1、第页 1 厦 门市 湖滨 片 区 2022-2023 学 年高 三上 学期 期中 考试 数学 考试时长：120 分钟 一、单选题 1 设 集合|1|1 A x x，集 合 2|1 B x x，则（）A AB B BA C AB I D AB 2 若 1 2i z，则i4zzz（）A 1 3i B 1 3i C 1 3i D 1 3i 3 在等 比数 列 na中，124 aa，若1a、22 a、3a成等差 数列，则 na的公比 为（）A 2 B 3 C 4 D 5 4 如 图，在平行 四边 形ABCD 中，E 是BC 的 中 点，3 AE AF uuu r uuu r，则DF uuur（）A 1
2、233AB AD uuu r uuur B 1323AB AD uuu r uuur C 1536AB AD uuu r uuur D 1334AB AD uuu r uuur 5 当 1 x 时，不等 式41xax恒成立，则实数a的取 值范 围为（）A,4 B 4,C 5,D,5 6 已 知角的顶 点在 坐标 原 点O，始 边与x轴的 非负 半轴 重合，将角的终 边绕O 点逆时针 旋转12后，经过 点 1,3，则cos+=3（）A 255 B 55 C 55 D 355 7 已 知函 数()2sin()0,|2f x x 的最小 正周 期 为，其图 象关 于直 线=6x对称 给出 下面 四个
3、 结论：将()fx的图象 向右 平移6个单 位长度 后得 到的 函数 图象 关于原 点对 称；点5,012为()fx图象 的一 个对 称中 心；14f；()fx在区 间0,6上单调 递增 其中正 确结 论的 个数 为（）A 0 B 1 C 2 D 3 8 已 知 0 ab，且满 足 ln ln a b b a，e为自 然 对数的 底数，则（）A eeeabb B eeebab C eeebab D eeeabb 2 二、多选题 9 已 知向 量 3,4 ar，4,3 b r，4,3 c r，则（）A ab rr B ac rr C 25 c r D+abrr与cr的夹角 为34 10 已 知
4、ABC V 的内 角 A，B，C 的对边 分别 为 a，b，c，1 b，2 2 2,a c b ac 2sin 3sin sin B A C 则（）A 3B B 13ac C ABC V 的面 积为34 D ABC V 的周 长 为21 11 已知 函数 eexxf x x，则（）A fx在 0,单调递 增 B fx有两 个零 点 C=y f x在点 ln 2,ln 2 f处切 线的 斜率 为35ln 222 D fx是奇函 数 12 已知函 数 fx，gx的定义域 均 为 R，且 13 f x g x，33 g x f x 若 y g x 的图象 关于 点(1,0)对称，则（）A f x f
5、 x B g x g x C 202216066kfk D 202010kgk 三、填空题 13 已知na 是等 差数 列，nS是其前n项和.若2123 aa，5S=10，则9a的值是_.14在 ABC V 中，角A，B，C 的对边 分别 为a，b，c，满 足222 3 0,sin()2sin b c ac A B A，则 tanC _ 15 已 知51 mxxxx 的展开 式中 常数 项为 20，则m _.16 已 知函 数2()2ln f x x ax x（其 中a 为 常数）有两 个极 值点1 2 1 2,()x x x x，若12()f x mx 恒成立，则 实 数m 的 取值 范围是
6、_.四、解答题 17 ABC V 内角 A，B，C 的 对边 分 别为a，b，c，且2(cos cos cos)cos 2 b B C A c B a.(1)求sinsinCA的值；(2)若1,2 b a c b，求 cosC 的值.第页 3 18 数 列na满足11 a，14nna a n(1)求na的通 项公 式；(2)求数列23log1nnaa 的前 n 项和 19 在 直四 棱柱1 1 1 1ABCD ABCD 中，/AB CD，=1 AB AD，12 DD CD，AB AD.（1）求证：BC 平面1DDB；（2）求点D 到平 面1BCD的距离.20 奥 密克 戎BA.5 变 异毒 株
