2018年秋八年级数学上册 第13章 全等三角形课件+练习（打包33套）（新版）华东师大版.zip

1[13.1 1.命题]一、选择题1．下列属于命题的是( )A．任意一个三角形的内角和一定是 180°吗B．请你把书递过来C．负数与正数的和一定是负数D． C 是线段 AB 的中点吗2．命题“同角的余角相等”中的“同角的余角”( )A．是条件B．是结论C．既是条件，也是结论D．既不是条件，也不是结论3．下列命题为真命题的是( )A．若 a2＝ b2，则 a＝ bB．等角的补角相等C． n 边形的外角和为( n－2)·180°D．16 的平方根是 44．2017·无锡对于命题“若 a2＞ b2，则 a＞ b.”下面四组关于 a， b 的值中，能说明这个命题是假命题的是( )A． a＝3， b＝2 B． a＝－3， b＝2C． a＝3， b＝－1 D． a＝－1， b＝3二、填空题5．命题“六边形的外角和等于 360°”的条件是____________________，结论是____________________，它是________(填“真”或“假”)命题．26．2017·泉州师院附属鹏峰中学期中命题“等角的余角相等”的条件是“两个角相等”，则结论是____________________．7．下列命题中，假命题的序号是________．①实数与数轴上的点一一对应；②等腰三角形有两条边相等；③对任意实数 x，存在实数 y，使 x＋ y＞0；④合数不可能是奇数. 链 接 听 课 例 3归 纳 总 结三、解答题8．下列语句是命题吗？其中的命题是真命题还是假命题？并举出反例说明其中的假命题．(1)如果 m＋ n＞0，那么 m＞0， n＞0.(2)如果 a＝5，那么 a2＝25.(3)任何一个角的补角都不小于这个角．(4)起立！ 链 接 听 课 例 1归 纳 总 结9．把下列命题改写成“如果……，那么……”的形式．(1)平行于同一条直线的两条直线平行；(2)任意两个直角都相等. 链 接 听 课 例 2归 纳 总 结10．对于同一平面内的三条直线 a， b， c，给出下列五个论断：① a∥ b；② b∥ c；③ a⊥ b；④ a∥ c；⑤ a⊥ c.以其中两个论断作为条件，一个论断作为结论，组成一个你认为正确的命题．3数学应用 A， B， C， D 四支足球队分在同一小组进行单循环足球比赛，争夺出线权，比赛规则规定：胜一场得 3 分，平一场得 1 分，负一场得 0 分，小组中积分最高的两个队(有且只有两个队)出线，小组赛结束后，如果 A 队没有全胜，那么 A 队的积分至少要几分才能保证一定出线？请说明理由．(注：单循环比赛就是小组内的每一个队都要和其他队赛一场)4详解详析【课时作业】[课堂达标]1．C2．A [解析] 命题的条件是“同角的余角” ，结论是“相等” ．3．[解析] B A 项，若 a2＝ b2，则 a＝± b，此选项错误；B 项，等角的补角相等，此选项正确；C 项， n 边形的外角和为 360°，此选项错误；D 项，16 的平方根是±4，此选项错误．故选 B.4．B [解析] 当 a＝－3， b＝2 时， a2＞ b2，但 a＜ b.5. 一个多边形是六边形它的外角和等于 360° 真6．它们的余角相等7．④8．解：(1)是命题，且是假命题．反例不唯一，如 m＝3， n＝－1.(2)是命题，且是真命题．(3)是命题，且是假命题．反例不唯一，如∠ α ＝100°，∠ α 的补角∠ β ＝80°，但∠ β ＜∠ α .(4)不是命题．9．解：(1)如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行．(2)如果两个角都是直角，那么这两个角相等．10．[导学号：90702248][解析] 此题是探索性问题，依题意就是要在题中的五个论断中选取两个作为条件，再在剩下的论断中选取一个作为结论，组成一个真命题．例如：将①②作为条件，④作为结论得到一个真命题；将③⑤作为条件，②作为结论得到一个真命题等．5解：如果 a∥ b， b∥ c，那么 a∥ c(或如果 a⊥ b， a⊥ c，那么 b∥ c 等，答案不唯一)．[素养提升][导学号：90702249]解：至少要 7 分才能保证一定出线．理由如下：每队都进行 3 场比赛，本组进行 6 场比赛．若 A 队两胜一平，则积 7 分，此时其他队的积分不可能是 9 分，依据规则，不可能有球队积 8 分，每场比赛，两队得分的和是 3 分或 2 分．6 场比赛两队的得分之和最少是 12 分，最多是 18 分，∴最多只有两个队得 7 分．∴积 7 分保证一定出线．若 A 队两胜一负，积 6 分．如表格所示，根据规则，这种情况下， A 队不一定出线．同理，当 A 队积分是 5 分，4 分，3 分，2 分时不一定出线．总之，至少 7 分才能保证一定出线．1[13.1 2.定理与证明]一、选择题1．能用推理的方法证明的真命题是( )A．定义 B．基本事实 C．定理 D．以上都对2．下列说法中错误的是( )A．所有的命题都是定理B．定理是真命题C．有的定理可作为证明其他定理的依据D．证实命题正确与否的推理过程叫证明3．下列命题中能作为推理依据的是( )A．相等的角是对顶角B．两直线被第三条直线所截，内错角相等C．若 m2＝ n2，则 m＝ nD．等角的余角相等二、填空题4．