1、用一元一次方程解实际问题一、和、差、倍、分问题:本类问题依具体题意,由和、差、倍、分列方程求解例 1 某大型商场三个季度共销售 DVD2800台,第一季度销售量是第二季度的 ,第31三季度销量是第二季度的 2倍,问第三季度销售 DVD多少台? 分析:列总量=各分量之和解:设第二季度销售量为 x,则 x+x+2x=2800 x=840 2x=1680 答:第三季度31销售量为 1680台二、人数调配问题本类问题依调动后列等量关系例 2 甲、乙两个工程队分别有 80人和 60人,为了支援乙队,需要从甲队调出一部分人进乙队,使乙队的人数比甲队人数的 2倍多 5人,问从甲队调出的人数应是多少?解:应从
2、甲队调出人进乙队,则调动后的等量关系是:乙队的人数=甲队的人数2+5,所以 60+x=2(80-x)+5 解之得 x=35 答:从甲队调出的人是 35三、商品的销售问题 商品利润=商品售价-商品进价(即商品成本) 商品利润率= 100%商 品 进 价商 品 利 润 折扣率:打 n折,指按售价为 售出,n 折可以是小数(如 8.5折)10例 3 某商品的进价是 1530元,按商品标价的 9折出售时,利润率是 15% ,商品的标价是多少元?分析:本题由利润=进价利润率=标价折扣率-进价列方程解:设此商品的标价是 x元,则 0.9x-1530=153015% 解得 x=1955 答:此商品的标价是
3、1955元四、数字型问题解决这类问题关键在于如何巧妙设出未知数,从而化简计算,常用的设未知数方法是:连续数设中间;多位自然数设一位;数字换位设部分;小数点移动直接设;数字成比例设比值;特殊关系特殊设例 4 一个四位整数,其个位数字为 2,若把末位数字移到首位,所得新数比原数小108,求这个四位数解:设这个四位数的前三位数为 x,由此四位数为 10x+2,末位数移到首位后所得新数为 10002+x,则(10x+2)-(10002+x)=108 解得 x=234 所以 10x+2=2343五、百分比问题例 5 某所中学现有学生 4200人,计划一年后初中在校生增加 8%,高中在校生增加11%,这样
4、全校在校生将增加 10%,问:这所学校现在的初中在校生和高中在校生人数分别是多少?分析:本题等量关系是:一年后初中在校生增加的人数+高中在校生增加的人数=全校在校生增加的总人数解:设这所学校现在的初中在校生人数为 x人,则现在的高中在校生为(4200-x)人,由题意可得 8%x+(4200-x)11%=420010%,解得 x=1400 当 x=1400时,4200-x=2800答:这所学校现在的初中在校生人数为 1400人,现在的高中在校生人数为 2800人六、工程问题工程问题经常把总工作量看成 1,存在等量关系:工作效率工作时间=工作量,工作量的和=1例 1 某单位开展植树活动,由一人植树
5、要 80小时完成,现由一部分人先植树 5小时,由于单位有紧急事情,再增加 2人,且必须在 4小时之内完成植树任务,这些人的工作效率相同,应先安排多少人植树?分析:把工作量看作 1,每一个人的工作效率为 ,由 x人先做 5小时,完成的工作801量为 5x= x,增加 2人后,4 小时完成的工作量为 (x+2)4= ,8015 80)2(4x由 5小时的工作量4 小时的工作量=工作总量,可列方程解:设安排 x人先工作 5小时,根据工作总量等于各分量之和,得+ =1 解得 x=880x)2(4答:应先安排 8人植树例 2 某车间接到一批加工任务,计划每天加工 120件,可以如期完成,实际加工时每天多
