1、G 4 联 盟 苏 州 中 学、扬 州 中 学、常 州 中 学、盐 城 中 学20222023 学年第一学期 12 月联合调研高三数学一、选 择 题：本 题 共 8 小 题，每 小 题 5 分，共 4 0 分 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一项 是 符 合 题 目 要 求 的 1 设 集 合 A 1，0，B x|2 x 0，则 A B A 1 B 1，0 C x|2 x 0 D x|2 x 0【答 案】A2 若 复 数 z 的 共 轭 复 数 z-满 足 i z-4 3 i(其 中 i 为 虚 数 单 位)，则 z z-的 值 为A 7 B 5 C 7 D 2 5【答
2、 案】D【解 析】i z-4 3 i z-3 4 i，所 以 z z-2 53 下 图 是 近 十 年 来 全 国 城 镇 人 口、乡 村 人 口 的 折 线 图(数 据 来 自 国 家 统 计 局)根 据 该 折 线 图，下 列 说 法 错 误 的 是A 城 镇 人 口 与 年 份 星 现 正 相 关 B 乡 村 人 口 与 年 份 的 相 关 系 数 r 接 近 1C 城 镇 人 口 逐 年 增 长 率 大 致 相 同 D 可 预 测 乡 村 人 口 仍 呈 现 下 降 趋 势【答 案】B【解 析】因 为 乡 村 人 口 与 年 份 望 负 线 性 相 关 关 系，所 以 r 接 近 1，
3、故 选 B4 函 数 y 2 x2 e|x|在 2，2 的 图 象 大 致 为【答 案】D5 若 椭 圆 的 焦 点 为 F 1，F 2，过 F 1 的 最 短 弦 P Q 的 长 为 1 0，P F 2 Q 的 周 长 为 3 6，则 此 椭 圆的 离 心 率 为A 13B 33C 23D 63【答 案】C6 南 宋 时 期，秦 九 韶 就 创 立 了 精 密 测 算 雨 量、雨 雪 的 方 法，他 在 数 学 九 章 载 有“天 池盆 测 雨”题，使 用 一 个 圆 台 形 的 天 池 盆 接 雨 水 观 察 发 现 体 积 一 半 时 的 水 深 大 于 盆 高 的 一 半，体 积 一
4、半 时 的 水 面 面 积 大 于 盆 高 一 半 时 的 水 面 面 积，若 盆 口 半 径 为 a，盆 地 半 径 为 b(0 b a)，根 据 如 上 事 实，可 以 抽 象 出 的 不 等 关 系 为A 3a b23a 3b2B a b2a b2C(a b2)2a2 b22D(a b2)3a3 b32【答 案】D7 在 数 列 a n 中，s i n(a n 1 a n)s i n(a n 1 a n)11 0，则 该 数 列 项 数 的 最 大 值 为A 9 B 1 0 C 1 1 D 1 2【答 案】C【解 析】8 在 A B C 中，A B 4，B C 3，C A 2，点 P 在
5、 该 三 角 形 的 内 切 圆 上 运 动，若A P mA B nA C(m，n 为 实 数)，则 m n 的 最 小 值 为A 51 8B 13C 71 8D 49【答 案】B【解 析】A P mA B nA C(m n)(mm nA B nm nA C)，由 P 在 内 切 圆 上，故 m n|A P|(mm nA B nm nA C)|，则 c o s A 1 11 6，所 以 B C 边 上 高 为 h 1 52，内 切 圆 半 径 r 1 56，故 由 平 行 线 等 比 关 系，可 得 m n h 2 rh13，故 选 B二、选 择 题：本 题 共 4 小 题，每 小 题 5 分
6、，共 2 0 分 在 每 小 题 给 出 的 选 项 中，有 多 项 符 合题 目 要 求 全 部 选 对 的 得 5 分，部 分 选 对 的 得 2 分，有 选 错 的 得 0 分 9 已 知 a 0，b 0，a b 1，则A 1a1b 4 B 2a 2b 2 2 C l o g 2 a l o g 2 b 2 D s i n a s i n b 2 s i n12【答 案】B C D【解 析】选 项 A，应 该 是1a1b 4，B：2a 2b 2a b2 1，B 正 确；C：l o g2a l o g2b 2 l o g2a b2 2，C 正 确；D：s i n a s i n b 2 s
7、 i na b2 c o sa b2 2 s i n12，D 正 确；答 案 为 B C D1 0 已 知 函 数 f(x)ex a ea x，g(x)ex a ea x，则A 函 数 y g(x)有 且 仅 有 一 个 零 点 B f(x)g(x)且 g(x)f(x)C 函 数 y f(x)g(x)的 图 象 是 轴 对 称 图 形 D 函 数 y g(x)f(x)在 R 上 单 调 递 增【答 案】A B D【解 析】A B 正 确，因 为 f(x)关 于 x a 轴 对 称，g(x)关 于(a，0)中 心 对 称，故 f(x)g(x)为 中 心对 称 图 形，C 错 误：而 g(x)f(