如图 K－22－1 所示，用直尺和三角尺作直线 AB， CD，从图中可知，直线 AB 与 CD的位置关系为________，根据是______________________．图 K－22－1图 K－22－225．如图 K－22－2 所示，已知 AB∥ DC， AE 平分∠ BAD， CD 与 AE 相交于点F，∠ CFE＝∠ E.试说明 AD∥ BC.完成下列推理过程：∵ AB∥ DC(已知)，∴∠1＝∠ CFE(______________________)．∵ AE 平分∠ BAD(已知)，∴∠1＝∠2(角平分线的定义)．∵∠ CFE＝________(已知)，∴∠2＝∠ E(等量代换)，∴ AD∥ BC(________________________)．三、解答题6．在学习中，莉莉发现：当 n＝1，2，3 时， n2－6 n 的值都是负数．于是莉莉猜想：当 n 为任意正整数时，n2－6 n 的值都是负数．莉莉的猜想正确吗？请简要说明你的理由.链 接 听 课 例 2归 纳 总 结7．如图 K－22－3，已知∠ A＝∠1，∠ C＝∠ F， A， D， B， E 在一条直线上．求证：BC∥ EF.链 接 听 课 例 3归 纳 总 结3图 K－22－38．在学习了平行线的性质以后，我们可以用几何推理的方法证明“三角形的内角和等于 180°”．已知：△ ABC 如图 K－22－4 所示．求证：∠ A＋∠ B＋∠ C＝180°.链 接 听 课 例 4归 纳 总 结图 K－22－4模型思想有一个身高 1.9 米的大个子说，自己的步子大，一步能跨三米多，你相信吗？(1)你觉得可以用哪些知识或者哪些定理来研究这个问题？请具体写出来；(2)请你给出自己的结论，并提供推理过程．4详解详析【课时作业】[课堂达标]1． C 2. A 3. D4．平行 同位角相等，两直线平行5．两直线平行，同位角相等 ∠E 内错角相等，两直线平行6．[解析] 根据因式分解，可得 n2－6n＝n(n－6)，再分类讨论，可得答案．解：莉莉的猜想不正确．理由如下：∵n 2－6n＝n(n－6)，当 n≤0 或 n≥6 时，n 2－6n≥0，∴莉莉的猜想不正确．7．证明：∵在△ACB 和△DFE 中，∠A＝∠1，∠C＝∠F，∴∠ABC＝∠E，∴BC∥EF.8．证明：如图，作 BC 的延长线 CD，过点 C 作 CE∥AB.因为 CE∥AB，所以∠A＝∠ACE(两直线平行，内错角相等)，∠B＝∠DCE(两直线平行，同位角相等)．又因为∠ACB＋∠ACE＋∠DCE＝180°(平角的定义)，所以∠A＋∠B＋∠ACB＝180°.[素养提升][全品导学号：90702251]5解：(1)可以运用三角形的三边关系来研究这个问题．(2)人的两腿可以看作两条线段，走的步子也可看作线段，则这三条线段正好成为一个三角形的三边，所以这三条线段的长度应满足三角形三边关系定理．如果此人一步能走三米多，由三角形的三边关系定理，得此人两腿长的和＞三米多，这与实际情况不符，所以他一步不能走三米多．1[13.2 1.全等三角形 2.全等三角形的判定条件]一、选择题1．已知△ ABC≌△ DEF，且∠ A与∠ D是对应角，∠ C与∠ F是对应角，则下列说法中正确的是( )A． AC与 DF是对应边 B． AC与 DE是对应边C． AC与 EF是对应边 D．不能确定2．下列说法正确的有 ( )链 接 听 课 例 3归 纳 总 结(1)如果两个三角形的一个角对应相等，那么它们全等；(2) 如果两个三角形有一边相等，那么它们全等； (3)如果两个三角形的三个角对应相等，那么它们全等；(4)如果两个三角形的两边对应相等，那么它们全等；(5)如果两个三角形的三个角对应相等，三条边也对应相等，那么它们全等．A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个3．2017·长春朝阳期中如图 K－23－1，△ABE≌△ACF.若 AB＝5，AE＝2，则 CE的长度是( )A．2 B．3 C．25 D．5图 K－23－14.如图 K－23－2，在△ABC 中，∠BAC＝90°，将△ABC 绕点 C按逆时针方向旋转 48°得到△A′B′C，点 A在边 B′C 上，则∠B′的度数为( )2图 K－23－2A．42° B．48° C．52° D．58°二、填空题5．如图 K－23－3，△ABC≌△A′B′C′，其中∠A＝36°，∠C′＝24°，则∠B 的度数为________．图 K－23－3.如图 K－23－4，△ADE≌△CBF，若 AD＝8 cm，CD＝5 cm，则 BD的长为________．图 K－23－4三、解答题7．如图 K－23－5，图中的两个三角形是全等三角形，其中 A和 D，B 和 E是对应点．(1)用符号“≌”表示这两个三角形全等(要求对应顶点写在对应位置上)；(2)写出图中相等的线段和相等的角；(3)写出图中互相平行的线段，并说明理由．链 接 听 课 例 1归 纳 总 结3图 K－23－58．如图 K－23－6 所示，将长方形 ABCD沿 AE折叠，使点 D落在 BC边上的点 F处，∠EAF＝15°，求∠FEC 的度数. 链 接 听 课 例 2归 纳 总 结图 K－23－6如图 K－23－7，△ADC≌△AFB，∠DAB＝20°，DA∥BF，DC，BF 交于点E，∠FEC＝110°.