7、的潜 伏期 又缩 短了，但 具体到 个人，感 染后 潜伏 期的长 短还是有 个体 差异 的 潜伏 期是指 已经 感染 了奥 密克 戎变异 株，但未 出现 临床 症状的 和 体征的一 段时 期，奥密 克戎 潜伏期 做核 算检 测可 能为 阴性，建 议可 以多 做几 次核 算 检测，有助于 明确 诊断 某 研究 机构对 某 地 1000 名 患者 进 行了调 查和 统计，得 到如 下表：潜伏期：（单位：天）0,2 2,4 4,6 6,8 8,10 10,12 12,14 人数 80 210 310 250 130 15 5(1)求这 1000 名患 者的 潜伏 期的样 本平 均值x(2)该传染 病
8、的 潜伏 期受 诸 多因素 的影 响，为 研究 潜 伏期与 患者 年龄 的关 系，以潜伏 期是否超 过 6 天 为标 准进 行分 层抽样，从 上 述 1000 名 患 者中抽 取 300 人，得到 如 下列联 表请将列 联表 补充 完整，并 根据列 联表 判断 是否 有 95 的把 握认 为潜 伏期 与患 者年龄 有关 4 潜伏期 6 天 潜伏期 6 天 总计 50 岁 以上（含 50）150 50 岁 以下 85 总计 300(3)为了做 好防 疫工 作，各 个部门、单 位抓 紧将 各 项细 节 落到 实处，对“确诊”、“疑似”、“无法 明确 排除”和“确 诊密 接者”等“四类”人 员，强
9、化 网格化 管理，不落 一户、不 漏一人 若在排查 期间，某 小区 有 5 人被确 认为“确 诊患 者的 密 接接触”，现医 护人 员要 对 这 5 人进行逐一“单 人单 管”核 酸检 测，只 要出 现一 例阳 性，则该小 区将 被划 为“封控 区”假设 每人被确 诊的 概率 为 01 pp 且相互 独立，若当0pp 时，至少 检测 了 4 人 该小 区就被划为“封 控区”的概 率取 得最大 值，求0p 附：22n ad bca b c d a c b d，其中n a b c d 20Pk 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0k 2.072 2.706 3.84
10、1 5.024 6.635 7.879 21 已 知O 为 坐标 原点，椭 圆2222:1(0)xyC a bab 的离 心率 为63，且经 过点(6,1)P(1)求椭 圆C 的 方程；(2)直线l 与椭圆C 交于A，B 两点，直线OA 的斜 率为1k，直线OB 的斜率 为2k，且1213kk，求OA OB uuu r uuu r的取 值范 围 22 已 知 exaxfx 和 lnxgxax 有相 同的 最大 值.（0 a）(1)求a的值；(2)求证：存在 直线yb 与两 条 曲线 y f x 和 y g x 共有 三个 不同 的交 点 1 1 2 2 3 3,x y x y x y且1 2
11、3x x x，使 得1 2 3,x x x成等比 数列.第页 5 厦 门市 湖滨 片 区 2022-2023 学 年高 三上 学期 期中 考试 数 学答案 一、单选题 1 设 集合|1|1 A x x，集 合 2|1 B x x，则（）A AB B BA C AB I D AB【答案】D 2 若 1 2i z，则i4zzz（）A 1 3i B 1 3i C 1 3i D 1 3i【答案】A 3 在等 比数 列 na中，124 aa，若1a、22 a、3a成 等差 数列，则 na的 公 比为（）A 2 B 3 C 4 D 5【答案】B 4 如 图，在平 行四 边形ABCD 中，E 是BC 的中点
12、，3 AE AF uuu r uuu r，则DF uuur（）A 1233AB AD uuu r uuur B 1323AB AD uuu r uuur C 1536AB AD uuu r uuur D 1334AB AD uuu r uuur【答案】C 5 当 1 x 时，不等 式41xax恒成立，则实数a的取 值范 围为（）A,4 B 4,C 5,D,5【答案】D 6 已 知角的顶 点在 坐标 原 点O，始 边与x轴的 非负 半轴 重合，将角的终 边绕O 点逆 时针旋转12后，经过 点 1,3，则cos+=3（）A 255 B 55 C 55 D 355【答案】A 7 已 知函 数()2s