6、加工 20件,结果提前 4天完成任务,问这批加工任务共有多少件?分析:假设这批加工任务一共有 x件,那么计划 天完成,而实际用了 天120x201x完成,所以由等量关系:计划用的时间 -实际用的时间=4,列方程解:设这批加工任务共有 x件,依题意得 =4 解得 x=3360)(x答:这批加工任务共有 3360件七、行程问题行程问题,它涉及路程、速度和时间三个基本量,在匀速条件下,它们的基本关系是:路程=速度时间,行程问题又分为以下四种情况 相遇问题基本关系式:快者路程+慢者路程=两地距离例 3 甲、乙两列火车从 A、B 两地相向而行,乙车比甲车早发车 1h,甲车比乙车速度每小时快 30km,甲
7、车发车两小时恰好与乙车相遇,相遇后为了错车,甲车放慢了速度,以它原来的 速度行驶;而乙车加快了速度,以它原来的 倍飞速行驶,结果 2 h后,两2 3541车距离又等于 A、B 两地之间的距离,求两车相遇前速度及 A、B 两地之间的距离。解析:设相遇前乙车的速度为 xkm/h,则相遇前、后两车行驶的路程可由图 1表示出来依题意得 3x+2(x+30)= (x+30)+ x ,323549解得 x=60则 x+30=90(km/h),3x+2(x+30)=360+290=360(km)答:相遇前甲车的速度为 90km/h相遇前乙车的速度为 60km/hA、B 两地之间的距离为 360km. 追及问
8、题 同地追及。基本关系式:快者路程=慢者路程例 4一队学生在校外进行军事野营训练,他们以 5km/h的速度行进,走了 18min的时候,学校要将一个紧急通知传给队长,通讯员从学校出发,骑自行车以 14km/h的速度按原路追去,问通讯员用多久可以追上学生队伍?解:设通讯员用 xh可以追上学生队伍,依题意,得 5(x+ )=14x 解这个方程,6018A B2(x+30) 3x甲 乙A B x4935甲乙 (x+304932)图 1得 x= 61答:通讯员用 h可以追上学生队伍 异地追及:基本关系式:快者路程-慢者路程=两地距离例 5 A、B 两站间的距离为 448km,一列慢车从 A站出发,每小
9、时行驶 60km,一列快车从 B站出发,每小时行驶 80km,问经过几小时快车能追上慢车?分析:本题虽未明确两车的行驶方向,但既然快车能追上慢车,则两车只能沿从 A到B的方向同向而行解:设经过 xh快车能追上慢车,根据题意得 80x-60x=448,解得 x=22.4 答:经过 22.4小时快车能追上慢车 环形跑道问题一般情况下,在环形跑道上,两人同时出发,第 n次相遇有两种情况:相向而行,路程和等于 n圈长;同向而行,路程差等于 n圈长例 6 小王每天去体育场每次都见到一位田径队的叔叔也在锻炼,两人沿 400米跑道跑步,每次总是小王跑 2圈的时间叔叔跑 3圈,一天,两人在同地反向而跑,小明看
10、了一下记时表,发现隔了 32秒两人第一次相遇,求两人的速度;第二天小王打算和叔叔在同地同向而跑,看叔叔隔多少时间首次与他相遇,你能先帮小王预测一下吗?解:设叔叔的速度为 3Vm/s,则小王的速度为 2Vm/s 根据题意,得(3V+2V)32=400,解得 V=2.53V=32.5=7.5m/s 2V=22.5=5m/s 即叔叔的速度为 7.5m/s,小王的速度为5m/s第二天同地同向跑时,设 xs首次相遇依题意,得 7.5x-5x=400,解得 x=160,即 160s后首次相遇点评:本题隐含一个条件是小王与叔叔的速度比为 2:3 航行问题对于航行问题,需注意以下几点: 航行问题主要包括轮船航
11、行和飞机航行顺水(风)速度=静水(风)速度+水流(风)速度;逆水(风)速度=静水(风)速度-水流(风)速度,顺水(风)速度-逆水(风)速度=2 倍水(风)速度。 基本关系式:往路程=返路程例 7 有甲、乙两艘船,现同时由 A地顺流而下,乙船到 B地时接到通知,须立即返回C地执行任务,甲船继续顺流航行,已知甲、乙两船在静水中的速度都是每小时 7.5km,水流速度为每小时 2.5km,A、C 两地间的距离为 10km,如果乙船由 A地经 B地再到达 C地共用了 4h,问:乙船从 B地到达 C地时,甲船距离 B地多远?分析:本题 C地可能在 A、B 两地之间,也可能不在 A、B 两地之间,所以应分两
