2018年七年级数学上册 第一章 有理数教案（打包16套）（新版）新人教版.zip

1第一章 1.1.1 正数和负数知识点 1：正数和负数1.定义:像 7,1,59%,20.8,8 844 这样大于 0 的数叫做正数;像-3,-10%,-2.5,-155 这样在正数前加上符号“-”(负)的数叫做负数.2.注意点:正数前面的“+”(读作正) 号,通常可略去不写,也可以写上,如+7,+0.01 等;但负数的“-”号不能不写,如-8,若不写“-”号,则为 8,即为+8,意义截然不同.在表示某商品的质量与规定标准的差异时,为了强调“差异”,在正数前面也加“+”号.知识点 2：0 的意义在小学,0 表示“没有”或者“空位”,引入负数以后,0 有 了丰富的意义.例如,在温度计上,0℃不是表示没有温度,而是表示冰点,它是 一个确定的温度;又如某地的海拔高度是 0 米,这并不是 表示该地没有高度,而是指该地与海平面的平均高度相同.注意:(1)“0”既不是正数也不是负数.正数和 0 又称非负数,负数和 0 又称非正数.(2)“0”不再是我们以往认识中的“最小数”,而是变成了正数和负数的分界.(3)“0”是最小的自然数,“0”也是整数.考点 1：正数与负数的认识【例 1】下列判断:①加正号的数 是正数,加负 号的数是负数;②任一个正数,前 面加上“-”号,就是一个负数;③0 是最小的正数;④大于 0 的数是正数;⑤字母 a 既是正数,又是负数.其中正确的个数是( ).A. 0 B. 1 C. 2 D. 32答案：C点拨:正数是比 0 大的数, 负数是比 0 小的数,一个数是正数还是负数与形式无关.此题中判断正确的有 2 个,因此选 C.考点 2：正数与负数的判定【例 2】在下列各数-11,0,0.2,3,+ , ,1,-1 中,负数共有( ). A. 3 个 B. 2 个 C. 1 个 D. 0 个答案：B点拨：以上各数中只有-11,-1 是负数，以上各数中只有-11,-1 是负数.考点 3:0 的认识【例 3】在数学课上,甲、乙、丙、丁四位同学分别对“0”作了如下描述:甲:“0”表示特定的意义,比如“0℃”;乙:“0”表示什么都没有;丙:因为 0+0=0=-0,所以 0 既不是正数,也不是负数;丁:0 是正数和负数的分界.其中描述正确的是( ).A. 甲、乙 B. 乙、 丙 C. 丙、丁 D. 甲、丁答案：C点拨：“0”是一个十分微妙的数,它既不是正数,也不是负数.它有特定的意义,它可以表示什么也没有,也可以表示一个具体的内容,如温度等.1第一章 1.1.2 用正数和负数表示具有相反意义的量知识点：用正数和负数表示相反意义的量现实生活 中,存在着大量具有相反意义的量,如物体运动的方向向北与向南,股票价格的上升与下跌,财务上的收入与支出,经营上的盈利与亏损,等等.我们把其中一种意义的量规定为正,用正数表示;那么与它 相反意义的量就可以用负数表示.例如,乒乓球比赛胜 3 局与败 2 局;股市指 数上涨 150 点与下跌 80 点.如果规定胜为正 ,那么败为负;若上涨为正,则下跌为负.注意:(1)由表示“收入”和“支出”等具有相反意义的量产生了正数和负数.(2)相反意义的量是成对出现的,单独一个量不能称为具有 相反意义的量,与一个量具有相反意义的量不止一个,如盈利 9 000 元,与它意义相反的量有很多,如亏损 8 000 元、亏损 400 元、亏损 3.18 元.这就是说, 具有相反意义的量,只要求意义 相反,而不要求数量一定相等.(3)用正、负数表示相反意义的量,并不是固定的,但习惯上还是把上升、前进、增加、收入、高出等用正数表示,把与它们意义相反的量用负数表示.(4)具有相反意义的量必须是同类量.如盈利 8 000 元与出口 200 箱就不是具有相反意义的量,进口 300 箱与输 4 场比赛也不是具有相反意义的量.考点 1：生活中具有相反意义的量【例 1】下列不是 相反意义的量是( ).A. 前进 5 米和后退 3 米B. 节约 3 吨和浪费 10 吨C. 身高增加 2 厘米和体重减少 2 千克D. 超过 2 分和不足 2 分答案：C点拨：因为身高与体重不是同一类量,所以 C 项不符合题意. 两个具有相反意义的量不仅要意义 相反 ,而且必须是同一类量.考点 2：用正、负数表示加工允许的误差【例 2】小莉帮妈妈在超市买了一袋洗衣粉,发现包装袋上有这样一段文字:“净重:800±5g”,请说明这段文字的含义.在一次检测中,检验员从一箱洗衣粉中任取 5 袋,记录如下:袋号 1 2 3 4 52净重(g) 803 798 800 794 805根据上面的数据,解释这 5 袋洗衣粉的净重是否合格?