13、in()0,|2f x x 的最小 正周 期 为，其 图象 关于 直线=6x 对称给 出下 面四 个结 论：6 将()fx的图象 向右 平移6个单 位长度 后得 到的 函数 图象 关于原 点对 称；点5,012为()fx图象 的一 个对 称中 心；14f；()fx在区 间0,6上单调 递增 其中正 确结 论的 个数 为（）A 0 B 1 C 2 D 3【答案】C 8 已 知 0 ab，且满 足 ln ln a b b a，e为自 然 对数的 底数，则（）A eeeabb B eeebab C eeebab D eeeabb【答案】B 二、多选题 9 已 知向 量 3,4 ar，4,3 b r，
14、4,3 c r，则（）A ab rr B ac rr C 25 c r D+abrr与cr的夹角 为34【答案】ABD 10 已 知 ABC V 的内 角A，B，C 的对 边分别 为a，b，c，2 2 2 21,sin 3sin sin b a c b ac B A C，则（）A 3B B 13ac C ABC V 的面 积为34 D ABC V 的周 长为21【答案】ABD 11 已知 函数 eexxf x x，则（）A fx在 0,单调递 增 B fx有两 个零 点 C=y f x在点 ln 2,ln 2 f处切 线的 斜率 为35ln 222 D fx是奇 函数【答案】AC 第页 7 1
15、2 已知 函数 fx，gx的定义 域 均为 R，且 13 f x g x，33 g x f x 若 y g x 的图象 关于 点(1,0)对称，则（）A f x f x B g x g x C 202216066kfk D 202010kgk【答案】BD 三、填空题 13 已 知na 是等差 数列，nS是其前n项和.若2123 aa，5S=10，则9a的值是_.【答案】20 14在 ABC V 中，角A，B，C 的对 边分别 为a，b，c，满 足222 3 0,sin()2sin b c ac A B A，则 tanC _【答案】32 15 已 知51 mxxxx 的展开 式中 常数 项为 2
16、0，则m _.【答案】1 16 已知 函数2()2ln f x x ax x（其中a 为常 数）有两 个极 值点1 2 1 2,()x x x x，若12()f x mx 恒成立，则 实 数m 的 取值 范围是_.【答案】,3 四、解答题 17 ABC V 内角A，B，C 的对 边 分别为a，b，c，且2(cos cos cos)cos 2 b B C A c B a.(1)求sinsinCA的值；(2)若1,2 b a c b，求cosC的值.【答案】(1)2(2)1124【分析】（1）利 用正 弦定 理进行 边化 角，再结 合两 角和公 式化 简整 理；（2）根据题 意求 得3,4,6 a
17、 b c，利用 余弦 定理 和倍 角公 式可得 解(1)因为2(cos cos cos)cos 2 b B C A c B a 由正弦 定理，所 以2sin(cos cos cos)sin cos 2sin B B C A C B A 2sin cos cos sin cos sin cos 2sin B B C B A C B A 8 cos(sin cos sin cos)sin cos 2sin B B C C B B A A cos sin()sin cos 2sin B B C B A A cos sin sin cos 2sin B A B A A，sin()2sin A B A
18、即sin 2sin CA，故sin2sinCA.(2)因为sin2sincCaA，又1,2 b a c b，所以3,4,6 a b c.2 2 211cos2 24a b cCab.18 数 列na满足11 a，14nna a n(1)求na的通 项公 式；(2)求数列23log1nnaa 的前 n 项和【答案】(1)21nan(2)2log 1 n【分析】（1）由14nna a n，得 124(1)nna a n，两 式相减 得24nnaa，即可 得到 数列的计 算项 与偶 数项 分别 成等差 数列，再 根据 等差 数列的 通项 公式 计算 可得（2）由（1）可 得 2 2 23log lo