12、种情况分析解:设乙船由 B地航行到 C地用了 xh,那么甲、乙两船由 A地到 B地都用了(4-x)h(1) 若 C地在 A、B 两地之间,则有(4-x)(7.5+2.5)-x(7.5-2.5)=10,解得x=2,所以甲船距离 B地 102=20(km)(2) 若 C地不在 A、B 两地之间,则有 x(7.5-2.5)-4(4-x)(7.5+2.5)=10解得 x= ,所以甲船距离 B地 10 = (km) 9349340答:甲船距离 B地 km0八、方案决策问题例 1 商场计划拨款 9万元从厂家购进 50台电视机,已知该厂家生产三种不同型号的电视机,出厂价分别为甲种型号每台 1500元,乙种型
13、号每台 2100元,丙种型号每台 2500元 若商场同时购进其中两种不同型号的电视机共 50台,用去 9万元,请你研究一下商场的进货方案; 若商场销售一台甲种型号电视机可获利 150元,销售一台乙种型号电视机可获利200元,销售一台丙种型号电视机可获利 250元,在同时购进两种不同型号的电视机方案中,为使销售时获利最多,应选择哪种进货方案?分析:(1)本题没有明确进哪两种型号的电视机,而厂家提供了三种型号的电视机,故有三种不同的购货方案,即甲和乙,甲和丙,乙和丙,应分别求之;(2)把(1)中每种方案的获利分别求出,比较后即可得到获利最多的方案解:(1)设购进甲种型号电视 x台,则购进乙种型号电
14、视机(50-x)台,根据题意,得1500x+2100(50-x)=90000 解这个方程,得 x=25,则 50-x=25 故第一种进货方案是购进甲、乙两种型号的电视机各 25台设购进甲种型号电视机 y台,则购进丙种型号电视机(50-y)台,根据题意得1500y+2500(50-y)=90000 解这个方程,得 y=35,则 50-y=15故第二种进货方案是购进甲种型号电视机 35台,丙种型号电视机 15台设购进乙种型号电视机 z台,则购进丙种型号电视机(50-z)台,根据题意,得2100z+2500(50-z)=90000 解这个方程,得 z=87.5,(不舍题意,舍去)故此种方案不可行(2
15、)上述的第一种方案可获利:15025+20025=8750(元)第二种方案可获利:15035+25015=9000(元)因为 87509000,故应选择第二种进货方案点评:当我们面临数学问题而无法确定其情形时,就必须进行分类讨论分类讨论思想的实质是把问题“分而治之,各个击破”九、图表信息问题例 1 在“五一”黄金周期间,小明、小亮等同学随家人一同到江郎山旅游,下面是购买门票时,小明与他爸爸的对话:爸爸:大人们票每张 35元,学生门票 5折优惠,我们共有 12人,共需 350元小明:爸爸,等一下,让我算一算,换一种方式买票是否可以更省钱问题:(1)小明他们一共去了几个成人?几个学生?(2)请你帮
16、小明算一算,用哪种方式买票更省钱?并说明理由分析:(1)此题的相等关系是:买成人票的钱+买学生票的钱=350(元),其中学生票按成人票的 5折优惠,即要乘以 0.5(2)虽然旅游的总共是 12人,不够 16人团体票的优惠,但我们可以用虚拟方式,凑成 16人,用团体票的方式购买,然后再比较两种方法的优劣性,作出决策解:(1)设他们一共去了 x个成人,则去的学生有(12-x)个,由题意得35x+0.535(12-x)=350,解得 x=8,12-x=4答:他们一共去了 8个成人,4 个学生(2)另一种买票方式:可以多买 4张票,即买 16张票,享受团体票的优惠,需要费用为 16350.6=336(