(1)求∠FAC 的度数；(2)AF∥DC 吗？请说明理由；(3)求∠BAC 的度数．图 K－23－745详解详析【课时作业】[课堂达标]1． A2． A3．[解析] B ∵△ABE≌△ACF，∴AB＝AC＝5，∴CE＝AC－AE＝5－2＝3.4．[解析] A ∵在△ABC 中，∠BAC＝90°，将△ABC 绕点 C按逆时针方向旋转 48°得到△A′B′C，∴∠A′＝∠BAC＝90°，∠ACA′＝48°，∴∠B′＝90°－∠ACA′＝42°.故选 A.5．120°6．[答案] 3 cm[解析] ∵△ADE≌△CBF，∴AD＝CB.又∵AD＝AC＋CD，CB＝BD＋CD，∴BD＝AC＝AD－CD＝3 cm.故 BD的长为 3 cm.7．解：(1)△ABC≌△DEF.(2)相等的线段：AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF，AF＝DC；相等的角：∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠ACB＝∠DFE，∠BCD＝∠EFA.(3)BC∥EF，AB∥DE.理由：∵△ABC≌△DEF，∴∠A＝∠D，∠ACB＝∠DFE，∴AB∥DE，BC∥EF.8．[导学号：90702252]解：由题意知△AFE 与△ADE 关于直线 AE对称，∴△AFE≌△ADE，6∴∠EAF＝∠EAD，∠AEF＝∠AED.又∵∠EAF＝15°，∴∠EAD＝15°，∴∠AED＝180°－90°－15°＝75°，∴∠AEF＝75°，∴∠FEC＝180°－75°－75°＝30°.[素养提升][导学号：90702253]解：(1)∵△ADC≌△AFB，∴∠DAC＝∠FAB，∴∠DAC－∠BAC＝∠FAB－∠BAC，∴∠FAC＝∠DAB＝20°.(2)AF∥DC.理由：∵DA∥BF，∴∠DAF＋∠F＝180°.∵△ADC≌△AFB，∴∠D＝∠F，∴∠DAF＋∠D＝180°，∴AF∥DC.(3)∵AF∥DC，∴∠F＝∠FEC＝110°.∵AD∥BF，∴∠DAF＋∠F＝180°，∴∠DAF＝180°－110°＝70°，∴∠BAC＝∠DAF－∠DAB－∠FAC＝70°－20°－20°＝30°.1[13.2 3.边角边]一、选择题1．如图 K－24－1，下列三角形中一定全等的是( )图 K－24－1A．①② B．②③ C．③④ D．①④2．如图 K－24－2， BC＝ EC， AC＝ DC，要判定△ ABC≌△ DEC，则应该添加的条件是( )图 K－24－2A．∠ BCE＝∠ ACD B．∠ BCE＝∠ ACEC．∠ A＝∠ D D．∠ B＝∠ E3．如图 K－24－3， AD＝ AC， AB 平分∠ DAC，下列结论错误的是 ( )链 接 听 课 例 1归 纳 总 结图 K－24－3A．△ ADB≌△ ACB B．△ ADE≌△ ACEC．△ EDB≌△ ECB D．△ AED≌△ CEB4．如图 K－24－4 所示，已知 AB∥ DE， AB＝ DE， BE＝ CF，∠ B＝32°，∠ A＝78°，则∠ F 等于( )2图 K－24－4A．55° B．65° C．60° D．70°二、填空题5．2017·泉州师院附属鹏峰中学期中如图 K－24－5， AC＝ AD，请你添加一个条件，可以根据“边角边”判定△ ADB≌△ ACB，你所添加的条件是____________________．图 K－24－56．如图 K－24－6，一块三角形玻璃碎成了Ⅰ、Ⅱ两块，现需购买同样大小的一块三角形玻璃，为方便起见，只需带上第________块玻璃碎片去玻璃店即可.链 接 听 课 例 3归 纳 总 结图 K－24－67．如图 K－24－7 所示，已知 AD∥ BC，则∠1＝∠2，理由是____________________；又知 AD＝ BC， AC 为公共边，所以△ ADC≌△ CBA，理由是________________，则∠ DCA＝∠ BAC，理由是________________，则 AB∥ DC，理由是____________________．图 K－24－78．已知：如图 K－24－8，△ ABC 中，∠ B＝∠ C＝50°， BD＝ CF， BE＝ CD，则∠ EDF＝________°.3图 K－24－8三、解答题9．2016·重庆如图 K－24－9，在△ ABC 和△ CED 中， AB∥ CD， AB＝ CE， AC＝ CD.求证：∠ B＝∠ E.链 接 听 课 例 2归 纳 总 结图 K－24－910．如图 K－24－10， C 是线段 AB 的中点， CD＝ BE， CD∥ BE.求证：∠ D＝∠ E.图 K－24－1011．如图 K－24－11， O 是线段 AB 和线段 CD 的中点．求证：(1)△ AOD≌△ BOC；(2)AD∥ BC.图 K－24－11412．如图 K－24－12，已知点 B， E， C， F 在一条直线上， AB＝ DF， AC＝ DE，∠ A＝∠ D.(1)求证： AC∥ DE；(2)若 BF＝13， EC＝5，求 BC 的长．图 K－24－1213．如图 K－24－13，在△ ABC 中，已知 AB＝ AC， AD 平分∠ BAC，点 M， N 分别在AB， AC 边上， AM＝2 MB， AN＝2 NC.求证： DM＝ DN.