1、 福州市仓山区 2022-2023 学 年高 三上 学 期 12 月质检 数学 考试时 间：120 分钟 总分：150 分 一、单选题（本大题 共 8 小 题，每 小题 5 分，共 40 分.每 题有 且只有一 个选 项是正 确的，请把 答案 填在 答卷相 应位 置上.）1.集合 2,0,1,2 M，2 1 1 N x x，则MN（）A.2,1,2 B.0,2 C.2,2 D.2,2 2.已知 复数z 满足 11iiz，则 在复 平面内 复数z 对应 的点 在（）A.第 四象 限 B.第 三象 限 C.第 二象 限 D.第 一象 限 3.已知 向量 1,2 a r，,2 b m m r，若ab
2、rr，则m（）A.23 B.1 C.43 D.2 4.已知 0 x，0 y，且 2 xy，则2221 xyxy 的最小 值为（）A.52 B.72 C.722 D.5 5.已知8cos 3 sin5，则sin 26（）A.725 B.725 C.45 D.75 6.已函数 fx 及其导函数 fx 定 义 域 均 为 R，且 0 f x f x，01 f，则关于x 的不等式 exfx 的解集 为（）A.0 xx B.0 xx C.1 xx D.1 xx 7.棱长 为 2 的 正方 体1 1 1 1ABCD ABCD 内有 一个内 切球O，过 正方 体中 两条异 面直 线AB，11AD 的中 点P
3、，Q 作直线，则 该直 线被 球面 截在球 内的 线段 的长 为（）A.22 B.21 C.2 D.1 8.已 知双曲线2222:1xyCab（0 a，0 b）的左右焦 点分别为1F，2F，O 为 坐标原点，点M 为双曲 线 右支上 一点，若122 FF OM，213MFF，则双 曲线C 的离心 率的 取值 范围 为（）A.1,3 1 B.3,3 1 C.3 1,3 3 D.3 1,二、多选 题（本 大题共 4 小题，每小 题 5 分，共 20 分。在每小 题给 出的 选项中，有多 项符 合题目 要求。全部 选对 的得 5 分，有选 错的得 0 分，部 分选对 的得 2 分.）9.下列 命题
4、中，正确 的命 题有（）A.已 知随 机变 量X 服从正 态 分布 22,N 且 4 0.9 PX，则 0 2 0.3 PX B.设 随机 变量1 20,2XB，则 5 DX C.在 抛骰 子试 验中，事 件 1,2,3,5,6 A，事件 2,4,5,6 B，则 35P A B D.在 线性 回归 模型 中，2R 表 示解释 变量 对于 预报 变量 变化的 贡献 率，2R 越接 近 于 1，表 示回 归的 效果 越好 10.已 知函 数 sin 0,02f x x 的部分 图象 如 图所示，则 下列 结论 正确 的是（）A.fx 的图象 关于 点,03 对称 B.fx 的图象 向右 平移12个
5、单 位 后得到 sin 2 yx 的图 象 C.fx 在区间,2上单 调递 增 D.6fx 为偶函 数 11.如图，正方体1 1 1 1ABCD ABCD 的梭长 为 1，点E 是线段1DD 的中点，点M 是正方形11CDDC 所在平面内一动 点，下列 说法 正确 的是（）A.若点F 是线段AB 的中 点，则1CF AE B.若点G 是线段AD 的中 点，则1CG 平面1ABE C.若1BM 平面1ABE，则M 点轨 迹在 正 方形11CDDCC 内的长 度为22 D.若点M 到BC 的距 离与 到1DD 的距 离相等，则M 点轨 迹是 抛物 线 12.已知函数 exfxx 和 lnxg x
6、bx，有相同的极小值，若存在1x R，20,x 使得 12f x g x k 成立，则（）A.0 b B.,0 1,k C.当 0 k 时，121 xx D.当 0 k 时，若 12f x g x k 的所有 根记 为1x，2x，3x，4x，且1 2 3 4x x x x，则1 4 2 3xx x x 三、填 空题（本大 题共 4 小题，每 小题 5 分，共 20 分.）13.62xx的展开 式中 常数 项是_（用 数字 作答）.14.已知P 为抛 物线24 yx 上 的一个动 点，Q 为圆 2241 xy 上 的一 个动点，那么点P 到点Q 的距 离与点P 到抛物 线准 线的 距离 之和的
7、最小 值是_.15.若 曲 线 exy 在点 11,P x y 处 的 切 线 与 曲 线3yx 在点 22,Q x y 处 的 切 线 重 合，则122ln3xx_.16.2022 年北 京冬 奥会 开幕 式中，当 雪花 这 个节 目开始 后，一片 巨大 的“雪花”呈现 在舞 台中 央，十 分 壮观.理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”，是瑞典 数学家科赫 在 1904 年研 究的 一 种分形 曲线.如 图是“雪 花 曲线”的 一种 形成 过程：从一个 正三 角形 开始，把 每条边分成三 等份，然 后以 各边 的中间 一段 为底 边分 别向 外作