17、元),350-336=14(元),由此可见,虽然多买张票,便比第一种方式省 14元钱, 故选择买团体票更省钱评注:图表信息类的应用题,立意新颖,来源广泛,形式灵活,将数学真正融入到日常生活当中,使同学们感到数学就在我们身边此类题主要考查同学们分析图表,并从中获取信息,应用方程的知识解决问题的能力解这类题的关键要仔细观察,挖掘出图表中票价成人:35 元/张学生:按成人票 5折优惠团体票(16 人以上含 16人):按成人票 6折优惠所提供的信息,通过联想把图表中的信息与相应的数学知识、数学模型联系起来,正确地列出方程十、利息问题:对这一问题主要是弄清什么是本金,利息,本息和,利率,税率及它们之间的
18、关系关系式:本息和=本金+利息,利息=本金利率期数,利息税=利息税率例 3 一年期定期储蓄年利率为 2.25%,所得利息要交纳 70%的利息税,已知某储户的一笔年期定期储蓄到期纳税后得利息 450元,问该储户存入多少本金?分析:利用等量关系:利息-利息税=450 元列方程解:设该储户存入本金 x元 根据题意,得 2.25%x-2.25%20%x=450 解得 x=25000答:该储户存入 25000元本金十一、配套问题:设 a个甲件与个 b乙件配套,那么生产 m个甲件,n 个乙件,配套后的等量关系为:ah=bm例 4 现有白铁皮 28张,每张白铁皮可做甲件 5个或乙件 6个,若 3个甲件与 2
19、个乙件配套,问如何下料正好使机件配套解析:设用 x张白铁皮做甲件,则用(28-x)张做乙件,根据题意得 5x2=(28-x)3 解得 x=18. 28-x=10答:用 18张白铁皮做甲件,用 10张白铁皮做乙件正好使机件配套。点评:配套问题应注意比例关系,用比例关系列出相等关系列方程解应用题设元“三招”搞定 如何才能正确地设出未知数呢?一般来说有下面“三招”设元的技巧:一招:直接设元法:例 1 一条环形跑道长 400米.甲练习骑自行车,平均每分钟行驶550米;乙练习长跑,平均每分钟跑 250米.两人同时、同地、同向出发,经过多少时间,两人首次相遇?分析 本题是行程问题的追及问题.它有两个相等关
20、系:甲的路程乙的路程环形跑道圆的周长;甲用的时间=乙用的时间.说明 直接设元就是把应用题所要求的未知数作为方程中的元,即问什么设什么.二招:间接设元法:例 2 四盘苹果共 100个,把第一盘的个数加上 4,第二盘的个数减去 4,第三盘的个数乘以 4,第四盘的个数除以 4,所得的数目一样,问原来四盘苹果各多少个? 分析 本题若从四盘苹果考虑直接设未知数,需要列出四元一次方程组,显然求解时有一定的难度.若对“所得的数目一样”这个条件反过来想,则由此可推出四盘苹果的数目,因此,设间接未知数 x表示这个数目,则容易得到四盘苹果原来的个数分别为 x4, x+4,x,4 x,于是很方便地列出方程求解.1说
21、明 有些应用题,在不方便直接设未知数的情况下,可以根据具体情况,设出题目中并不要求求出的其它未知数作为方程的元.三招:设辅助元法:例 3 某种商品 2006年比 2005年上涨了 25,欲控制该商品2007年零售价比 2005年只上涨 10,则 2007年应比 2006年降价的百分数是多少.分析 欲求 2007年比 2006年降价多少元,若设 2005年这种商品零售价为 a元,又设2007年应比 2006年降价的百分数为 x,则该商品 2006年的零售价为 a (1+25),2007 年的零售价为 a (1+25) (1 x),可列出方程求解.说明 某些应用题,直接设出未知数还难以列出方程,这时,可以根据具体的情况设出题目中并不要求出的其他未知数来作为辅助元.本例中设出辅助未知数 a,可以将 2006年、2007 年该商品的零售价更清楚地表示出来.