＝302， b100＝399， cn＝12 n－1≤302，②得 n≤25 ，可见已知两数列共有 25 个相同的项.141同步精选测试 等差数列的前 n 项和(建议用时：45 分钟)[基础测试]一、选择题1.在等差数列{ an}中， a2＝1， a4＝5，则{ an}的前 5 项和 S5＝( )A.7 B.15 C.20 D.25【解析】 S5＝ ＝ ＝ ＝15.5× a1＋ a52 5× a2＋ a42 5×62【答案】 B2.设 Sn是等差数列{ an}的前 n 项和，若 ＝ ，则 等于( )a5a3 59 S9S5A.1 B.－1 C.2 D.12【解析】 ＝S9S592 a1＋ a952 a1＋ a5＝ ＝ × ＝1.9a55a3 95 59【答案】 A3.在等差数列{ an}中， a1＝0，公差 d≠0，若 am＝ a1＋ a2＋…＋ a9，则 m 的值为( ) 【导学号：18082088】A.37 B.36 C.20 D.19【解析】 ∵{ an}是等差数列， a1＝0，由 am＝ a1＋ a2＋…＋ a9得 0＋( m－1)d＝9 a5＝36 d.又 d≠0，∴ m＝37.【答案】 A4.已知{ an}是公差为 1 的等差数列， Sn为{ an}的前 n 项和，若 S8＝4 S4，则 a10＝( )A. B. C.10 D.12172 192【解析】 ∵公差为 1，∴ S8＝8 a1＋ ×1＝8 a1＋28， S4＝4 a1＋6.8× 8－ 12∵ S8＝4 S4，∴8 a1＋28＝4(4 a1＋6)，解得 a1＝ ，12∴ a10＝ a1＋9 d＝ ＋9＝ .故选 B.12 1922【答案】 B5.在等差数列{ an}和{ bn}中， a1＋ b100＝100， b1＋ a100＝100，则数列{ an＋ bn}的前 100项和为( )A.0 B.100 C.1 000 D.10 000【解析】 { an＋ bn}的前 100 项的和为＋ ＝50( a1＋ a100＋ b1＋ b100)＝50×200＝10 000.100 a1＋ a1002 100 b1＋ b1002【答案】 D二、填空题6.已知{ an}是等差数列， a4＋ a6＝6，其前 5 项和 S5＝10，则其公差为 d＝________. 【导学号：18082089】【解析】 a4＋ a6＝ a1＋3 d＋ a1＋5 d＝6，①S5＝5 a1＋ ×5×(5－1) d＝10，②12由①②联立解得 a1＝1， d＝ .12【答案】 127.等差数列{ an}的前 n 项和为 Sn，已知 am－1 ＋ am＋1 － a ＝0， S2m－1 ＝38，则2mm＝________.【解析】 因为 am－1 ＋ am＋1 ＝2 am，所以 2am－ a ＝0，2m所以 am＝0 或 am＝2.因为 S2m－1 ＝ ＝(2 m－1) am＝38， 2m－ 1  a1＋ a2m－ 12所以 am＝2，所以(2 m－1)×2＝38，解得 m＝10.【答案】 108.若数列 的前 n 项和为 Sn，且 Sn＝ ，则 n＝________.{1n n＋ 1 } 1920【解析】 ∵ ＝ － ，∴ Sn＝ ＋ ＋…＋ ＝ ＋ ＋1n n＋ 1 1n 1n＋ 1 11×2 12×3 1n n＋ 1 (1－ 12) (12－ 13) (13－ 14)＋…＋ ＝1－ ＝ .(1n－ 1n＋ 1) 1n＋ 1 nn＋ 1由已知得 ＝ ，解得 n＝19.nn＋ 1 19203【答案】 19三、解答题9.等差数列{ an}中， a10＝30， a20＝50.(1)求数列的通项公式；(2)若 Sn＝242，求 n.【解】 (1)设数列{ an}的首项为 a1，公差为 d.则Error! 解得Error!∴ an＝ a1＋( n－1) d＝12＋( n－1)×2＝10＋2 n.(2)由 Sn＝ na1＋ d 以及 a1＝12， d＝2， Sn＝242，n n－ 12得方程 242＝12 n＋ ×2，即 n2＋11 n－242＝0，解得 n＝11 或 n＝－22(舍去).n n－ 12故 n＝11.10.在我国古代，9 是数学之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑中包含许多与9 相关的设计.例如，北京天坛圆丘的地面由扇环形的石板铺成(如图 2­2­3 所示)，最高一层的中心是一块天心石，围绕它的第 1 圈有 9 块石板，从第 2 圈开始，每 1 圈比前 1 圈多9 块，共有 9 圈，则： 【导学号：18082090】图 2­2­3(1)第 9 圈共有多少块石板？(2)前 9 圈一共有多少块石板？【解】 (1)设从第 1 圈到第 9 圈石板数所成数列为{ an}，由题意可知{ an}是等差数列，其中 a1＝9， d＝9， n＝9.