图 K－24－1314．已知：如图 K－24－14， AB⊥ BD 于点 B， DE⊥ BD 于点 D，点 C 在 BD 上，且BC＝ DE， CD＝ AB，试判断 AC 与 CE 的位置关系，并说明理由．图 K－24－14515．2017·温州如图 K－24－15，在五边形 ABCDE 中，∠ BCD＝∠ EDC＝90°，BC＝ ED， AC＝ AD.(1)求证：△ ABC≌△ AED；(2)当∠ B＝140°时，求∠ BAE 的度数．图 K－24－15数学应用如图 K－24－16，公园有一条“Z”字形道路，其中 AB∥ CD，在 E， M， F 处各有一个小石凳，且 BE＝ CF， M 为 BC 的中点，则三个小石凳是否在一条直线上？说出你推断的理由．图 K－24－1667详解详析【课时作业】[课堂达标]1． A 2. A 3. D4． D [解析] 因为 AB∥DE，所以∠B＝∠DEF.又由 BE＝CF 知 BC＝EF.结合 AB＝DE，可由“ S.A.S.”判定△ABC≌△DEF，所以∠F＝∠ACB＝180°－(∠A＋∠B)＝180°－(78°＋32°)＝70°.5．∠CAB＝∠DAB6．Ⅰ7．两直线平行，内错角相等 S． A.S. 全等三角形的对应角相等 内错角相等，两直线平行8．[答案] 50[解析] 由“ S.A.S.”可知△BDE≌△CFD，∴∠BED＝∠CDF.∵∠EDF＝∠EDC－∠CDF，∠B＝∠EDC－∠BED，∴∠EDF＝∠B＝50°.9．证明：∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ECD.在△ABC 和△CED 中，∵AB＝CE，∠BAC＝∠ECD，AC＝CD，∴△ABC≌△CED( S.A.S.)，∴∠B＝∠E.10．证明：∵C 是线段 AB 的中点，∴AC＝CB.∵CD∥BE，∴∠ACD＝∠B.在△ACD 和△CBE 中，∵AC＝CB，∠ACD＝∠B，CD＝BE，8∴△ACD≌△CBE( S.A.S.)，∴∠D＝∠E.11．证明：(1)∵O 是线段 AB 和线段 CD 的中点，∴AO＝BO，CO＝DO.在△AOD 和△BOC 中，∵AO＝BO，∠AOD＝∠BOC，DO＝CO，∴△AOD≌△BOC( S.A.S.)．(2)∵△AOD≌△BOC，∴∠A＝∠B，∴AD∥BC.12．解：(1)证明：在△ABC 和△DFE 中，∵AB＝DF，∠A＝∠D，AC＝DE，∴△ABC≌△DFE( S.A.S.)，∴∠ACE＝∠DEF，∴AC∥DE.(2)∵△ABC≌△DFE，∴BC＝FE，∴BC－EC＝FE－EC，即 EB＝CF.∵BF＝13，EC＝5，∴EB＝ ＝4，13－ 52∴BC＝EB＋EC＝4＋5＝9.13．证明：∵AM＝2MB，AN＝2NC，∴AM＝ AB，AN＝ AC.23 23又∵AB＝AC，∴AM＝AN.∵AD 平分∠BAC，∴∠MAD＝∠NAD.在△AMD 和△AND 中，∵AM＝AN，∠MAD＝∠NAD, AD＝AD，9∴△AMD≌△AND( S.A.S.)，∴DM＝DN.14．解：AC⊥CE.理由如下：∵如图，AB⊥BD，DE⊥BD，∴∠B＝∠D＝90°.在△ABC 和△CDE 中，∵AB＝CD，∠B＝∠D，BC＝DE，∴△ABC≌△CDE( S.A.S.)，∴∠1＝∠2.∵∠1＋∠3＝90°，∴∠2＋∠3＝90°，∴∠ACE＝90°，即 AC⊥CE.15．解：(1)证明：∵AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC.又∵∠BCD＝∠EDC＝90°，∴∠BCD－∠ACD＝∠EDC－∠ADC，即∠BCA＝∠EDA.在△ABC 和△AED 中，∵BC＝ED，∠BCA＝∠EDA，AC＝AD，∴△ABC≌△AED( S.A.S.)．(2)由△ABC≌△AED，得∠B＝∠E＝140°.∵五边形的内角和为(5－2)×180°＝540°，∴∠BAE＝540°－2×140°－2×90°＝80°.[素养提升][导学号：90702255]解：三个小石凳在一条直线上．10理由如下：连结 EM，MF，∵M 为 BC 的中点，∴BM＝CM.又∵AB∥CD，∴∠EBM＝∠FCM.在△BEM 和△CFM 中，∵BE＝CF，∠EBM＝∠FCM，BM＝CM，∴△BEM≌△CFM( S.A.S.)，∴∠BME＝∠CMF.又∵∠BMF＋∠CMF＝180°，∴∠BMF＋∠BME＝180°，∴E，M，F 在一条直线上．1[13.2 4. 第 1 课时 角边角]一、选择题1．如图 K－25－1 所示，四个三角形中，能构成全等三角形的是( )图 K－25－1A．②与③ B．②与④C．①与② D．③与④2．如图 K－25－2，已知∠ C＝∠ E， AC＝ AE，欲利用“A.S.A.”证明△ ABC≌△ ADE，只需补充一个条件，这个条件是( )A． AB＝ AD B． BC＝ DEC．∠1＝∠2 D．以上都不对图 K－25－23．如图 K－25－3，某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带________去( )图 K－25－3链 接 听 课 例 2归 纳 总 结2A．① B．② C．③ D．①和②二、填空题4．