解:“净重:800±5g”说明标准质量为 800g,合格净重的范围为 795g~805g,所以这 5袋洗衣粉 1,2,3,5 合格,4 不合格.点拨:±5g 实质上是具有相反意义的量,即+5g 表示比 8 00g 多 5g,-5g 表示比 800g 少5g,因此每袋洗衣粉的净重介于 795g 和 805g 之间为合格.考点 3：“基准”的选择【例 3】如图,湖边一段堤岸顶端高出湖面 4 m,附近有一建筑物,其顶端高出湖面 20 m,湖底有一沉船在湖面下 8 m 处.现以湖边堤岸顶端为“基准”,那么建筑物顶端的高度及沉船的深度各应如何表示?解:由于建筑物顶端的高度比堤岸顶端高 20-4=16(m),沉船比堤岸顶端低 8+4=12(m),而湖边堤岸顶端是“基准”,所以建筑物顶端的高 度可表示为+16 m,沉船的深度可表示为-12 m.点拨：比基准高的高度数为正数,比基准低的高度数为负数,如“+16 m”:“+”表示比“基准”高,“16”表示比基准高的数目,“m”表示比基准高的数目的单位,这三个要素缺一不可.1第一章 1.1 正数和负数知识点 1:正数、负数1.定义:像 7,1,59%,20.8,8 844 这样大于 0 的数叫做正数;像-3,-10%,-2.5,-155 这样在正数前加上符号“-” (负) 的数叫做负数.2.注意点:正数前面的“+”(读作正)号,通常可略去不写,也可以写上,如+7,+0.01 等;但负数的“-”号不能不写,如-8,若不写“-”号,则为 8,即为+8,意义截然不同.在表示某商品的质量与规定标准的差异时,为了强调“差异”,在正数前面也加“+”号.知识点 2:正数和负数表示相反意义的量现实生活中,存在着大量具有相反意义的量,如物体运动的方向向北与向南,股票价 格的上升与下跌,财务上的收入与支出,经营上的盈利与亏损,等等.我们把其中一种意义的量规定为正,用正数表示;那么与它相反意义的量就可以用负数表示.例如,乒乓球比赛胜 3 局与败 2 局;股市指数上涨 150 点与下跌 80 点.如果规定胜为正,那么败为负;若上涨为正,则下跌为负.注意:(1)由表示“收入”和“支出”等具有相反意义的量产生了正数和负数.(2)相反意义的量是成对出现的,单独一个量不能称为具有相反意义的量,与一个量具有相反意义的量不止一个,如盈利 9 000 元,与它意义相反的量有很多,如亏损 8 000 元、亏损 400 元、亏损 3.18 元.这就是说,具有相反意义的量,只要求意义相反,而不要求数量一定相等.(3)用正、负数表示相反意义的量,并不 是固定的,但习惯上还是把上升、前进、增加、收入、高出等用正数表示,把与它们意义相反的量用负数表示.(4)具有相反意义的量必须是同类量.如盈利 8 000 元与出口 200 箱就不是具有相反意义的量,进口 300 箱与输 4 场比赛也不是具有相反意义的量.知识点 3:0 的意义在小学,0 表示“没有”或者 “空位”,引入负数以后,0 有了丰富的意义.例如,在温度计上,0℃不是表示没有温度,而是表示冰点,它是一个确定的温度;又如某地的海拔高度是 0 米,这并不是表示该地没有高度,而是指该地与海平面的平均高度相同.注意:(1)“0”既不是正数也不是负数.正数和 0 又称非负数,负数和 0 又称非正数.(2)“0”不再是我们以往认识中的 “最小数”,而是变成了正数和负 数的分界.(3)“0”是最小的自然数,“0”也是整数.考点 1:正数、负数、02【例 1】 在 ,0,-3,5 这四个数中,既不是正数也不是负数的是( )A. B.0 C.-3 D.5答案: B 点拨 在这四个数中,-3 是负数, 和 5 是正数,0 既不是正数,也不是负数,它是正数和负数的分界.考点 2:正、负数的意义【例 2】 把温度计显示的零上 5℃用+5℃表示,那么零下 2℃应表示为 ℃. 答案:-2 点拨 零上和零下是一对相反意义的量,因为零上用“+”表示,所以零下应用“-”表示.考点 3:用正、负数表示加工允许的误差【例 3】 一种零件的内径尺寸在图纸上是 30±0.05(单位:mm),表示这种零件的标准尺寸是 30 mm,加工要求最大不超过 mm,最小不低于 mm. 答案:30.05;2 9.95 点拨 +0.05 表示比标准尺寸 30 mm 长 0.05 mm,-0.05表示比标准尺寸 30 mm 短 0.05 mm.考点 4:“基准”的选择【例 4】 如 图,湖边一段堤岸顶端高出湖面 4 m,附近有一建筑物,其顶端高出湖面20 m,湖 底有一沉船在湖面下 8 m 处.现以湖边堤岸顶端为“基准”,那么建筑物顶端的高度及沉船的深度各应如何表示?