8、正 三角 形，再去 掉底 边，重 复进 行这 一过 程 若第 1 个图 中的 三角 形的 周长 为 1，则 第n 个图形 的 周长为_；若 第 1 个 图中 的三 角形 的面 积为 1，则第n 个图形 的面 积为_.四、解 答题（本大 题共有 6 个小 题，共 70 分.解 答应 写出文 字说 明、演 算步 骤或证 明过 程.）17.已 知数 列 na 的前n 项和为nS，3 4 1nnSa.（1）求数 列 na 的通项 公式；（2）设12441log lognnn aab，求数 列 nb 的前n 项和nT.18.在 ABC 中，角A，B，C 所对的 边 分别为a，b，c，且 1 c，cos
9、cos 2 a C c A c.（1）求b 的值；（2）若AD 平分 BAC，且交BC 于点D，49AD，求 ABC 的面积.19.如图，四 棱柱1 1 1 1ABCD ABCD 中，平面11ACCA 平面ABCD，底面ABCD 为 菱形，AC 与BD 交于点O，60 ABC，112 AB AA AC.（1）求证：1CO 平面ABCD；（2）线段1DD 上是否存在点F，使得CF 与平面1BAC 所成角的正弦 值是34？若存在，求出1DFDD；若不 存在，说 明理 由.20.足 球是 一项 大众 喜爱 的 运动.2022 卡 塔尔 世界 杯揭 幕战在 2022 年 11 月 21 日 打响，决赛
10、 定于 12 月 18 日晚进行，全程 为 期 28 天.（1）为了 解喜 爱足 球运 动 是否与 性别 有关，随机 抽 取了男 性和 女性 各 100 名 观众进 行调 查，得 到22 列联 表如下：喜爱足 球运 动 不喜爱 足球 运动 合计 男性 60 40 100 女性 20 80 100 合计 80 120 200 依据小 概率 值 0.001 a 的独立 性检 验，能 否认 为喜 爱足 球运 动与性 别有 关?（2）校足 球队 中的 甲、乙、丙、丁四 名球 员将 进行 传球训 练，第 1 次由 甲将 球传出，每 次传 球时，传 球者 都等可能的将球传给另外三个人中的任何一人，如此不停
11、地传下去，且假定每次传球都能被接到.记开始传球的人为 第 1 次 触球 者，第n 次触球者 是甲 的概 率记 为nP，即11 P.（i）求3P（直 接写 出结 果即 可）；（ii）证明：数 列14nP为等比 数 列，并 判断 第 19 次 与第 20 次触 球者 是甲 的概 率的 大小.21.如 图所 示，已知 椭圆22:163xyC 与 直线:163xyl.点P 在直线l 上，由点P 引 椭圆C 的两条 切线PA、PB，A、B 为切点，O 是坐标 原点.（1）若点P 为直 线l 与y 轴的 交 点，求 PAB 的面 积S；（2）若OD AB，D 为垂 足，求证：存在定 点Q，使得 DQ 为定
12、 值.22.已 知函 数 e sinxf x k x 在区间 0,2 内存 在 极值点.（1）求实 数k 的取值 范围；（2）求证：在 区间 0,内存 在 唯一的，使 1 f，并 比较 与 2 的大小.参考答案：一、单项 选择题：本大题 共 8 小 题，每 小题 5 分，共 40 分，在每 小题 给出 的四个 选项 中，只 有一 项是 符合题 目要 求的.1 2 3 4 5 6 7 8 C B A C B B C A 二、多项 选择题：本大题 共 4 小 题，每 小题 5 分，共 20 分，在每 小题 给出 的四个 选项 中，有 多个 选项 符合题 目要 求，全 部选 对的得 5 分，选对 但
13、不 全的得 2 分，有选 错的 得 0 分.9 10 11 12 BD BD BCD ACD 三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.240 14.17 1 15.0 16.143n、18 3 45 5 9n 四、解 答题：本大 题共 6 小题，共 70 分，解 答应 写出文 字说 明、证 明过 程或演 算步 骤.17.【答案】（1）14nna；（2）1nnTn【分析】（1）由递推 公式3 4 1nnSa，再递推一 步，得113 4 1nnSa，两式相 减化简得14nnaa，可以判断 数列 na 是等 差数 列，进而可 以求 出等 差数 列 na 的通项公 式；（2
14、）根据（1）和对 数的 运算性 质，用裂 项相 消法 可以求 出数 列 nb 的前n 项和nT.【详解】解：（1）由3 4 1nnSa 知113 4 1nnSa 所以113 3 4 4n n n nS S a a，即1122n n na a a，从而14nnaa 所以，数列 na 是以 2 为 公比 的等比 数列 又113 4 1 aa 可得11 a，综 上所 述，故14nna（2）由（1）可 知14nna，故14nna，124nna 综上所 述，所以14lognan，24log 1nan，故而111nbnn 所以1 1 1 1 1 1112 2 3 1 1 1nnTn n n n L.18.