8、x)f(x)2 q(x)2 B(x)0 或 根 据 一 般 得 分 离 常 数 变 形 可 知 D 正 确；答 案 为：A B D1 1 乒 乓 球(t a b l e t e n n i s)，被 称 为 中 国 的“国 球”，是 一 种 世 界 流 行 的 球 类 体 育 项 目，是 推 动外 交 的 体 育 项 目，被 誉 为“小 球 推 动 大 球”某 次 比 赛 采 用 五 局 三 胜 制，当 参 赛 甲、乙 两 位中 有 一 位 赢 得 三 局 比 赛 时，就 由 该 选 手 晋 级 而 比 赛 结 束 每 局 比 赛 皆 须 分 出 胜 负，且 每 局 比赛 的 胜 负 不 受
9、之 前 已 赛 结 果 影 响 假 设 甲 在 任 一 局 赢 球 的 概 率 为 p(0 p 1)，实 际 比 赛 局 数的 期 望 值 记 为 f(p)，下 列 说 法 正 确 的 是A 三 局 就 结 束 比 赛 的 概 率 为 p3(1 p)3B f(p)的 常 数 项 为 3C f(13)f(45)D f(12)3 38【答 案】A B D【解 析】显 然 A 正 确：f(p)3 p3(1 p)4 C13p3(1 p)C13p(1 p)3 5 C24p2(1 p)2f(0)3,f(12)3 38 B,D 正 确；求 导 或 根 据 f(p)关 于12对 称，且 p 越 极 端，越 可
10、 能 快 结 束，有12134512，得 f(13)f(45)，故 答 案 为：A B D1 2 在 四 棱 锥 P A B C D 中，底 面 A B C D 为 正 方 形，P A 底 面 A B C D，P A A B 1 G 为 P C的 中 点，M 为 平 面 P B D 上 一 点 下 列 说 法 正 确 的 是A M G 的 最 小 值 为36B 若 M A M G 1，则 点 M 的 轨 迹 是 椭 圆C 若 M A 1 56，则 点 M 的 轨 迹 围 成 图 形 的 面 积 为1 2D 存 在 点 M，使 得 直 线 B M 与 C D 所 成 角 为 3 0【答 案】A
11、B C【解 析】A 选 项 判 断：应 用 等 体 积 法，可(M G)m i n12(A G)m i n1213，A 正 确；B 选 项：因 为 面 P B D 不 与 A G 垂 直，也 不 平 行，故 轨 迹 不 可 能 时 圆，即 为 椭 圆，B 正 确；C 选 项 判 断：设 M H 面 P B D，H 面 P B D,M A 1 56 H M211 2，故 C 正 确；D 选 项 判 断：由 于 C D 与 面 P B D 夹 角 满 足 s i n 1312,故6,，D 错 误；综 上 所 述，答 案 为 A B C三、填 空 题：本 题 共 4 小 题，每 小 题 5 分，共
12、2 0 分 1 3 在(x 1x)6的 展 开 式 中，常 数 项 为【答 案】1 5【解 析】展 开 式 的 通 项 为 T r 1 Cr6(x)6 r(1xr)(1)rCr6x6 32r，当 1 6 32r 0，r 4 时，为常 数 项 1 51 4 如 图，将 绘 有 函 数 f(x)M s i n(2)(M 0，0)部 分 图 象 的 纸 片 沿 x 轴 折 成 直 二 面角，此 时 A，B 之 间 的 距 离 为 1 0，则【答 案】5 6【解 析】如 图，因 为 f(x)的 周 期 为 T 2 2 4,所 以 C D T2 2,B C M2 4,所 以 A B A C2 B C2
13、2 M2 4 1 0，解 得 M 3，所 以 f(x)3 s i n(2x)，所 以 f(0)3 s i n 32，s i n 12，因 为 0，所 以 6或5 6，又 因 为 函 数 f(x)在 y 轴 右 侧 单 调 递 减，所 以 5 61 5 我 们 利 用“错 位 相 减”的 方 法 可 求 等 比 数 列 的 前 n 项 和，进 而 可 利 用 该 法 求 数 列(2 n 1)3n 的 前 n 项 和 S n，其 操 作 步 骤 如 下：由 于 S n 1 31 3 32(2 n 1)3n，3 S n 1 32 3 33(2 n 1)3n 1，从 而 2 S n 3(2 32 2