19、g 1 log1nnanna，再利 用裂项 相消 法计 算可 得；(1)解：Q数列na满足11 a，14nna a n，所以124 aa，即23 a，124(1)nna a n，得24nnaa，即 数列na奇数 项以1 为首项，4 为公 差的 等差数列，偶 数项 以3 为首项，4 为公 差的 等差 数列，n 为奇数 时，114(1)2 12nna a n；n为偶数 时，24(1)2 12nna a n 21nan(2)解：由（1）可 知 2 2 2 2 23 2 1 3 1log log log log 1 log1 2 1 1nna nnnnn n a 记数列23log1nnaa 的前 n
20、项和 为nT，则第页 9 2 2 2 2 2 2 2 2log 2 log 1 log 3 log 2 log 4 log 3 log 1 lognnn T L 2 2 2log 1 log 1 log 1 nn 19 在 直四 棱柱1 1 1 1ABCD ABCD 中，/AB CD，=1 AB AD，12 DD CD，AB AD.（1）求证：BC 平面1DDB；（2）求点D 到平 面1BCD的距离.【答案】（1）证 明见 解析（2）233【解析】（1）取CD 中点E，连 接BE，由 题意 证出1DD BC，BC BD，利用 线面垂 直的判定 定理 即可 证出.（2）利用 等体 法，由图 可
21、得：11D DBC D DBCVV，根据 三棱 锥的 体积 公式即 可求 解.【详解】（1）证 明：取CD 中点E，连 接BE，该几 何体 为直 四棱 柱，1DD 平面ABCD，1DD BC AD AB，=1 AB AD，2 BD/AB DE，1 AB DE，AD AB 四边 形ABED 为正方 形，BE CE 2 BC，2 2 2BD BC CD，BC BD 1DD BC，BC BD，1DD BD D I，1,DD BD 平面1DDB BC 平面1DDB（2）由图 可得：111 1 22 2 22 3 3D DBC D DBCVV 由（1）中 证明 知：BC 平面1DDB，1BC BD，11
22、2 6 32BCDS 10 又 1113D DBC BCDV S d 233d【点睛】本 题考 查了 线面 垂直的 判定 定理、等 体法 求点到 面的 距离 以及 三棱 锥的体 积公式，考查了 立体 几何 的基 本知 识，属 于基 础题.20 奥 密克 戎BA.5 变 异毒 株的潜 伏期 又缩 短了，但 具体到 个人，感 染后 潜伏 期的长 短还 是有个体 差异 的 潜 伏期 是 指已经 感染 了奥 密克 戎变 异株，但 未出 现临 床症 状 的和体 征的 一段时期，奥密 克戎 潜伏 期做 核算检 测可 能为 阴性，建 议可以 多做 几次 核算 检测，有助 于明 确 诊断某 研究 机构 对某
23、地 1000 名 患者 进行 了调 查和 统 计，得 到如 下表：潜伏期：（单位：天）0,2 2,4 4,6 6,8 8,10 10,12 12,14 人数 80 210 310 250 130 15 5(1)求这 1000 名患 者的 潜伏 期的样 本平 均值x(2)该传染 病的 潜伏 期受 诸 多因素 的影 响，为研 究潜 伏期与 患者 年龄 的关 系，以潜伏 期是 否超过 6 天为 标准 进行 分层 抽样，从 上 述 1000 名 患者 中抽 取 300 人，得到如 下 列联表 请将 列联表补 充完 整，并根 据列 联表判 断是 否 有 95 的 把 握认为 潜伏 期与 患者 年龄 有关