15、【答案】（1）2 b（2）429【分析】（1）将 1 c 代入 已知 条件，在利 用正 弦定 理及 两角和 的正 弦公 式即 可解 决问题 （2）设 2 BAC，利用 等面 积法ABD ACD ABCS S S 求出 sin 2 的值，然后代 入公 式1sin 22S bc 即可.【详解】（1）由 正弦 定理 得sin cos sin cos 2sin A C C A C，sin sin 2sin B A C C 由正弦 定理 得 22 bc.（2）设 2 BAC，因为ABD ACD ABCS S S，AD 平分 BAC，所以1 1 1sin sin sin 22 2 2c AD b AD c
16、 b，因为 1 c，2 b，49AD，所以4sin 2sin 2 4sin cos3，因为sin 0，所以1cos3，所 以22sin 2 1 cos 4 2sin 23 3 9，所以 ABC 的面积1 1 4 2 4 2sin 2 2 12 2 9 9S bc.19.【答案】（1）证 明见 解 析（2）存在；112DFDD【分析】（1）由 条件 证明1CO AC，根 据面 面垂 直性 质定 理 可证1CO 平面ABCD；（2）建立 空间 直角 坐标系，利用 向量 法求CF 与平 面1BAC 所成 角的 正弦 值，由此 可求1DFDD.（1）11AA AC，11AA CC，11AC CC，又O
17、 是AC 中点1CO AC 平面11ACCA 平面ABCD，平 面11ACCA 平面ABCD AC，1CO 平面11ACCA，1CO 平面ABCD（2）底 面ABCD 是菱形，AC BD 以O 为原 点，OB，OC，1OC 所在 直线 分别为x，y，z 轴建 立空 间直 角坐标 系.则 0,1,0 A，0,1,0 C，10,0,3 C，3,0,0 B，3,0,0 D.又 110,1,3 BB CC uuur uuuu r，所 以 13,1,3 B,0,2,0 AC uuu r，13,0,3 BA uuur，10,1,3 BBuuur,设平面1BAC 的法 向量 是 10,0n ACn x y
18、zn BAr uuu rrr uuur，203 3 0yxz，令 1 x，则 1,0,1 nr，假设线 段1DD 上存在 点F，且 110,3 DF DD BB uuur uuuu r uuur，01 3,3 F，3,1,3 CF uuu r，22333cos,42 3 1 3n CFn CFn CF r uuu rr uuu rr uuu r，平方整 理得：22 5 2 0，12 或 2（舍）.112DFDD 时，即存 在点F 是1DD 中点时，CF 与平 面1BAC 所成角 的正 弦值 是34.20.【答案】（1）喜 爱足 球 运动与 性别 有关（2）（i）313P；（ii）证明 见解 析
19、，甲 的概 率大【分析】（1）计 算出 卡方，与 10.828 比 较得 到结 论；（2）（i）根 据传 球的 等可 能性推 出313P，（ii）推 导出 1113nnPP，构造出 等比 数列，求出13 1 14 3 4nnP，得到19P，20P，比较 出大 小.【详解】（1）假 设0H：喜爱 足球运 动与 性别 独立，即 喜爱足 球运 动与 性别 无关.根据列 联表 数据，经 计算 得 220.001200 60 80 20 4010010.828100 100 80 120 3x 根据小 概率 值 0.001 的独立 性检 验，我 们推 断0H 不成立，即认为 喜爱 足球 运动 与性 别有
20、关，此 推断 犯错 误的 概率不 超 过 0.001.（2）（i）由题意得：第二 次触球者为乙，丙，丁中 的一个，第二次触球者传 给包括甲的三人中的一人，故传给甲的 概率 为13，故313P.（ii）第n 次触球 者是 甲的 概 率记为nP，则 当 2 n 时，第 1 n 次触 球者是 甲的 概率 为1 nP，第 1 n 次触 球者 不是 甲的 概率 为11nP，则 1 1 1110 1 133n n n nP P P P，从 而11 1 14 3 4nnPP，又11344P，14nP是以34为首 项，公比 为13 的等 比数 列.则13 1 14 3 4nnP，18193 1 1 14 3