解:由于建筑物顶端的高度比堤岸顶端高 20-4=16(m),沉船比堤岸顶端低 8+4=12(m),而湖边堤岸顶端是“基准”,所以 建筑物顶端的高度可表示为+16 m,沉船的深度可表示为-12 m.点拨 比基准高的高度数为正数,比基准低的高度数为负数,如“+16 m”:“+”表示比“基准”高,“16”表示比基准高的数目,“m”表示比基准高的数目的单位,这三个要素缺一不可.1第一章 1.3.1 两个有理数的加法知识点： 有理数的加法法则1. 同号两数相加时,取相同的符号,并把 绝对值相加.2. 绝对值不等的异号两数相加时,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对 值减去较小的绝对值.互为相反数的两个数相加得 0.3. 一个数同 0 相加,仍得这个数.归纳整理:在进行有理数的加法运算时,运算步骤可归纳为:“一看、二定、三求和”.一看:观察两个数的符号是同号还是异号,算式中有没有 0;二定:用哪条法则及和的符号是什么;三求:根据 法 则求结果.考点 1：两个有理数的和与两个 加数之间的关系【例 1】如果两个数的和是负数,那么( )A.这两个数都是负数B.两个 加数中,一个为负数,一个为零C.一个加数为正数, 另一个为负数,并且负加数的绝对值大于正加数的绝对值D.以上三种情况都有可能答案:D点拨：两个有理数的和与两个加 数之间的关系 :①两个正数相加,和大于任何一个加数;如 2+3=5,5 比 2 和 3 都大.②一个正数和一个负数相加,和介于两个加数之间;如(-2)+3=1,1-2.③两个负数相加,和小于任何一个加 数 ;如(-2)+(-3)=-5,-5-2,-5-3.考点 2：有理数的加法计算【例 2】下列计算正确的是( ).A. +0.5=-1 B. (-2)+(-2)=4C. (-1.5)+ =-3 D. (-71)+0=71答案:A.点拨:选项 A: +0.5=- =-1,B、C 都等于-4,D 等于-71,故应选 A.考点 3：绝对值问题【例 3】|a|=19,|b|=97,|a+b|≠a+b,试计算 a+b 的值.2解:因为|a|=19,所以 a=±19.因为|b|=97,所以 b=±97.因为 |a+b|≠a+b,所以|a+b|=-(a+b),所以 a+b0.当 a=19,b=-97 时,a+b=19+(- 97)=-78;当 a=-19,b=-97 时,a+b=-19+(-97)=-116.所以 a+b 的值为-116 或-78.点拨：一个数的绝对值要么等于它本身,要么等于它的相反数,由于|a+b|≠a+b,故 a+b的绝对值等于它的相反数,所以 a+b 是一个负数,从而得 a=19 或-19,b=-97.1第一章 1.3.2 有理数的加法运算律知识点：有理数的加法运算律1. 加法交换律:两个数相加,交换加数的位置,和不变,用字母表示为 a+b=b+a.2. 加法结 合律:三个数相加,先把前两个数相加,或者先把后两个数相加,和不变,用字母表示为(a +b)+c=a+(b+c).拓展反思:在进行有理数的加法时,应巧妙应用加法的交换律和结合律:(1)有些加数相加得整数,可先相加;(2)分母相同或易于通分的分数可先相加;(3)有相反数可互相消去得 0时,可先相加;(4)有许多正数和负数相加时,可以把符号相同的数先相加.考点 1：运用加法运算律进行简便运算【例 1】用简便方法计算:(1)0.125+ + + +(-0.25);(2) +(-3.36)+ ;(3)(+1)+(-2)+(+3)+(-4)+…+(+99)+(-100);(4)(-3.75)+2.85+ + +3.15+(-2.5);(5) + + + + + .解:(1)原式= + +=(-3)+3+ = ;(2)原式= +[(-3.36)+(+7.36)]=1+4=5;(3)原式=[(+1)+(-2)]+[(+3)+(-4)]+…+[(+99)+(-100)]= =-50;2(4)原式= +(2.85+3.15)+=-5+6-3=-2;(5)原式= +=0+ =- .点拨：运用加法运算律进行有理数的 加法运算时,一般可 遵循(1)整数先加;(2)同分母分数先加;(3)和是“整”数的先加.考点 2：特殊的用法【例 2】计算:+ + +…+ .解:原式= - + - + - +…+ - =1- = .点拨：由于 = - , = - ,…, = - ,故我们可将 + + +…+先拆开再计算,这种方法也叫裂项法.在进行有理数的加法运算时,我们先考虑使用加法运算 律来简化计算, 如不能运用加法运算律,则仔细观察题目的特点,选择合适的方法.1第一章 1.3.3 有理数的减法知识点 1：有理数的减法法则减去一个数等于加上这个数的相反数,用字母表示为 a-b=a+(-b).