如图 K－25－4，点 B， C， F， E 在同一条直线上，∠1＝∠2， BC＝ FE，若要根据“角边角”判定△ ABC≌△ DEF，则需添加的条件是________(只需写出一个)．图 K－25－45．2016·河南禹州期中如图 K－25－5 所示，Rt△ ABC 中，∠ ACB＝90°， BC＝2 cm， CD⊥ AB 于点 D，在 AC 上取一点 E，使 EC＝ BC，过点 E 作 EF⊥ AC，交 CD 的延长线于点F，若 EF＝5 cm，则 AE＝________cm.图 K－25－5三、解答题6．如图 K－25－6，点 B， D， C， E 在同一条直线上， DB＝ CE， AB∥ EF， AC∥ FD，求证：AB＝ FE， AC＝ FD.链 接 听 课 例 1归 纳 总 结图 K－25－637．2017·长春朝阳期中如图 K－25－7，点 B， C， D 在同一条直线上，AB⊥ BD， DE⊥ BD， AC⊥ CE， AB＝ CD.(1)求证：△ ABC≌△ CDE；(2)若 AB＝2， DE＝3，求 BD 的长．图 K－25－7如图 K－25－8 所示，太阳光线 AB 和 A′ B′是平行的，地面上甲、乙两人在阳光照射下的影子一样长，那么甲、乙一样高吗？说明理由．图 K－25－84详解详析【课时作业】[课堂达标]1. D 2. C 3. C4．∠B＝∠E(答案不唯一)5．[答案] 3[解析] 由条件知△ABC≌△FCE，∴AC＝FE，则 AE＝5－2＝3( cm)．6．[导学号：90702256]证明：∵AB∥EF，AC∥FD，∴∠B＝∠E，∠ACB＝∠FDE.∵BD＝CE，∴BD＋DC＝CE＋DC，即 BC＝ED.又∠B＝∠E，∠ACB＝∠FDE，∴△ABC≌△FED( A.S.A)，∴AB＝FE，AC＝FD.7．解：(1)证明：∵AB⊥BD，DE⊥BD，AC⊥CE，∴∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，∴∠BAC＋∠ACB＝90°，∠ACB＋∠DCE＝90°，∴∠BAC＝∠DCE.又∵AB＝CD，∴△ABC≌△CDE.(2)∵△ABC≌△CDE，∴DE＝BC＝3，CD＝AB＝2，∴BD＝5.[素养提升][导学号：90702257]5解：一样高．理由如下：如图，分别过点 A，A′作 AC⊥BB′，交直线 BB′于点 C，A′C′⊥BB′，交 BB′于点 C′，则∠ACB＝∠A′C′B′＝90°，BC＝B′C′.又∵AB∥A′B′，∴∠ABC＝∠A′B′C′.在△ABC 和△A′B′C′中，∵∠ACB＝∠A′C′B′，BC＝B′C′，∠ABC＝∠A′B′C′，∴△ABC≌△A′B′C′( A.S.A.)，∴AC＝A′C′，即甲、乙两人一样高．1[13.2 4. 第 2 课时 角角边]一、选择题1．如图 K－26－1， EA∥ DF， EA＝ DF，要使△ ACE≌△ DBF，则只要( )A． AB＝ BC B． EC＝ BFC．∠ A＝∠ D D．∠ ECB＝∠ FBC图 K－26－12．2017·内江期末如图 K－26－2 所示，点 A 在 DE 上，点 F 在 AB 上，且AC＝ CE，∠1＝∠2＝∠3，则 DE 的长等于( )图 K－26－2A． AC B． BCC． AB＋ AC D． AB二、填空题3．如图 K－26－3，在△ ABC 中， AD⊥ BC， CE⊥ AB，垂足分别为 D， E.AD， CE 交于点H，请你添加一个适当的条件：________，使△ AEH≌△ CEB.图 K－26－324．如图 K－26－4， A， E 两点在线段 DB 上，若DF∥ AC，∠ C＝∠ F， EF＝ BC， BE＝4， AE＝1，则 DE 的长是________．图 K－26－4三、解答题5．2017·简阳镇金学区期中如图 K－26－5，点 C， F 在 BE 上，∠ A＝∠ D， AC∥ DF， BF＝ EC.你知道 AB 与 DE 有什么关系吗？请说明理由．图 K－26－56．如图 K－26－6， AD 是一段斜坡， AB 是水平线，现为了测斜坡上一点 D 的竖直高度DB 的长度，欢欢在 D 处立上一竹竿 CD，并保证 CD⊥ AD，然后在竿顶 C 处垂下一根绳 CE，与斜坡的交点为 E，他调整好绳子 CE 的长度，使得 CE＝ AD，此时他测得 DE＝2 米，求 DB的长度．图 K－26－6推理探究如图 K－26－7①，在直角三角形 ABC 中，∠ BAC＝90°， AD⊥ BC 于点 D，可3知：∠ BAD＝∠ C(不需要证明)；(1)如图②，∠ MAN＝90°，射线 AE 在这个角的内部，点 B， C 分别在∠ MAN 的边AM， AN 上，且 AB＝ AC， CF⊥ AE 于点 F， BD⊥ AE 于点 D.求证：△ ABD≌△ CAF；(2)如图③，点 B， C 分别在∠ MAN 的边 AM， AN 上，点 E， F 在∠ MAN 内部的射线 AD 上，∠1，∠2 分别是△ ABE，△ CAF 的外角．已知 AB＝ AC，∠1＝∠2＝∠ BAC.求证：△ ABE≌△CAF.图 K－26－74详解详析【课时作业】[课堂达标]1． D2． D [解析] 由∠1＝∠2，∠DFA＝∠BFC，可得∠D＝∠B.由∠2＝∠3 可得∠ACB＝∠ECD.又∵AC＝EC，∴△ABC≌△EDC，∴DE＝AB.3．