由等差数列的通项公式，得第 9 圈石板块数为：a9＝ a1＋(9－1)· d＝9＋(9－1)×9＝81(块).(2)由等差数列前 n 项和公式，得前 9 圈石板总数为：S9＝9 a1＋ d＝9×9＋ ×9＝405(块).9× 9－ 12 9×82答：第 9 圈共有 81 块石板，前 9 圈一共有 405 块石板.[能力提升]1.如图 2­2­4 所示将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有4n(n1， n∈N ＋ )个点，相应的图案中总的点数记为 an，则 a2＋ a3＋ a4＋…＋ an等于( )图 2­2­4A. B.3n22 n n＋ 12C. D.3n n－ 12 n n－ 12【解析】 由图案的点数可知 a2＝3， a3＝6， a4＝9， a5＝12，所以an＝3 n－3， n≥2，所以 a2＋ a3＋ a4＋…＋ an＝ n－ 1  3＋ 3n－ 32＝ .3n n－ 12【答案】 C2.已知命题：“在等差数列{ an}中，若 4a2＋ a10＋ a( ) ＝24，则 S11为定值”为真命题，由于印刷问题，括号处的数模糊不清，可推得括号内的数为( )A.15 B.24C.18 D.28【解析】 设括号内的数为 n，则 4a2＋ a10＋ a(n)＝24，∴6 a1＋( n＋12) d＝24.又 S11＝11 a1＋55 d＝11( a1＋5 d)为定值，所以 a1＋5 d 为定值.所以 ＝5， n＝18.n＋ 126【答案】 C3.等差数列{ an}，{ bn}的前 n 项和分别为 Sn， Tn，且 ＝ ，则使得 为整数的SnTn 7n＋ 45n－ 3 anbnn 的个数是________.【解析】 由等差数列的性质，知＝ ＝ ＝ ＝ ∈Z，则 n－2 只能取－1,1,3,11,33 这anbn S2n－ 1T2n－ 1 7 2n－ 1 ＋ 45 2n－ 1 － 3 7n＋ 19n－ 2 (7＋ 33n－ 2)5 个数，故满足题意的 n 有 5 个.【答案】 54.已知等差数列的前三项依次为 a,4,3a，前 n 项和为 Sn，且 Sk＝110.(1)求 a 及 k 的值；5(2)设数列{ bn}的通项公式 bn＝ ，证明：数列{ bn}是等差数列，并求其前 n 项和 Tn.Snn【解】 (1)设该等差数列为{ an}，则 a1＝ a， a2＝4， a3＝3 a，由已知有 a＋3 a＝8，得 a1＝ a＝2，公差 d＝4－2＝2，所以 Sk＝ ka1＋ ·d＝2 k＋ ×2＝ k2＋ k.k k－ 12 k k－ 12由 Sk＝110，得 k2＋ k－110＝0，解得 k＝10 或 k＝－11(舍去)，故 a＝2， k＝10.(2)证明：由(1)得 Sn＝ ＝ n(n＋1)，n 2＋ 2n2则 bn＝ ＝ n＋1，Snn故 bn＋1 － bn＝( n＋2)－( n＋1)＝1，即数列{ bn}是首项为 2，公差为 1 的等差数列，所以 Tn＝ ＝ .n 2＋ n＋ 12 n n＋ 321同步精选测试 等差数列前 n项和的综合应用(建议用时：45 分钟)[基础测试]一、选择题1.等差数列前 n项和为 Sn，若 a3＝4， S3＝9，则 S5－ a5＝( )A.14 B.19 C.28 D.60【解析】 在等差数列{ an}中，a3＝4， S3＝3 a2＝9，∴ a2＝3， S5－ a5＝ a1＋ a2＋ a3＋ a4＝2( a2＋ a3)＝2×7＝14.【答案】 A2.等差数列{ an}的前 n项和记为 Sn，若 a2＋ a4＋ a15的值为确定的常数，则下列各数中也是常数的是( )A.S7 B.S8 C.S13 D.S15【解析】 a2＋ a4＋ a15＝ a1＋ d＋ a1＋3 d＋ a1＋14 d＝3( a1＋6 d)＝3 a7＝3× ＝ × ＝ S13.a1＋ a132 313 13 a1＋ a132 313于是可知 S13是常数.【答案】 C3.已知等差数列的前 n项和为 Sn，若 S130，则此数列中绝对值最小的项为( )A.第 5项 B.第 6项C.第 7项 D.第 8项【解析】 由Error!得Error!所以Error! 故| a6||a7|.【答案】 C4.设等差数列{ an}的前 n项和为 Sn，若 S3＝9， S6＝36，则 a7＋ a8＋ a9等于( ) 【导学号：18082091】A.63 B.45 C.36 D.27【解析】 ∵ a7＋ a8＋ a9＝ S9－ S6，而由等差数列的性质可知， S3， S6－ S3， S9－ S6构成等差数列，所以 S3＋( S9－ S6)＝2( S6－ S3)，即 S9－ S6＝2 S6－3 S3＝2×36－3×9＝45.【答案】 B5.