归纳整理:(1)有理数的减法运算转化为加法运算,体现了一种转化的 数学思想,就是把一个未知的问题转化成熟悉的已知的问题来求解.(2)将减法运算转化为加法运算 时要注意两点: ①将减号变为加号;②同时将减数变为原来的相反数.(3)一个数减去零比较容易,而零减去一个数,一定要按照法则,写成加上这个数的相反数.知识点 2：数轴上两点间的距离数轴上两点间的距离等于对应两数差的绝对值.即在数轴上,设点 A,B 分别表示数 a,b,则点 A、B 之间的距离就是|a-b|.例如 3-(-5)=8,(-5)-3=-8,即 3 与-5、-5 与 3 的差的绝对值都是 8,所以数轴上 3 与-5 对应的点相距 8 个单位长度.因为大数减小数差为正数,所以计算两点间的距离时,可 以直接用大数减去小数.考点 1：被减数、减数、差之间的关系【例 1】下列说法中正确的有( )①减去一个负数等于加上这个数的相反数; ②正数减负数,差为 正数;③零减去一个数,仍得这个数;④两数相减,差一定小于被减数;⑤两个数相减,差不一定小于被减数;⑥互为相反数的两数 相减得零 .A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个答案:B点拨：解答此类题目可采用特殊值法.如由 2-(-3)=5 可知④错误;由 2-(-2)=4 可知⑥错误.考点 2：有理数减法的计算【例 2】计算:(1)(-3)-(+7);(2) - ;(3) - ;(4)0-(-5).解:(1)(-3)-(+ 7)=(-3)+(-7)=-10;(2) - = + = ;2(3) - = + =-3;(4)0-(-5)=0+5=5.点拨：有理数减法要按照法则进行计算,由减法转化为加法的核心是“两变”.1第一章 1.3.4 有理数的加减混合运算知识点 1：有理数加减混合运算的方法:1. 加减混合运算可统一成加法运算;2. 运用加法交换律和结合律,可简化运算;3. 运用加法交换 律计算时要带上前面的符号.归纳整理:有理数加减混合运算的技巧:(1)凑整,把某些数结合在一起能凑成 0 或其他整数的要放在一起进行计算;(2)正数和负数分别结合相加;(3)整数和分数分别结合相加;(4)分数和小数统一成分数或小数再相加;(5)几个分数相加,可以先把同分母分数放在一起相加.知识点 2：省略加号和括号的和进行有理数加减混合运算时,可以通过有理数的减法法则将减法转化为加法运算, 统一成加法运算.例如( -9)-(+12)+(-3)-(-7)=(-9)+(-12)+(-3)+7,为书写简单,可以省略算式中的括号和加 号,把它写为- 9-12-3+7.这个算式可以读作 “负 9,负 12,负 3,正 7 的和”,或读作“负 9 减 12 减 3 加 7”.考点 1：省略加号和括号的和【例 1】式子-5-(-3)+(+6)-(-2)写成和的形式是( ).A. -5+(+3)+(+6)+(-2) B. -5+(-3)+(+6)+(+2)C. -5+(+3)+(+6)+(+2) D. -5+(+3)+(-6)+(-2)答案:C.点拨:分两步走:先将减法变成加法,再省略加号.逐一变化对照.把减法转化 成加法写成和的形式时,要注意将减数变为原数相反数.考点 2：有理 数的加减混合运算【例 2】计算:(1)(-18)+(+5)-(-7)-(+11);(2)4 - + - -9.解:(1)原式=-18+ 5+7-11=-17;2(2)4 - + - -9= + -9=5+ -9=8 -9=- .点拨：带括号的加减混合运算,可以先写成省略括号的代数和,然后运用加法交换律和结合律进行计算.考点 3：运用有理数的加减法运算解决实际问题 【例 3】某天股票 A 开盘后,在上午 10 时跌 1.2 元,中午 2 时跌 0.9 元,下午收盘时又涨了 1.4 元,该股票这天收盘时,比前一天是涨了还是跌了?如果开盘价是 38元,那么这天的收盘价是多少元?解:(-1.2)+(-0.9)+1.4=-1.2-0.9+1.4=-0.7.38+(-0.7)=38-0.7=37.3.点拨:记股票涨为正,跌为负,则所有正、负数的和即可反映涨跌情况,如果为负值,说明跌了,为正,说明涨了.这天的收盘价为开盘价与涨跌总情况的和.因此该股票这天收盘时,比前一天跌了 0.7 元, 这天的收盘价是 37.3 元.股票的涨跌数与股票的价格是不一样的.股票的涨跌数=股票现价-股票原价.1第一章 1.4.1 两个有理数的乘法知识点 1：有理数乘法法则1.两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘.2.任何数与 0 相乘,都得 0.