AH＝CB 或 EH＝EB 或 AE＝CE4．55．AB 与 DE 平行且相等．理由如下：∵AC∥DF，∴∠ACB＝∠DFE.∵BF＝EC，∴BC＝EF.在△ABC 和△DEF 中，∵∠A＝∠D，∠ACB＝∠DFE，BC＝EF，∴△ABC≌△DEF.∴AB＝DE，∠B＝∠E，∴AB∥ED(内错角相等，两直线平行)，∴AB 与 DE 平行且相等．6．[导学号：90702258]解：如图，延长 CE 交 AB 于点 F.则∠A＋∠1＝90°.∵CD⊥AD，∠C＋∠2＝90°，5而∠1＝∠2(对顶角相等)，∴∠A＝∠C.在△ABD 和△CDE 中，∵∠A＝∠C，∠ABD＝∠CDE＝90°，AD＝CE，∴△ABD≌△CDE( A.A.S)，∴DB＝DE.∵DE＝2 米，∴DB 的长度是 2 米．[素养提升][导学号：90702259]证明：(1)∵CF⊥AE，BD⊥AE，∠MAN＝90°，∴∠BDA＝∠AFC＝90°，∴∠ABD＋∠BAD＝90°，∠BAD＋∠CAF＝90°，∴∠ABD＝∠CAF.在△ABD 和△CAF 中，∵∠ADB＝∠CFA，∠ABD＝∠CAF，AB＝CA，∴△ABD≌△CAF( A.A.S.)．(2)∵∠1＝∠2＝∠BAC，∠1＝∠BAE＋∠ABE，∠BAC＝∠BAE＋∠CAF，∠2＝∠ACF＋∠CAF，∴∠ABE＝∠CAF，∠BAE＝∠ACF.在△ABE 和△CAF 中，∵∠ABE＝∠CAF，AB＝CA，∠BAE＝∠ACF，∴△ABE≌△CAF( A.S.A.)．11[13.2 5.边边边]一、选择题1．工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图 K－27－1，∠ AOB 是一个任意角，在边 OA， OB 上分别取 OM＝ ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点 M， N 重合，过角尺顶点 C 作射线 OC.由做法得△ MOC≌△ NOC 的依据是( )A．A.A.S. B．S.A.S.C．A.S.A. D．S.S.S.图 K－27－12．2017·长泰期中如图 K－27－2，在四边形 ABCD 中， AB＝ AD， CB＝ CD，若连接AC， BD 相交于点 O，则图中全等三角形共有( )图 K－27－2A．1 对 B．2 对C．3 对 D．4 对二、填空题3．如图 K－27－3 所示，已知 AC＝ BD，要使△ ABC≌△ DCB，则只需添加一个适当的条件是________________________________________________________________________(填一个即可)．2图 K－27－34．2017·简阳镇金学区期中已知，如图 K－27－4， AD＝ AC， BD＝ BC， O 为 AB 上一点，那么，图中共有________对全等三角形．图 K－27－45．如图 K－27－5，在△ ABC 与△ DEF 中，给出以下 6 个条件：(1) AB＝ DE；(2)BC＝ EF；(3) AC＝ DF；(4)∠ A＝∠ D；(5)∠ B＝∠ E；(6)∠ C＝∠ F.以其中三个作为已知条件，能判定△ ABC 与△ DEF 全等的是________．(填序号，填一种情况即可)链 接 听 课 例 2归 纳 总 结图 K－27－5三、解答题6．2016·福州一个平分角的仪器如图 K－27－6 所示，其中 AB＝ AD， BC＝ DC.求证：∠ BAC＝∠ DAC.链 接 听 课 例 1归 纳 总 结图 K－27－637．2016·武汉如图 K－27－7，点 B， E， C， F 在同一条直线上，AB＝ DE， AC＝ DF， BE＝ CF，求证： AB∥ DE.图 K－27－78．如图 K－27－8， AB＝ AC， AD＝ AE， BD＝ CE.求证：∠ BAC＝∠ DAE.图 K－27－849.2016·河北如图 K－27－9，点 B， F， C， E 在直线 l 上( F， C 之间不能直接测量)，点A， D 在 l 异侧，测得 AB＝ DE， AC＝ DF， BF＝ EC.(1)求证：△ ABC≌△ DEF；(2)指出图中所有平行的线段，并说明理由．图 K－27－910．2017·河南南阳淅川期中雨伞的中截面如图 K－27－10 所示，伞骨 AB＝ AC，支撑杆 OE＝ OF， AE＝ AB， AF＝ AC，当点 O 沿 AD 滑动时，雨伞开闭，则雨伞开闭过程中，13 13∠ BAD 与∠ CAD 有何关系？说明理由．图 K－27－1011．如图 K－27－11，已知点 B， F， C， E 在同一条直线上， FB＝ CE， AC＝ DF，能否由上面的已知条件证明 AB∥ ED？如果能，请给出证明；如果不能，请从下列 3 个条件中选择一个合适的条件，添加到已知条件中，使 AB∥ ED 成立，并给出证明：供选择的 3 个条件：① AB＝ DE；②∠ A＝∠ D；③∠ ACB＝∠ DFE.图 K－27－115开放创新在一次数学课上，王老师在黑板上画出图 K－27－12 所示的图形，并写下了四个等式：① AB＝ DC；② BD＝ CA；③∠ B＝∠ C；④∠ BAE＝∠ CDE.要求同学们从这四个等式中选出两个作为条件，推出∠ BDA＝∠ CAD.