若数列{ an}的前 n项和 Sn＝3 n－2 n2(n∈N ＋ )，则当 n≥2 时，下列不等式成立的是( )A.Sn＞ na1＞ nan B.Sn＞ nan＞ na1C.na1＞ Sn＞ nan D.nan＞ Sn＞ na1【解析】 由 an＝Error!2解得 an＝Error!所以 an＝5－4 n，所以 na1＝ n， nan＝5 n－4 n2.因为 na1－ Sn＝ n－(3 n－2 n2)＝2 n2－2 n＝2 n(n－1)＞0，Sn－ nan＝3 n－2 n2－(5 n－4 n2)＝2 n2－2 n＞0，所以 na1＞ Sn＞ nan.【答案】 C二、填空题6.已知等差数列{ an}的前 n项和 Sn满足 S3＝6， S5＝15，则 Sn＝________. 【导学号：18082092】【解析】 法一：由Error!得Error!解得 a1＝1， d＝1，∴ Sn＝ n×1＋ ×1＝ n2＋ n.n n－ 12 12 12法二：设 Sn＝ An2＋ Bn，∵ S3＝6， S5＝15∴Error! 即Error!解得 A＝ ， B＝ ，∴ Sn＝ n2＋ n.12 12 12 12【答案】 n2＋ n12 127.已知数列{ an}的前 n项和 Sn＝ n2－9 n，第 k项满足 50，∴ a1a2a3a4a5a6＝0， a70， n≥6 时， an0.∴当 n＝5 时， Sn取得最大值.10.若等差数列{ an}的首项 a1＝13， d＝－4，记 Tn＝| a1|＋| a2|＋…＋| an|，求 Tn. 【导学号：18082093】【解】 ∵ a1＝13， d＝－4，∴ an＝17－4 n.当 n≤4 时， Tn＝| a1|＋| a2|＋…＋| an|＝ a1＋ a2＋…＋ an＝ na1＋ d＝13 n＋ ×(－4)n n－ 12 n n－ 12＝15 n－2 n2；当 n≥5 时， Tn＝| a1|＋| a2|＋…＋| an|＝( a1＋ a2＋ a3＋ a4)－( a5＋ a6＋…＋ an)＝ S4－( Sn－ S4)＝2 S4－ Sn＝2× －(15 n－2 n2) 13＋ 1 ×42＝2 n2－15 n＋56.∴ Tn＝Error![能力提升]1.已知等差数列{ an}的前 n项和为 Sn， S4＝40， Sn＝210， Sn－4 ＝130，则 n＝( )A.12 B.14 C.16 D.18【解析】 Sn－ Sn－4 ＝ an＋ an－1 ＋ an－2 ＋ an－3 ＝80，S4＝ a1＋ a2＋ a3＋ a4＝40，所以 4(a1＋ an)＝120， a1＋ an＝30，由 Sn＝ ＝210，得 n＝14.n a1＋ an2【答案】 B42.若数列{ an}满足： a1＝19， an＋1 ＝ an－3( n∈N ＋ )，则数列{ an}的前 n项和数值最大时，n的值为( )A.6 B.7 C.8 D.9【解析】 因为 an＋1 － an＝－3，所以数列{ an}是以 19为首项，－3 为公差的等差数列，所以 an＝19＋( n－1)×(－3)＝22－3 n.设前 k项和最大，则有Error!所以Error! 所以 ≤ k≤ .193 223因为 k∈N ＋ ，所以 k＝7.故满足条件的 n的值为 7.【答案】 B3.设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为 44，偶数项之和为 33，则这个数列的中间项是________，项数是________.【解析】 设等差数列{ an}的项数为 2n＋1，S 奇 ＝ a1＋ a3＋…＋ a2n＋1＝ n＋ 1  a1＋ a2n＋ 12＝( n＋1) an＋1 ，S 偶 ＝ a2＋ a4＋ a6＋…＋ a2n＝n a2＋ a2n2＝ nan＋1 ，所以 ＝ ＝ ，S奇S偶 n＋ 1n 4433解得 n＝3，所以项数 2n＋1＝7，S 奇 － S 偶 ＝ an＋1 ，即 a4＝44－33＝11 为所求中间项.【答案】 11 74.已知数列{ an}的前 n项和为 Sn，数列{ an}为等差数列， a1＝12， d＝－2.(1)求 Sn，并画出{ Sn}(1≤ n≤13)的图象；(2)分别求{ Sn}单调递增、单调递减的 n的取值范围，并求{ Sn}的最大(或最小)的项；(3){Sn}有多少项大于零？【解】 (1) Sn＝ na1＋ d＝12 n＋ ×(－2)＝－ n2＋13 n.图象如图.n n－ 12 n n－ 12(2)Sn＝－ n2＋13 n＝－ ＋ ， n∈N ＋ ，(n－132)2 1694∴当 n＝6 或 7时， Sn最大；当 1≤ n≤6 时，{ Sn}单调递增；当n≥7 时，{ Sn}单调递减.5{Sn}有最大值，最大项是 S6， S7， S6＝ S7＝42.(3)由图象得{ Sn}中有 12项大于零.