有理数的乘法法则用符号可表示为:(1)如果 a0,b0 或 a0,b0,那么 a·b=-|a|·|b|;(3)对于任意有理数 a,a·0=0.有理数乘法的意义和乘法法则是在小学学过的乘法的意义和法则的基础上的进一步发展和推广.知识点 2：倒数在有理数范围内仍然有:乘积是 1 的两个数互为倒数.注意:0 没有倒数.归纳整理:(1)因为 0 不能作除数,所以 0 没有倒数.1 和-1 的倒数是它们的 本身.(2)正数的倒数是正数,负数的倒数是负数,互为倒数的两 个数的符号相同.(3)求带分数的倒 数时,要先把带分数化为假分数,再求倒数;求小 数的倒数时,要先把小数化成分数,再求倒数,或是在学习 完有理数除法后,直接用 1 除以这个小数.(4)要把倒数与相反数区 别开来:和为 0 的两个数互为相反数,即 a+b=0;积为 1 的两个数互为倒数,即 ab=1.考点 1：有理数的乘法的计算【例 1】计算:(1)(-9)×(-5);(2)12×(-3);(3) ×2 ;(4) × .解:(1 )(-9)×(-5)=9×5=45;(2)12×(-3)=-12×3=-36;(3) ×2 =- × =-6;(4)(-10.8)× = × = × = .点拨：乘法中有带分数时,要先把带分数化成假分数;分数与小数相乘时,一般应将小数化成分数,以便于约分.考点 2：倒数的计算2【例 2】写出下列各数的倒数:(1)-2;(2) ;(3)-0.2;(4)2 .解:(1)- ;(2) ;(3)-5;(4) .点拨: 有理数范围内的倒数和正数范围内的倒数意义一样,符号和原数的符号一致.求一个有理数的倒数是进行有理数除法运算的基础.1第一章 1.4.2 多个有理数的乘法知识点：多个有理数相乘的方法多个有理数相乘,可以把它们按顺序依次相乘.(1)几个不是 0 的数相乘,积 的符号由负因数的个数决定,当负因数有奇数个时,积为负;当负因 数有偶数个时,积为正.(2)几个数 相乘,有一个因数为 0,积就为 0.考点： 多个有理数相 乘的计算【例】计算:(1)(-5.6)×(-4.2)×2 × ;(2) × × ×0× .解:( 1)原式=-5.6×4.2×2 × =- × × × =-18;(2)原式=0.点拨：多个数相乘,首先把题目看清 楚,有 没有因数为 0.若其中一个因 数为 0,那么积就为 0(反之,如果积为 0,那么至少有一个因数为 0);如果因数都不等于 0,则先根据负因数的个数,确定符号,然后 把绝对值相乘.1第一章 1.4.3 有理数的乘法运算律知识点：乘法运算律1. 乘法交换律:两数相乘,交换因数的位置,积相等,可表示为 ab=ba.2. 乘法结合律:三个数相乘先把前两个数相乘,或者先把后两个数相乘,积相等,可表示为(ab)c=a(bc).3. 分配律:一个数同两个数的和相乘,等于把这个数分别同这两个 加数相乘,再把积相加,可表示为 a(b+c)=ab+ac.乘法分配律也常常反过来用,可以使运算简便.关键提醒:(1)运用有理数的乘法运算律进行计算 时,要根据等式的特征灵活选择运算律.(2)要会灵活运用有理 数的乘法运算律,如 ab+ac=a(b+c).(3)乘法运算律在乘法中的作用主要是使运算简便,提高计算速度和准确性.考点：乘法运算律的运用【例 1】计算下列各题:(1)1 × × × ;(2) × ;(3) × ×3 .解:(1)原式= × × ×=-=- =- ;(2)原式= × + × - ×= + - =-1;(3)原式= × =1.2点拨：第(1)小题将带分数化为假分数 ,运用乘法交换律和乘法结合律来简化 运算;第(2)小题运用了乘法分配律,避免了将括号内分数通分的繁杂;第(3) 小题运用乘法结合律简化了计算过程.【例 2】小刚同学在计 算 49 ×(-5)时,感觉自己做的不对,于是将自己的演算本拿给同桌看,练习本上写的是 49 ×(-5)= ×(-5)=49×(-5)× ×(-5)=49×24=1076你认为他做的正确吗?若不正确请你给出正确解答.解:小刚同学做的不正确;用简便算法如下:49 ×(-5)= ×(-5)=50×(-5)- ×(-5)=-250+=-249 .点拨:小刚同学把带分数拆成一个真分数与整数两项来计算,可是 49×(-5)与 ×(-5)之间不能还是乘号,应该应用乘法分配率计算.1第一章 1.4.4 有理数的除法及分数的化简知识点 1：有理数除法法则 有理数除法法则:除以一个数等于乘以这个数的倒数,可表示为 a÷b=a× .有理数除法法则还可以表示为:两数相除,同号得正 ,异号得负,并把绝对值相除;0 除以任何一个不为 0的数都得 0.归纳整理:(1)0 不能作除数.(2)除号转化为乘号时,要与除数转化成其倒数同时进行.