请你试着完成王老师提出的要求，并说明理由．(写出一种即可)已知： 链 接 听 课 例 2归 纳 总 结图 K－27－12求证：∠ BDA＝∠ CAD.证明：6详解详析【课时作业】[课堂达标]1．[解析] D ∵OM＝ON，CM＝CN，OC 为公共边，∴△MOC≌△NOC( S.S.S.)．2．[解析] C 由条件可得△ABC≌△ADC，△AOB≌△AOD，△COB≌△COD.3．AB＝DC 或∠ACB＝∠DBC4．[答案] 3[解析] 由条件可以得出△ABC≌△ABD，△ACO≌△ADO，△BCO≌△BDO.5．[导学号：90702260]答案不唯一，如(1)(2)(3)6．证明：在△ABC 和△ADC 中，∵AB＝AD，BC＝DC，AC＝AC，∴△ABC≌△ADC，∴∠BAC＝∠DAC.7．证明：∵BE＝CF，∴BE＋EC＝CF＋EC，即 BC＝EF.在△ABC 与△DEF 中，∵AB＝DE，AC＝DF，BC＝EF，∴△ABC≌△DEF( S.S.S.)，∴∠ABC＝∠DEF，∴AB∥DE.8．证明：在△BAD 和△CAE 中，∵AB＝AC，AD＝AE，BD＝CE，∴△BAD≌△CAE( S.S.S.)，∴∠BAD＝∠CAE，7∴∠BAD＋∠DAC＝∠CAE＋∠DAC，即∠BAC＝∠DAE.9．解：(1)证明：∵BF＝CE，∴BF＋FC＝FC＋CE，即 BC＝EF.在△ABC 和△DEF 中，∵AB＝DE，AC＝DF，BC＝EF，∴△ABC≌△DEF.(2)结论：AB∥DE，AC∥DF.理由：∵△ABC≌△DEF，∴∠ABC＝∠DEF，∠ACB＝∠DFE，∴AB∥DE，AC∥DF.10．解：雨伞开闭过程中二者关系始终是∠BAD＝∠CAD.理由如下：∵AB＝AC，AE＝ AB，AF＝ AC，∴AE＝AF.13 13在△AOE 与△AOF 中，∵AE＝AF，AO＝AO，OE＝OF，∴△AOE≌△AOF( S.S.S.)，∴∠BAD＝∠CAD.11．解：不能．选择条件①AB＝DE(还可选择条件③，但不能选择条件②)证明：∵FB＝CE，∴FB＋FC＝CE＋FC，即 BC＝EF.在△ABC 和△DEF 中，8∵AC＝DF，BC＝EF，AB＝DE，∴△ABC≌△DEF( S.S.S.)，∴∠B＝∠E，∴AB∥DE.[素养提升][导学号：90702262]解：答案不唯一，比如：已知：①AB＝DC，②BD＝CA.证明：因为 AB＝DC，BD＝CA，AD＝DA，所以△ABD≌△DCA，所以∠BDA＝∠CAD.1[13.2 6.斜边直角边]一、选择题1．在下列条件中不能判定直角三角形全等的是( )A．两条直角边分别相等B．斜边和一个锐角分别相等C．两个锐角分别相等D．斜边和一条直角边分别相等2．如图 K－28－1，∠ A＝∠ D＝90°， AC＝ DB，则判定△ ABC≌△ DCB 的依据是( )A．H.L. B．A.S.A.C．A.A.S. D．S.A.S.图 K－28－13．如图 K－28－2，若要用“H.L.”证明 Rt△ ABC≌Rt△ ABD，则还需补充条件( )图 K－28－2A．∠ BAC＝∠ BADB． AC＝ AD 或 BC＝ BDC．∠ ABC＝∠ ABDD．以上都不正确24．如图 K－28－3，已知 BC⊥ CA， ED⊥ AB， BD＝ BC， AE＝8 cm， DE＝6 cm，则 AC 等于( )A．10 cm B．12 cmC．14 cm D．16 cm图 K－28－35．如图 K－28－4，在△ ABC 中， P 是 BC 上的点，作 PR⊥ AB， PS⊥ AC，垂足分别是R， S，若 PR＝ PS，下面三个结论：① AS＝ AR；② RB＝ SC；③ PB＝ PC.其中正确的有( )图 K－28－4A．3 个 B．2 个C．1 个 D．0 个二、填空题6．在△ ABC 与△ A′ B′ C′中，∠ C＝∠ C′＝90°， BC＝ B′ C′，再添加一个条件，使△ ABC≌△ A′ B′ C′，写出所有可能添加的条件：________________________________．7．如图 K－28－5，在四边形 ABCD 中， AD＝ CB， DE⊥ AC 于点 E， BF⊥ AC 于点 F，且DE＝ BF，则图中的全等三角形共有________对，其中可根据“H.L.”推出的全等三角形有________对．图 K－28－58．如图 K－28－6 所示，有一个直角三角形 ABC，∠ C＝90°， AC＝10 cm， BC＝5 cm， P， Q 两点分别在 AC 和过点 A 且垂直于 AC 的射线 AM 上运动，线段 PQ＝ AB，当3AP＝________cm 时，才能使△ ABC≌△ QPA图 K－28－6三、解答题9．如图 K－28－7 所示，已知△ ABC 中， AD 是∠ BAC 的平分线，且BD＝ CD， DE⊥ AB， DF⊥ AC，垂足分别为 E， F.试说明 EB＝ FC.链 接 听 课 例 1归 纳 总 结图 K－28－710．如图 K－28－8，点 E， A， D， B 在同一条直线上，CA⊥ EB， FD⊥ EB， CA＝ FD， CE＝ FB.求证： BC＝ EF.图 K－28－811．如图 K－28－9，已知 AD， AF 分别是钝角三角形 ABC 和钝角三角形 ABE 的高，如果 AD＝ AF， AC＝ AE，求证： BC＝ BE.