1、实际问题与一元一次方程典型例题例 1 两站间的路程为 448 千米，一列慢车从 A 站出发，每小时行驶 60 千米；一BA,列快车从 B 站出发，每小时行驶 80 千米问：（1）两车同时开出，相向而行，出发后多少小时相遇？（2）两车相向而行，慢车先行 28 分钟，快车开出后多少小时两车相遇？（3）两车同时开出，同向而行，如果慢车在前，出发后多少小时快车追上慢车？分析：本例中（1）（2）属相遇问题，（3）属追及问题，它们可借助示意图分析等量关系：（1）由上图可知： 慢车走的路程 快车走的路程 全程 448 千米（2）由上图可知： 慢车提前行驶的路程 快车出发后慢车行驶的路程 快车行驶的路程 全程
2、（3）由上图可知： 快车行驶的路程 慢车行驶的路程 全程 448 千米解：（1）设两车行驶 x 小时相遇，依题意，有4806x解这个方程，得 2.3答 两车出发 3.2 小时后相遇（2）设快车开出后 x 小时两车相遇，依题意得 48061570解这个方程，得 3答 快车开出后 3 小时两车相遇（3）设两车出发后 x 小时快车追上慢车，依题意得 48608x解得 4.2x答 两车出发后 22.4 小时快车追上慢车说明：行程问题一般有三种类型：（1）相遇问题；（2）追及问题；（3）流水问题其基本等量关系分别是：（1）相遇问题；两者路程之和全程（2）追及问题：快者路程慢者路程被追路程（3）流水问题：
3、顺水速度静水速度水速；逆水速度静水速度水速例 2 某人将甲、乙两种股票同时卖出，其中甲种股票卖价 1 200 元，盈利 20；乙种股票也卖 1200 元，但亏损 20，该人此次交易结果是盈利还是亏损？分析：两种股票共卖了 2 400 元，是盈利还是亏损要看这个人买进这两种股票时共花了多少钱，如果买人的价格小于 2 400 元，则在这次交易中赚钱；反之，此人在这次交易中亏损假设一支股票的买入价为 1000 元，如果卖出后盈利 20，那么股票盈利润是 100020；如果卖出后亏损 20，股票利润是 1000 （20）元解；设甲种股票的买进价为 x 元，乙种股票的买进价为 y 元，根据卖价，可列，1
4、20%)(xy解得 150,yx（元）10)510(24)(2 yx答：两种股票合计亏 100 元说明：此题要判断盈亏，须知股票的卖价与买价的差值，而求出每种股票的买价是关键例 3 某商品的进价是 2 000 元，标价为 3 000 元，商店要求以利润率不低于 5的售价打折出售，售货员最低可以打几折出售此商品？分析：根据利润率 ，进行计算进 价 进 价售 价进 价利 润 解：设售价为 x 元，则，解得 （元）%520x210因此， ，所以，售货员最低可以打 7 折出售此商品731说明：此题为利润率问题，利用等量关系：利润率 ，求进 价 进 价售 价进 价利 润 解； 为十分之几即为几折标 价售
5、 价例 4 下表纪录的是一次试验中声音在空气中的传播速度与气温的相关数据气温/ 0 5101520音速（米/秒）331334337340343（1）如果音速的变化是均匀的，你能求出当音速为 338.2 米秒时的气温吗？（2）当气温 22时，某人看到烟花燃放 5 秒后才听到声音，那么此人与燃放的烟花所在地约相距多远？解：（1）设气温为 x时，则由表可知声音的速度是 米秒，可列)316.0(x23816.0x移项及合并，得 .7.12x答：当音速为 338.2 米秒时的气温为 12（2）当 时，x2.3416.0x175答：此人与燃放的烟花所在地约相距 1721 米说明：解决此问题要明确音速与温度
6、之间的变化规律，从而已知气温可求音速；反之亦然同时还应明确空气中声音的传播速度要远远小于光的传播速度例 5 某项工作，甲单独做需 4 小时，乙单独做需 6 小时，甲先做 30 分钟，然后甲、乙合作，问甲、乙合作还需多少小时才能完成全部工作？分析：设甲、乙合作还需 x 小时才能完成全部工作列出两人的工作效率、工作时间、工作量情况表（下表）从表中，可得等量关系：甲完成工作量乙完成工作量总的工作量工作效率工作时间完成工作量甲 41x2x214乙 6xx6解：如分析中所设，根据题意可得：，解得16214x1.2x答 甲、乙合作还要 2.1 小时才能完成全部工作说明：分析工程问题时，往往把工作总量作为