分两步写或只改变其中的一个是错误的.(3)进行除法运算 时,在能整除的情况下,一般用“两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除”法则;在不能整除的情况下,一般用“除以一个不等于 0的数,等于乘以这个数的倒数”法则.知识点 2：分数符号的化简 对于一个分数,若分子、分母、分数这三者的符号中同时改变其中两个的符号,分数的值不变.关键提醒:(1)分数符号化简的依据是有理数除法法则;(2)谨防化简分数符号,导致分数的值发生变化.考点 1：有 理数除法的计算【例 1】计算:(1)(-30)÷6; (2)2 ÷ ; (3)3 ÷(-2.25); (4)-1÷ .解:(1)(-30)÷6=-(30÷6)=-5;(2)2 ÷ =- =-2;(3)3 ÷(-2.25)=- =-1 ;(4)-1÷ =1× = .点拨:解题的依据是有 理数除法法则,除数是小数的要化为分数,是带分数的要化为假分数.考点 2：分数符号的化简 2对于一个分 数,若分子、分母、分数这三者的符号中同时改变其中两个的符号, 分数的值不变.关键提醒:( 1)分数符号化 简的依据是有理数除法法则;(2)谨防化简分数符号,导致分数的值发生变化 .【例 2】化简:(1) ;(2) ;(3)- ;(4)- ;(5) .解:(1) =(-2)÷(-3)=2÷3= ;(2) =12÷(-3)=-12÷3=-4;(3)- =-[6÷(-7)]=- = ;(4)- =-[(-4)÷(-5)]=-(4÷5)=- ;(5) =0÷(-85)=0.点拨: (1)在进行分数符号的化简时,关键要确定分子、分 母、分数这三者中负号的个数,若负号是 1个或 3个,整个式子的值为负;若负号是 2个,则整个式子的值为正.(2)分数可以理解为分子除以分母,分数线相当于除号.(3)0除以任何一个不等于 0的数,都等于 0.1第一章 1.4.5 有理数的加减乘除混合运算知识点：有理数的加减乘除混合运算 1. 有理数的乘除混合运算步骤:一般先将除法转化成乘法 ,然后根 据乘法法则确定积的符号,最后求出结果.2. 有理数的加减乘除混合运算步骤:先算乘除,后算加减.有括号的先算括号里的,没有括号的按先乘除,后加减的顺序进行,同级运算按从左到右的顺序进行.关键提醒:(1)括号外的因数是正数,去括号后式子各项的符号与原括号内式子相应各项的符号相同.(2)括号外的因数是负数,去括号后式子各项的符号与原括号内式子相应各项的符号相反.考点 1：乘除混合运算【例 1】计算:(1)3 × × ÷1 ;(2)- × ÷ × .解:(1)原式= × × ×= × × ×= ×= × - ×=3-7=-4;(2)原式=- × × × = .点拨：乘除混合运算步骤:①将小数化成分数、带分数化成假分数,除法转化为乘法;②运用符号法则和分数的基本性质进行约分.考点 2：加减乘除混合运算【例 2】计算:2(1)-9+5×(-6)-12÷(-6);(2)1 × - ×(-8)-8.解:(1)原式=-9+(-30)- (-2)=-9-30+2=-37;(2)1 × - ×(-8)-8=1 ×(-2-1)- ×(-8)-8= ×(-3)+ -8=- + -8=- .点拨：进行有理数的混合运算,应先确定运算顺序再计算,可利用加减号将算式分成几个相对独立的整体,各自运算后,再综合计算.考点 3：有理数乘除混合运算的实际应用【例 3】高度每增加 1km,气 温大约降低 6℃,今测得高空一气球周围的温 度为-3℃,地面温度为 6℃,你知道气球的高度吗?解:[(-3)-(+6)]÷(-6)×1=(-9)÷(-6)× 1=1.5(km),故气球的高度是 1.5km.点拨:由于已知高度每增加 1km,气温大约降低 6℃,因此求气球的高度,需先求出温度降低的度数.理解正、负数 的意义是必要的.a1第一章 1.5.1 有理数的乘方知识点 1：乘方及相 关概念 1. 求几个相同因数的积的运算,叫做乘方,乘方的结果叫做幂.在 an中,a 叫做底数,n叫做指数.a n看作运算时,读作 a的 n次方;看作运算结果时,读作 a的 n次幂.2. 乘方与乘法:a n的意义表示 n个 a相乘,即 an= ,所以乘方是特殊的乘法运算.归纳整理:(1)乘方是一种运算,幂是乘方运算的结果.(2)一个数可以看作是这个数本身的一次方,指数是 1时,通常省略不写,所以 a就是 a1.(3)当底数是负数、分数时,底数要加上括号.知识点 2：乘方运算结果的符号规律根据有理数的乘法法则可以看出:负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数;正数的任何次幂都是正数;0 的任何正整数次幂都是 0;任意有理数的偶次幂都是非负数.