21、4 4P，19203 1 1 14 3 4 4P，19 20PP，故 第 19 次触 球者 是甲 的 概率大.21.【答案】（1）4；（2）证明见 解析.【分析】（1）可 得点 0,3 P，设 切 线方程 为 3 y kx，将切 线方 程与 椭圆方 程联 立，由判 别式 为零可 求 得k的值，可知PA PB，求 出两 切点 的坐标，可 得出 PA、PB，利用 三角形 的面 积公 式可 求得 结果；（2）设 11,A x y、22,B x y，可得 出切 线PA、PB 的 方程，设 点,P m n，求出 直线AB 的 方程，可 得出直线AB 过定 点T，由OD AB 结合直 角三角 形的 几何
22、性质 可得 出结论.【详解】（1）解：由 题意 知 0,3 P，过 点P 与椭圆 相切 的直 线斜率 存在，设 切线 方程 为 3 y kx，联立22326y kxxy，可得 222 1 12 12 0 k x kx，（*）由 2 2 2144 48 2 1 48 1 0 k k k，可得 1 k，即切 线方 程为 3 yx，所 以，PA PB，将 1 k 代入 方程（*）可得24 4 0 xx，可 得 2 x，此 时 1 y，不妨设 点 2,1 A，同理 可得 点 2,1 B，24 1 3 2 2 PA PB，因此，142S PA PB.（2）证明：先 证明 出椭 圆22163xy 在其上
23、一点 00,M x y 处的 切线 方程 为00163x x y y，因为点 00,M x y 在椭 圆22163xy 上，则220026 xy，联立0022163163x x y yxy，消去y 可得 2 2 22000021036 3 3x y xx x y，整理得220020 x x x x，即 200 xx，解 得0 xx，因此，椭圆22163xy 在其 上一 点 00,M x y 处的切线 方程 为00163x x y y.设 11,A x y、22,B x y，则切 线PA 的方程 为11136xx y y，切线PB 的方程 为22136x x y y.设,P m n，则11221
24、63163mx nymx ny，所以，点A、B 的坐 标满 足方 程 2 6 0 mx ny 所以，直线AB 的方 程为 2 6 0 mx ny，因为点,P m n 在直 线 163xy 上，则 26 mn，则26 nm，所以，直线AB 的方 程可 表示 为 6 6 0 mx m y，即 6 1 0 m x y y，由010 xyy，可 得11xy，故直 线AB 过定点 1,1 T，因为OD AB，所以，点D 在以OT 为直 径的圆 上，当点Q 为线段OT 的中 点时，1222DQ OT，此时点Q 的坐 标为11,22.故存在 点11,22Q，是的 DQ 为定 值22.22.（1）1 k（2）
25、证明 见解 析，2【分析】（1）由题 设知 0 f 可得ecosk，利用导 数研 究k 在 0,2上的 单调性，即 可求k 的取值范围，注 意验 证所 得k 是否符合 题设；（2）将问题转化为 e sin 1xg x k x 在 0,上存在唯一零点，利用 导数研究 gx 的单调性，结 合零 点 存 在 性 定 理 判 断 零 点 的 存 在 性 及 个 数，即 可 证 结 论；根 据 gx 在,的单调性及 0 g 且2，只需 判断 2 g 的符 号，即可 判断 与 2 的大 小.（1）由题 设，e cosxf x k x，又 0 f，则ecosk 且 0,2，2e cos sin0cosk，即
26、k 在 0,2上递增，故 1 k，当 1 k 时，在 0,2x 上 e sin 0 xf x k x，即 fx 递 增，又 0 1 0 fk，e0 fk，0,上 0 fx，,2上 0 fx，则 fx 在 0,上递 减，在,2上递 增，fx 在 处取极 小值，符 合题 设.1 k.（2）要证 在 0,内存在 唯一 的 使 1 f，只 需证 e sin 1xg x k x 在 0,上有唯 一零 点，e cosxg x k x，由（1）知：gx 在 0,上递 减，在,2上递增，又,2x时，e cos 0 xg x k x，即 gx 在,2上递增，综上，gx 在 0,上递减，在,上递 增，而 00 gg，e 1 0 g，gx 在 0,无零点，在,上存 在一 个零点，故 存在 唯一 0,使 0 g.由（1）知：e cos 1 k，222 e sin 2 1 e 2sin e 1 e e 2sin 1 gk，令 2e 2sin e 1xxg x x 且 0,2x，则 2e e cos sinxxg x x x，令 e cos sinxy x x，则 e sin cos 0 xy x x，则y 递增，0 y，即 0 gx，故 gx 在 0,2x 上递增，则 00 g x g，在 0,2有 20 g，即有 20 gg，又 gx 在,上递 增且，2，2.