图 K－28－9412．如图 K－28－10，已知在△ ABC 和△ A′ B′ C′中， CD， C′ D′分别是边AB， A′ B′上的高，并且 AC＝ A′ C′， CD＝ C′ D′，∠ ACB＝∠ A′ C′ B′.求证：△ ABC≌△ A′ B′ C′.图 K－28－10【拓展运用】2017·河南期中学习了三角形全等的判定方法(“S.A.S.” “A.S.A.”“A.A.S.”“S.S.S.”)和直角三角形全等的判定方法(“H.L.”)后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．5【初步思考】我们不妨将问题用符号语言表示：△ ABC 和△ DEF 中， AC＝ DF， BC＝ EF，∠ B＝∠ E，然后对∠ B 进行分类，可分为∠ B 是“直角、钝角、锐角”三种情况探究．【深入探究】第一种情况：当∠ B 是直角时，△ ABC≌△ DEF.(1)如图 K－28－11，在△ ABC 和△ DEF 中， AC＝ DF， BC＝ EF，∠ B＝∠ E＝90°，根据________可以知道 Rt△ ABC≌Rt△ DEF.图 K－28－11第二种情况，当∠ B 是钝角时，△ ABC≌△ DEF.(2)如图 K－28－12，在△ ABC 和△ DEF 中， AC＝ DF， BC＝ EF，∠ B＝∠ E，且∠ B，∠ E都是钝角．求证：△ ABC≌△ DEF.图 K－28－12第三种情况：当∠ B 是锐角时，△ ABC 和△ DEF 不一定全等．(3)△ ABC 和△ DEF 中， AC＝ DF， BC＝ EF，∠ B＝∠ E，且∠ B，∠ E 都是锐角，请你用尺规作图法在图 K－28－13 中作出△ DEF，使△ DEF 和△ ABC 不全等．(不写作法，保留作图痕迹)图 K－28－13(4)∠ B 还满足什么条件，就可以使△ ABC≌△ DEF？请你写出结论：在△ ABC 和△ DEF中， AC＝ DF， BC＝ EF，∠ B＝∠ E，且∠ B，∠ E 都是锐角，若____________，则△ ABC≌△6DEF.7详解详析【课时作业】[课堂达标]1． C2． A3．[解析] B 从图中可知 AB 为 Rt△ABC 和 Rt△ABD 的斜边，也是公共边，根据“ H.L.”定理证明 Rt△ABC≌ Rt△ABD，还需补充一对相等的直角边，即 AC＝AD 或 BC＝BD.故选 B.4．[解析] C 在 Rt△DEB 和 Rt△CEB 中，∵BE＝BE，BD＝BC，∴ Rt△DEB≌ Rt△CEB，∴DE＝CE，∴AC＝AE＋CE＝AE＋DE＝8＋6＝14( cm)．5．[全品导学号：90702263] C6．AC＝A′C′或∠B＝∠B′或∠A＝∠A′或 AB＝A′B′7．3 28．59．解：因为 AD 是∠BAC 的平分线，所以∠DAE＝∠DAF.因为 DE⊥AB，DF⊥AC，所以∠AED＝∠AFD＝90°.又因为 AD＝AD，所以△AED≌△AFD，所以 DE＝DF.在 Rt△DEB 和 Rt△DFC 中，因为 BD＝CD，∠DEB＝∠DFC＝90°，DE＝DF，所以 Rt△DEB≌ Rt△DFC( H.L.)，所以 EB＝FC.10．证明：∵CA⊥EB，FD⊥EB，8∴∠CAB＝∠FDE＝90°，∠CAE＝∠FDB＝90°.在 Rt△ACE 和 Rt△DFB 中，∵CA＝FD，CE＝FB，∴ Rt△ACE≌ Rt△DFB，∴AE＝DB，∴AE＋AD＝DB＋AD，即 DE＝AB.又∵CA＝FD，∠BAC＝∠EDF，∴△ACB≌△DFE，∴BC＝EF.11．证明：∵AD，AF 分别是钝角三角形 ABC 和钝角三角形 ABE 的高，∴∠ADB＝∠AFE＝90°.在 Rt△ADC 和 Rt△AFE 中，∵AD＝AF，AC＝AE，∴ Rt△ADC≌ Rt△AFE( H.L.)，∴CD＝EF.在 Rt△ABD 和 Rt△ABF 中，∵AB＝AB，AD＝AF，∴ Rt△ABD≌ Rt△ABF( H.L.)∴BD＝BF，∴BD－CD＝BF－EF，即 BC＝BE.12．证明：在 Rt△ACD 和 Rt△A′C′D′中，9∵AC＝A′C′，CD＝C′D′，∴ Rt△ACD≌ Rt△A′C′D′( H.L.)，∴∠CAD＝∠C′A′D′.在△ABC 和△A′B′C′中，∵∠BAC＝∠B′A′C′，AC＝A′C′，∠ACB＝∠A′C′B′，∴△ABC≌△A′B′C′( A.S.A.)．[素养提升]解：(1) H.L.(2)证明：如图①，过点 C 作 CG⊥AB，交 AB 的延长线于点 G，过点 F 作 FH⊥DE，交 DE的延长线于点 H.∵∠ABC＝∠DEF，且∠ABC，∠DEF 都是钝角，∴180°－∠ABC＝180°－∠DEF，即∠CBG＝∠FEH.在△CBG 和△FEH 中，∵∠CBG＝∠FEH，∠G＝∠H＝90°，BC＝EF，∴△CBG≌△FEH( A.A.S.)，∴CG＝FH.在 Rt△ACG 和 Rt△DFH 中，∵AC＝DF，CG＝FH，∴ Rt△ACG≌ Rt△DFH( H.L.)，∴∠A＝∠D，在△ABC 和△DEF 中，∵∠A＝∠D，∠ABC＝∠DEF，AC＝DF，∴△ABC≌△DEF( A.A.S.)．10(3)如图②所示，△DEF 和△ABC 不全等．(4)∠B≥∠A