归纳整理:(1)进行有理数的乘方运算时,要做到“一看底数、二看指数”,当底数为正数时,结果为正数;当底数为 0时,其任何正整数次幂的结果都为 0;当底数为负数时,再看指数,若指数为偶数,结果为正数;若指数为奇数,结果为负数.(2)(-a)2与-a 2的区别:底数不 同,分别为-a 和 a;结果不同,互为相反数;读法不同,(-a) 2读作 -a的二次幂 ,-a2读作 a的二次幂的相反数.(3)当 n为自然 数时,(-1) 2n=1,(-1)2n+1=-1.考点 1：有理数乘方的运算【例 1】计算:(1) ;(2)(-3)3;(3)-0.52;(4)-(-2)4.解:(1) = = ;(2)(-3)3=-27;(3)-0.52=- =- ;(4)-(-2)4=-16.点拨 :本题考查乘方的意义和简单的乘方运算,再按照乘方的意义进行计算,分清指数和底数的关系,把乘方运算转化为乘法运算.(1)是带分数的乘方,(3)(4)是乘方的相反数,应先求幂,再求幂的相反数.考点 2：乘方符号的判定2【例 2】探究符号规律,在横线上填上“+”或“-”:(1)(-a)2= a 2; (2)(-a) 4= a 4; (3)(x-y)2= (y-x) 2; (4)(-a)3= a 3; (5) (-a)5= a 5; (6)( x-y)3= (y-x) 3. 以上各式中等号两边的底数有什么联系,从上面的等式 中你得到什么规律?解:( 1),(2),(3)均为“+”号 ,(4),(5),(6)均为“ -”号.点拨:可根据乘方的意义得出符号.每一个等式的底数都互为相反数,指数相同,从这些角度可总结出规律.考点 3：有理数的乘方的实际应用【例 3】水葫芦是一种水生漂浮植物,有着惊人的繁殖能力,据报道它可以造成某些流域河道堵塞、水质污染等严重后果.研究表明:适量的水葫芦对水质的净化是有利的,关键是科学管理和转化利用.若在适宜的条件下,1 株水葫芦每 5天就能繁殖 1株(不考虑植株死亡、被打捞等其他因素).(1)假设江面上现有一株水葫芦,填写下表:第几天 5 10 15 20 … 5n总株数 2 4 …(2)假设某流域内的水葫芦维持在 64万株以内对水质净化有利,据估计该流域现 有水葫芦 1万株 左右 ,照上述生长速度,请帮该水域管理人员估计多少天后水葫芦约有 64万株.解:(1)8;16;2 n (2)因为 26=64,所以 n=6,所以 5n=5×6=30,即估计 30天后水葫芦约有 64万株.点拨：由“1 株水葫芦每 5天就能繁殖 1株”可得有几个五天,就变为 2的几次方株.本题主要考查对乘方的理解和利用乘方运算解决实际问题的能力.1第一章 1.5.2 有理数的混合运算知识点：有理数的混合运算有理数混合运算的运算顺序:1. 先算乘方,再算乘除,最后算加减.2. 同 一级运算,按从左到右的运算顺序 进行.3. 如果有括号,先算括号里面的运算,先算小括号,再算中括号,最后算大括号.归纳整理:(1)运算中要正确运用符号法则,在计算时,要正确确定每一步运算结果的符号.(2)运算时,要把握两点:第一,考虑运算顺序;第二,要善于观察题目中各项之间的特殊关系,能够运用运算律进行简便运算.考点 1：有理数的混合运算【例 1】计算:(1)1 - ÷ -22× ;(2) × ÷0.42-(-3)2÷(-1)11× .解:(1) 1 - ÷ -22×= - ÷ -4×= - × -4×= - +2=3 .(2) × ÷0.42-(-3)2÷(-1)11×= × ÷ -9÷(-1)×= × ÷ -9÷(-1)×= × × -9×(-1)×2=4.5+16=20.5.点拨:(1)先算乘方,再算乘除,最后计算加减,如果有带分数,一般把带分数化成假分数.(2)把带分数化成假分数,把小数化成分数,然后根据运算顺序进行计算,先计算乘方,再算乘除,最后计算加减.考点 2：有理数混合运算的 实际应用【例 2】有一张厚度为 0.1 毫米的纸,如果将它连续对折 20 次, 会有多厚?有多少层楼高?(假设 1 层楼高 3 米)解:0 .1×220÷1 000≈105 (米),105÷3=35(层), 即约有 35 层楼高.点拨：对折一次就会有 2 层,对折两次就会有 22层, 因此连续对折 20 次,就会有 220层,用220乘每张纸的厚度就会得到纸的总厚度,然后换算成以米为单位的数后除以 3 就会得到楼的层数.1第一章 1.5.3 科学记数法知识点：科学记数法把大于 10的数表示成 a×10n的形式(其中 a是整数位只有一位且大于等于 1的数,n是正整数),这样表示数的方法叫做科学记数法.