7、1 来考虑，每人的工作效率是相应各人单独完成工作总量所需时间的倒数，然后列出每人的工作效率、工作时间、完成工作量的情况表去找等量关系就很容易了例 6 某工人按原计划每天生产 20 个零件，到预定期限还有 100 个零件不能完成，若提高工效 25，到期将超额完成 50 个，问此工人原计划生产零件多少个？预定期限是多少天？分析：若设预定期限为三天，则由生产零件的个数找等量关系，若设生产零件（原计划）为 x 个，则由完成的时间找等量关系解法 1：设预定期限为 x 天，则 50%)21(0120x解得 （天）303020100700（个）所以，此工人原计划生产零件 700 个，预定期限为 30 天解法
8、 2：设原计划生产零件 x 个，则 %)251(02x解得 （个）， （天）70x301所以，此工人原计划生产零件 700 个，预定期限为 30 天说明：此题为工程问题，利用相关公式：工作量工作效率工作时间求解；运用的方法不同（设法不同），找的等量关系也不相同，难易也不相同例 7 男女生有若干人，男生与女生人数之比为 4：3，后来走了 12 名女生，这时男生人数恰好是女生的 2 倍求原来的男生和女生的人数分析：本题的等量关系为女生人数走了的人数男生人数的一半设男生人数为 4x 人，则女生人数为 3x 人，分析等量关系可列表为：解：设原有男生人数为 4x 人，女生人数为 3x 人，则依题意，有
9、2143x解得 则 12x63,8答；原有男生 48 人，原有女生 36 人说明：本例依据题中的比例关系设未知数，避免出现分数，使计算简便，这是解比例问题的常用方法例 8 已知某一铁路桥长 1000 米，现有一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到左边女生人数 3x 人，走了 12 人 右边男生人数 4x 人的一半完全过桥共用 1 分钟，整个火车完全在桥上的时间为 40 秒求火车的速度分析：本题要分清“火车过桥”与“火车在桥上”的不同点及每种情况火车所走路程设火车长为 x 米，则火车完全在桥上共走路程为 米，速度表示为)10(x（米秒），火车过桥共行驶路程为 米，速度可表示的 （米401 60
10、1x秒），这两个速度相等，画图表示为火车完全在桥上：火车一开始上桥到完全离桥：解：设火车长为 x 米，依题意，得 40160x解方程，得 20则 61答 火车长度为 200 米，火车行驶速度为 20 米秒说明：与车上（离）桥问题相似的还有“排头挑尾”问题在行进的队伍中， A从排尾到排头属追及问题，从排头到排尾是相遇问题设队伍速度为 ，长度为 ， A队V队S的速度为 ，时间为 t，则这两种情形分别有等量关系式为： ，AV 队队 tA)(，分析问题的关键是不能把队伍看成不动、只有 A 在动的情形队队 St)(例 9 有一个两位数，它的十位上的数字比个位上的数字小 3，十位上的数字与个位上的数字之和
11、等于这个两位数的 ，求这个两位数41分析：由已知“十位上的数字与个位上的数字之和等于这个两位数的 ”找等量41关系解：设十位上的数字为 x，则个位上的数字为 ，根据题意，得3x)3(104)3(x解得 3x6所以，这个两位数为 36说明：此题为数字问题，等量关系由题目已知的条件找出；表示这个两位数时，注意将十位上的数字乘以 10 后加上个位上的数字例 10 （2003 年深圳市中考题）我国很多城市水资源缺乏，为了加强居民的节水意识，合理利用水资源，很多城市制定了用水收费标准， A 市规定了每户每月的标准用水量，不超过标准用水量的部分按每立方米 1.2 元收费，超过标准用水量的部分按每立方米 3
12、 元收费该市张大爷家 5 月份用水 9 立方米，需交费 16.2 元 A 市规定的每户标准用水量是多少立方米？分析：由于 ，因此 9 立方米超过标准用水量，因此等量关系2.16802.1为：总收费标准用水量交费超过标准用水量交费解：设每户标准用水量为 x 立方米，由题意知 ，x因此， ，解得 （立方米）2.16)9(32.1x6所以， A 市规定的每户标准用水量为 6 立方米例 11 （2002 年陕西省中考题）某企业生产一种产品，每件成本价是 400 元，销售价是 510 元，本季度销售了 m 件，为进一步扩大市场，该企业决定在降低售价的同时降低生产成本，经过市场调研，预测下季度这种产品每件销售价降低 4，销售量将提高 10，要使销售利润（销售利润销售价成本价）保持不变，该产品每件的成本价应降低多少元？分析：降价前利润总额 （降价前的销售价降价前的成本价）m降价后的利润总额 （降价后的销售价降价后的成本价）%)10(解：设该产品每件的成本价应降低 x 元，则 m)4051()()4()1(50 解得 （元）.x所以，该产品每件的成本价应降低 10.4 元