24、 潜伏期6 天 潜伏期6 天 总计 50 岁 以上（含 50）150 50 岁 以下 85 总计 300(3)为了做 好防 疫工 作，各 个部门、单 位抓 紧将 各项 细节落 到实 处，对“确诊”、“疑似”、“无法明确 排除”和“确诊 密接 者”等“四类”人员，强 化网 格化管 理，不落 一户、不 漏一人 若 在排查期 间，某 小区 有 5 人 被确认 为“确诊 患者 的密 接 接触”，现医 护人 员要 对这 5 人进 行逐 一“单人 单管”核酸 检测，只 要出现 一例 阳性，则该 小 区将被 划为“封 控区”假 设每人 被确 诊的概率为 01 pp 且相 互独 立，若当0pp 时，至 少检
25、测 了 4 人 该小 区就被 划为“封 控区”的概率 取得 最 大 值，求0p 附：22n ad bca b c d a c b d，其中n a b c d 20Pk 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 第页 11【答案】(1)5.41(2)没有95%的把握 认为 潜伏 期 与年龄 有关(3)5 155【分析】（1）根 据平 均数 公式计 算可 得；（2）完善 列联 表，计算 出 卡方，即可 判断；（3）根据 相互 独立 事件 与 互斥事 件的 概率 公式 求出 至少检 测 了 4 人
26、该小 区被 确定为“封 控区”的概率，设34()(1)(1)f p p p p p，利 用导 数求 出函数 的极 大值 点，即可 得解；（1）解：根 据统 计数 据，计算 平均数 为 1(1 80 3 210 5 310 7 250 9 130 11 15 13 5)5.411000 x（天）；（2）解：依 题意 潜伏 期不 超过 6 天的抽 取80 210 310300 1801000 人，超过 6 天的抽 取300 180 120 人，所以可 得列 联表 如下：潜伏期6 天 潜伏期6 天 总计 50 岁 以上（含 50）95 55 150 50 岁 以下 85 65 150 总计 180
27、120 300 根据列 联表 计算22300(65 95 55 85)251.389 3.841120 180 150 150 18，所以没 有95%的把握 认为 潜伏 期与年 龄有 关；（3）解：至 少检 测 4 人该 小区 被测定 为“封控 区”包 含两 种情况：检测 4 次 被确 定，检测 5 次 被确 定 则至少 检测 了 4 人该 小区 被确定 为“封控 区”的 概率 为34(1)(1)p p p p 设34()(1)(1)f p p p p p，2 3 3 4 2 2()3(1)(1)4(1)(1)(1)(5 10 2)f p p p p p p p p p p 12 2 5 15
28、 5 155155p p p，01 p Q，当5 1505p 时()0 fp，当5 1515p 时()0 fp，即 fp在5 150,5上单调 递增，在5 15,15上单 调递减，所以5 155p 时函数 取得 极大 值即 最大值，当0pp 时，()fp最大，05 155p 21 已 知O 为 坐标 原点，椭 圆2222:1(0)xyC a bab 的 离 心率 为63，且经 过点(6,1)P(1)求椭 圆C 的 方程；(2)直线l 与椭 圆C 交于 A，B 两 点，直线OA 的斜 率为1k，直 线OB 的斜 率为2k，且1213kk，求OA OB uuu r uuu r的取 值范 围【答案】
29、(1)22193xy；(2)3,0)(0,3 U.【分析】（1）由椭 圆的 离 心率及 点在 椭圆 上，列 方 程组求 椭圆 参数，即可 得 椭圆C 的方 程；（2）讨论 直线 斜率 的存 在 性，设 1 1 2 2,A x y B x y及l 为y kx t，联立 椭圆 方程，应用判别式 求t、k 的 关系，结 合韦达 定理 及已 知条 件 求t 的范 围，再应 用向 量数 量 积的坐 标表 示得到OA OB uuu r uuu r关于t 的关 系式，进 而其范 围，注意 直线 斜率 不存在 时的 值.(1)由题意，2263611caab，又2 2 2a b c，解得 3,3 ab 所以椭