14、3n)(2 n 1)3n 1，所 以 S n(n 1)3n 1 3，始 比 如 上 方 法 可 求 数 列 n2 3n 的 前 n 项 和 T n，则 2 T n 3【答 案】(n2 n 1)3n 1【解 析】Tn 12 31 22 32 n2 3n3 Tn 12 32 22 33 n2 3n 1 2 T n 3(12 22)32(22 32)33(n 1)2 n2 3n n2 3n 1 3(3 33 5 33(2 n 1)3n)n2 3n1 3(Sn 3)n2 3n 1 Sn n2 3n 1(n2 n 1)3n1所 以 2 Tn 3(n2 n 1)3n 11 6 已 知 函 数 f(x)是
15、定 义 在 R 上 的 偶 函 数，且 当 x 0 时，f(x)2x 若 对 任 意 x 1，3，不等 式 f(x a)f2(x)恒 成 立，则 实 数 a 的 取 值 范 围 是【答 案】3，1【解 析】f(x a)f2(x)f2(|x|)f(2|x|)x 1，3，|x a|2|a 3，1 四、解 答 题：本 题 共 6 小 题，共 7 0 分 解 答 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤 1 7(本 小 题 满 分 1 0 分)在 数 列 a n 中，a 1，其 前 n 项 和 S n 满 足 2 S n(n 1)a n，n N*(1)求 数 列 a n 的 通
16、项 公 式 a n；(2)若 m 为 正 整 数，记 集 合 a n|an22an m 的 元 素 个 数 为 b m，求 数 列 b m 的 前 2 0 项 和 1 8(本 小 题 满 分 1 2 分)在 轴 截 面 为 正 方 形 A B C D 的 圆 柱 中，M，N 分 别 为 弧 A D，弧 B C 的 中 点，且 在 平 面 A B C D的 两 侧(1)求 证：四 边 形 A N C M 是 矩 形；(2)求 二 面 角 B M N C 的 余 弦 值【解 析】(1)设 轴 截 面 正 方 形 A B C D 边 长 为 2 a，取 弧 B C 另 一 侧 的 中 点 Q，则 B
17、 C 与 N Q 垂 直 平 分，且 B C N Q 2 a，所 以 四 边 形 B N C Q 为 正 方 形，B Q N C 2 a，因 为 M 为 弧 A D 中 点，所 以 M Q A B，四 边 形 A B Q M 为 矩 形，所 以 A M B Q，所 以 A M C N，所 以 四 边 形 A M C N 为 平 行 四 边 形，因 为 A N A B2 B N2 6 a，M N M Q2 Q Na 2 2 a，所 以 A M2 A N2 M N2 8 a2，所 以 A M A N，所 以 四 边 形 A N C M 为 矩 形；1 9(本 小 题 满 分 1 2 分)文 化 月
18、 活 动 中，某 班 级 在 宣 传 栏 贴 出 标 语“学 好 数 学 好”，可 以 不 同 断 句 产 生 不 同 意 思，“学/好 数 学/好”指 要 学 好 的 数 学，“学 好/数 学/好”强 调 数 学 学 习 的 重 要 性，假 设 一 段 时间 后，随 机 有 N 个 字 脱 落(1)若 N 3，用 随 机 变 量 X 表 示 脱 落 的 字 中“学”的 个 数，求 随 机 变 量 X 的 分 布 列 及 期 望；(2)若 N 2，假 设 某 同 学 检 起 后 随 机 贴 回，求 标 语 恢 复 原 样 的 概 率【解 析】(1)随 机 变 量 X 的 可 能 取 值 为 0
19、，1，2，C12P(X 0)C33C3511 0，P(X 1)C12C23C3561 0，P(X 2)C22C13C3531 0，随 机 变 量 X 的 分 布 列 如 下 表：X 0 1 2P11 061 031 0随 机 变 量 X 的 期 望 为 E(X)0 11 0 1 61 0 2 31 0 1.2法 二：随 机 变 量 X 服 从 超 几 何 分 布 X H(3，2，5)，所 以 E(x)3 2565(2)设 脱 落 一 个“学”为 事 件 A，脱 落 一 个“好”为 事 件 B，脱 落 一 个“数”为 事 件 C，事 件 M 为 脱 落 两 个 字 M A A B B A B A
20、 C B C，P(A A)C22C2511 0，P(B B)C22C2511 0，P(A B)C12 C12C2541 0，P(A C)C12 C11C2521 0，P(B C)C12 C11C2521 0,所 以 某 同 学 捡 起 后 随 机 贴 回，标 语 恢 复 原 样 的 概 率 为P(P(A A)P(B B)1(P(A B)P(A C)P(B C)1215451235，法 二：掉 下 的 两 个 字 不 同 的 概 率 为 p 1 0 21 0 0.8,所 以 标 语 恢 复 原 样 的 概 率 为(1 p)12p 0.6 2 0(本 小 题 满 分 1 2 分)记 A B C 的