归纳整理:用科学记数法表示数时,应注意两点:1. a只能是有一个整数位且大于等于 1的数,即 1≤a 10;2. 对于大于 10的数,科学记数法中 10的指数 n等于原数的整数数位减 1,如原数是 8位的整数,10 的指数就是 7.考点 1：用科学记数法表示数【例 1】我国第六次全国人口普查数据显 示,居住在城镇的人口总数达到 665575306人.将665575306用科学记数法表示(保留三个有效数字)约为( ).A. 66.6×107 B. 0.66×108 C. 6.666×108 D. 6.666×107答案：C点拨：665575 306=6.65575306×108=6.66×108.考点 2：由科学记数法表示的 数推导原数【例 2】 用科学记数法表示的数 3.76×10100的位数是( )A.98位 B.99 位 C.100 位 D.101 位答案:D 点拨：由于 a×10n中,n 是取原数整数位数减 1得到的,因此 3.76×10100的位数应是101位,所以本题选 D.考点 3：科学记数法在社会生活中的应用【例 3】 2012 年能源与环境保护国际学术会议于 6月在呼和浩特举行,会议的核心主题是“能源环境与低碳经济”.根据统计,我国平均每人每天大约产生 1.5千克 垃 圾,你也许并不觉得多,假如垃圾可压缩成棱长为 0.5米的立方体,每个这样的立方体约有 100千克(我国大约有 13亿人 口).(1)请计算我国一天产生的垃圾有多少千克?有多少个这样 的立方体?(2)你们班的教室能容纳我国人一天产生的垃圾吗?解:(1)我国一天产生的垃圾有 1.95×109千克,有 1.95×107个这样的立方体;(2)垃圾的体积为 2.437 5×106立方 米,然后计算教室可容纳物体的体积,相比较得出结论,略.2点拨：(1)垃圾的质量可用 1.5千克 乘总人口数得到;再用所得垃圾总质量除以 100千克可得立方体数量;(2)用立方体数量乘 0.125可 得垃圾的总体积,然后再计算出一间教室可容纳物体的体积,比较得出结论.1第一章 1.5.4 近似数知识点：近似数在生活中 有时很难获得准确数,或者不必要使用准确数 ,只需要数值的近似数就可以了.一个近似数四舍五入到哪一位,就说这个近似数精确到哪一位.近似数的 记录和计算有如下规定:(1)尽量用准确数参与说明或计算;(2)计算过程中的近似值要比要求多精确一位.归纳整理:(1)一个近似数的位数与近似度有关不能随意添加或去掉末尾的 0.(2)求精确到某一位时,只需要把它的下一位的数四舍五入,不需看它后面个数位上的数字的大小.(3)精确度的确定.精确度是指精确到哪一位.这里的“精确到哪一位”是指“这个近似数的最后一个数字在哪一位,就说它精确到哪一位”,其关键:找最后一个数字在哪一位.例如 3.20 这个近似数,最后一位数字 0 所在的数位是百分位,所以我们就说这个近似数精确到百分位,也称为精 确到 0.01.考点 1：准确数与近似数的判断【例 1】给出下列数据:①某校有学生 1 237 人;②小明期中考试数学成绩 82 分;③小丽身高 1.47 m;④食堂购进 15 kg 土豆;⑤我国 国土面积 960 万 km2,其中的数据是准确数的有 ,其中的数据是近似数的有 .(填序号 ) 答案:①②;③④⑤点拨：度量得到的数值一般都是近似数.考点 2：含单位的近似数【例 2】下列由四舍五入得到的近似数,各精确到哪一位?(1)12 亿;(2)2.4 万;(3)5.10 万.解:(1)12 亿精确到亿位;(2)2.4 万精确到千位;(3)5.10 万精确到百位.点拨：确定精确到哪一位时,分为两种情况:一是若“文字单位”前面的数是整数,则近似数精确到“文字单位”位,如(1)题;二是若“文字单位”前面的数是小数,则先 将近似数还原,再看最右边数字的位置,如(2)题,由 2.4 万=24 000,而 2.4 最右边的数字 4 在千位上,故 2.4 万精确到千位;(3)题由 5.10 万=51 000,而 5.10 最右边的 0 在百位上,故 5.10万精确到百位.考点 3：根据近似数求原数的取值范围2【例 3】一个 4 位整数先四舍五入到十位,再把所得数四舍五入到百位,然后又把所得的数四舍五入到千位,这时的数为 3×103,你能说出这个数的最大值和最小值吗?解:最大值 3 444,最小值 2 445.点拨：2.445×10 3四舍五入 到十位后的结果为 2.45×103,2.45×103四舍五入到百位后的结果为 2.5×103,2.5×103四舍五入到千位后的结果为 3×103,所以 3×103最小是由 2 445 取近似值得到;同理,3×10 3最大是由 3 444 取近似值得到.