30、圆C 为22193xy.(2)设 1 1 2 2,A x y B x y，若直 线l 的 斜率 存在，设l 为y kx t，联 立22193y kx txy，第页 13 消去y 得：2 2 21 3 6 3 9 0 k x ktx t，22 3 9 0 kt，则12 2212 26133913ktxxktxxk，又12kk 121213yyxx，故1 2 1 213 y y x x 且120 xx，即23 9 0 t，则23 t，又1 1 2 2,y kx t y kx t，所以 2222 22222 1 2 1 2 122 21 2 1 2 1 226911339 3 9 313 kttkx
31、 t kx t kt x x t y y t kkkkt x x x x x x tk，整理 得222 9 3 3 tk，则232 t 且 0 恒成立 221 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 21 2 2 3 9 3 33 3 13 3 3 1 3 uuu r uuu rttOA OB x x y y x x x x x xk t t，又232 t，且23 t，故233 1 3,0)(0,3)Ut.当直 线l 的 斜率 不存 在时，2 1 2 1,x x y y，又12kk 212113 yx，又2211193xy，解得2192x，则2 2 21 1 1233 uuu r uuu
32、rOA OB x y x 综上，OA OB uuu r uuu r的取 值范 围为 3,0)(0,3 U 22 已 知 exaxfx 和 lnxgxax 有相 同的 最大 值.（0 a）(1)求a的值；(2)求证：存在 直线yb 与两 条 曲线 y f x 和 y g x 共有 三个 不同 的交 点 1 1 2 2 3 3,x y x y x y且1 2 3x x x，使 得1 2 3,x x x成等比 数列.【答案】(1)1 a(2)见解析【分析】（1）分 别用 导数 法求出 fx与 gx的 最 大值，由 最大 值 相等 建立 等式 即可 求解；（2）画出 exxfx 和 lnxgxx 的图
33、象，设 fx和 gx的图象 交于 点 A，则当 直线yb 经过点 A 时，直线yb 与两 条曲 线 y f x 和 y g x 共有三 个不 同的 交点，可得1 2 30 1 e x x x，再结 合函 数的 单调 性与 等比数 列的 定义 求解 即可（1）14 exaxfx 的定义 域为 R，且 1exaxfx，0 a，当 1 x 时，0 fx，fx递增；当 1 x 时，0 fx，fx递减；所以 max1eaf x f，lnxgxax 的定义 域为 0,，且 21 ln,0 xg x aax，当0e x 时，0 gx，gx递增；当e x 时，0 gx，gx递减；所以 max1eeg x ga
34、，又 exaxfx 和 lnxgxax 有相同 的最 大值，所以1eeaa，解得 1 a，又 0 a，所以 1 a；（2）由（1）可 知：exxfx 在,1 递增，在 1,递减，且,0 xy，lnxgxx 在 0,e递增，在 e,递减，且,0 xy，exxfx 和 lnxgxx 的图 象如 图所 示：设 fx和 gx的图象 交于 点 A，则当直 线yb 经过点 A 时，直 线yb 与两条 曲线 y f x 和 y g x 共有三 个不 同的交 点，则1 2 30 1 e x x x，且123 1 2 223ln ln,eexxx x x xb b bxx，第页 15 因为1122lnexxxb
35、x，所以1212lnlneexxxx，即 12ln f x f x，因为121,ln ln e=1 xx，且 exxfx 在,1 递增，所以12ln xx，所以22121lnxxx x b，因为23 23lnexx xbx，所以3 23 2lnlneex xx x，即 23ln f x f x，因为231,ln ln e=1 xx，且 exxfx 在 1,递减，所以23ln xx，所以33231lnxxx x b，所以3 2121 x xx x b，即22 1 3x xx，所以得1 2 3,x x x成等 比数 列【点睛】本 题考 查了 导数 的应用，利 用导 数求 函数 的单调 性，最值，函数 的 零点，解题 的关键是利 用函 数的 单调 性求 得1 2 3,x x x的数 量关 系