21、 内 角 A，B，C 的 对 边 分 别 为 a，b，c，已 知 b 1，c 2(1)若C D 2D B，A D C B 2，求 A；(2)若 C B 2 3，求 A B C 的 面 积 2 1(本 小 题 满 分 1 2 分)在 平 面 直 角 坐 标 系 x O y 中，已 知 点 P 在 抛 物 线 C 1：y2 4 x 上，圆 C 2：(x 2)2 y2 r2(0 r 2)(1)若 r 1，Q 为 圆 C 2 上 的 动 点，求 线 段 P Q 长 度 的 最 小 值；(2)若 点 P 的 纵 坐 标 为 4，过 P 的 直 线 m，n 与 圆 C 2 相 切，分 别 交 抛 物 线
22、C 1 于 A，B(异 于 点P)，求 证：直 线 A B 过 定 点【解 析】(1)设 P(t2，2 t)，则 P Q P C2 1(t2 2)2 4 t2 1 1,当 P(0，0)，Q 为 P C2线 段 与 圆C 2 的 交 点 时,P Qm i n 1(2)题 意 可 知 P(4，4)，过 P 点 直 线 y 4 k(x 4)与 圆 C 2 相 切，则|2 k 4|1 k2 r，即(4 r2)k2 1 6 k 1 6 r2 0，设 直 线 A B 为：m(x 4)n(y 4)1，则 与 抛 物 线 C 的 交 点 方 程 可 化 为：(y 4)2 8(y 4)m(x 4)n(y 4)4
23、(x 4)m(x 4)n(y 4)，令 z y 4x 4,则：(1 8 n)z2(8 m 4 n)z 4 m 0，题 意 有，方 程 同 解，故 有 y(1 6 r2)(4 r2)34(1 6)4 m 8 n 1 34(8 m 4 n),即：2 m 1 1 n 1，故：直 线 A B 恒 过(6，7)2 2(本 小 题 满 分 1 2 分)若 对 实 数 x 0，函 数 f(x)，g(x)满 足 f(x 0)g(x 0)且 f(x 0)g(x 0)，则 称 F(x)f(x)，x x0g(x)，x x0为“平 滑 函 数”，x 0 为 该 函 数 的“平 滑 点”已 知 f(x)a x332x2
24、12x，g(x)b x l n x(1)若 1 是 平 滑 函 数 F(x)的“平 滑 点”，(i)求 实 数 a，b 的 值；(i i)若 过 点 P(2，t)可 作 三 条 不 同 的 直 线 与 函 数 y F(x)的 图 象 相 切，求 实 数 t 的 取 值 范 围；(2)对 任 意 b 0，判 断 是 否 存 在 a 1，使 得 函 数 F(x)存 在 正 的“平 滑 点”，并 说 明 理 由【解 析】(1)(i)f(x)3 a x2 3 a 12，g(x)b 1 l n x，由 题 意 可 知a 1 0，且 3 a 52 b,故 解 得：a 1,b 12,(i i)进 一 步 F
25、(x)x332x2x2，x 1x l n x2，x 1，过 点 P(2，t)作 F(x)的 切 线，切 点(x，F(x)满 足 方 程：F(x)t F(x)(x 2)，故 题 意 等 价 于 方 程：t F(x)F(x)(x 2)有 3 个 不 同 根，p(x)F(x)F(x)(x 2)，p(x)F(x)(x 2)，代 入 得x(,12)时，p(x)单 调 递 减，x 12,2)时，p(x)单 调 递 增，x 2，)时，p(x)单 调 递 减，故 t p(x)|x(12,2)(38,l n 2)(2)题 意 等 价 于：b 0，是 否 a 1，使 得a x332x2x2 b x l n x3
26、a x2 3 x 12 b 1 l n x 有 解消 a 有：1 32x b(2 l n x 1)b 1 32x2 l n x 1，其 中 由 b 0，可 得 x(23,e),故 题 意 进 一 步 化 简 x(23,e),是 否 a 1，使 得 a 3 x l n x 3 x 12 x(2 l n x 1)成 立，x(23,e)，3 x l n x 3 x 1 2 x2(2 l n x 1)是 否 恒 成 立设 q(x)(4 x2 3 x)l n x 2 x2 3 x 1，q(x)(8 x 3)l n x，故 x(23，1)时，单 调 递 减，x(1,e),q(x)单 调 递 增，故：q(x)q(1)0 得 证，即 b 0，3 a 1，使 得 F(x)存 在 的“平 滑 点”
