1、1四年级数列教师版知识要点1、按照一定次序排列的一列数叫数列。2、数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第 项（或首项） 、第 项、第12项、第 项、3n3、项数有限的数列叫做有穷数列，有穷数列的最后一项叫做这个数列的末项。项数无穷的数列叫做无穷数列。4、 （ 为正整数）(1)12(1)2n （ 为正整数）236 n5、如果一个数列，从第 项起的每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用 表示。d等差数列求和公式：和 （首项 末项） 项数 。26、如果一个数列，从第 项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数
2、列就叫做等比数2列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用 表示 。q0（或者从第二数开始每一个数都和前面数的倍数都是相同的，这个数列就叫做等比数列。 ）一般地，等比数列求和采用“错位相减法” 。 （公比不为 ）1一 一 一 一 一 一 一一 一 一 一 一一 一一 一一 一 一一 一 一 一 一一 一 一 一一 一 一一 一 一 一一 一 一 一一 一 一 一2传说西塔发明了国际象棋而使国王十分高兴，他决定要重赏西塔，西塔说：“我不要你的重赏 ，陛下，只要你在我的棋盘上赏一些麦子就行了。在棋盘的第 个格子里放 粒，11在第 个格子里放 粒，在第 个格子里放 粒，在第 个格子里放 粒，依此类推
3、，以后22348每一个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的 倍，直到放满第 个格子就行264了”。区区小数，几粒麦子，这有何难，“来人”，国王令人如数付给西塔。计数麦粒的工作开始了，第一格内放 粒，第二格内放 粒第三格内放 粒， 还没12有到第二十格，一袋麦子已经空了。一袋又一袋的麦子被扛到国王面前来。但是，麦粒数一格接一格飞快增长着，国王很快就看出，即便拿出全国的粮食，也兑现不了他对西塔的诺言。原来，所需麦粒总数为： 6421874039516这些麦子究竟有多少？打个比方，如果造一个仓库来放这些麦子，仓库高 公尺，宽4公尺，那么仓库的长度就等于地球到太阳的距离的两倍。而要生产这么多的
4、麦子，全世10界要两千年。尽管国家非常富有，但要这样多的麦子他是怎么也拿不出来的。这么一来，国王就欠了西塔好大一笔债。等差数列【例 1】 判断下面的数列中，哪些是等差数列？哪些是等比数列？如果是等差数列，请指明公差；如果不是，请说明理由。如果是等比数列，请指明公比；如果不是，请说明理由。数列一： 、 、 、 、 、；715923数列二： 、 、 、 、 、 、 、 、 ；245910数列三： 、 、 、 、 、 、 ；86数列四： 、 、 、 、 ；61数列五： 、 、 、 、 、 、 ；0909229数列六： 、 、 、 、 、 、 、 、 ；11数列七： 、 、 、【分析】数列一是等差数列
5、，公差为 ；因为 ，所以不是等比数列。4573数列二不是等差数列；不是等比数列。因为 ，即 ；所以数列二不是等差数列；因为 ，所212132aa 21以不是等比数列。数列三不是等差数列，数列三是等比数列，公比为 。2因为 ，即 ；所以数列三不是等差数列；2142132aa因为 ， ， ，所以数列三是等比数列。84数列四是等比数列，公比为 ；因为 ，所以不是等差数列。618数列五是等差数列，公差为 ；还是等比数列，公比为 。0数列六不是等差数列；也不是等比数列。因为 ，即 ；所以数列六不是等差数列；也不是等比数012132aa列。数列七是等差数列，公差为 。不是等比数列，因为等比数列的每一项都不
6、能为0。【例 2】 下图所示的表中有 个数，那么它们的和加上多少才等于 ？5 19417392137456284068025917384173254596【分析】 （方法一）需先求出所给数列的和，然后看和 差多少。1故可以先交给学生让大家用基本公式算所给数列的和，可以一行行算，或者一列列算，然后把所得的和相加。（方法二）利用等差数列和 中间数 个数第 列作为中间项，求和再乘以项数：6(312345)18第 行为中间数列求和再乘以项数：3(915273945176)58因此所求的和是 89【例 3】 在 这 个自然数中，所有能被 整除的自然数的和是多少？01【分析】在 这 个自然数中，能被 整除
7、的自然数依次为 、9、 、 、 ，182798(9)(9)1542 即在 这 个自然数中，所有能被 整除的自然数的和为 。10 94【例 4】 在不大于 自然数中，所有不能被 整除的自然数的和是多少？109【分析】 在不大于 的自然书中，能被 整除的自然数依次为 、 、 、 、091827、 ，98(0)()2798542101013 0所以在不大于 的自然数中，所有能被 整除的自然数的和为 。095946【例 5】 在 这 个自然数中，所有能被 整除或被 整除的自然数的和是多少？1241【分析】 在 这 个自然数中，能被 整除的自然数依次为 、 、 、0 4812、 ，96(20)()481
8、96 50在 这 个自然数中，能被 整除的自然数依次为 、 、 、1201123、 ，7(98)()3187 82在 这 个自然数中，既能被 整除又能被 整除的自然数，12041即能被 整除的自然数依次为 、 、 、 ，4,376(4176)()83 402 在 这 个自然数中，所有能被 整除或能被 整除的自然数的和为120 1。55【例 6】 （第七届小学“祖冲之杯”数学邀请赛第一（ ）题）七个连续的自然数，最大的两个数的和比最小的数大 ，那么中间的那个数是 。197_【分析】最大的数比最小的数大 ，()6所以第 大的数（从小到大第 数）为 ；2 19所以中间数（从小到大第 数）为 ；419
9、(4)8或第 大的数比最小的数大 ，(6)5所以最大的数（从小到大第 数）为 ；792所以中间数（从小到大第 数）为419(74)18【例 7】 计算： 。134670236970_ 【分析】 （方法一） 91 (0)(9126) 5(170)(1)3(69)(3)1852168022 （方法二） 4710679 (5685)(5658) (170)1)(2)(2)3480512 【例 8】 如图所示，有一个六边形点阵，它的中心是个点，算作第 层；第 层每边有 个2点（相邻两边公用一个点） ；第 层每边有 个点；这个六边形点阵共有3层。请问第 层有多少个点？这个点阵共有多少个点？201201【
10、分析】 第 层有 个点、第 层有 个点、第 层有 个点、1216326第 层有 个点。209054这个点阵共有 09 个点。() 14272 一【例 9】 如图所示， 条直线将 个平面分成 部分， 条直线最多将 个平面分成 部分，1 4条直线最多将 个平面分成 部分， 条直线最多将 个平面分成几部分？那么374条直线最多将 个平面分成多少部分？5【分析】 如果有 条直线，再增加 条直线，这条新增加的直线与前 条直线至多有 个交133点；所以这条新增加的直线至多能被分成 段；314因为每段直线将原有的部分分成 个部分；2所以至多能增加 个部分。 条直线最多将 个平面分成 部分。213 741如果
11、有 条直线，再增加 条直线，这条新增加的直线与前 条直线至多有 个交4点；所以这条新增加的直线至多能被分成 段；415因为每段直线将原有的部分分成 个部分；所以至多能增加 个部分。2415那么 条直线最多将 个平面分成 部分。 （下图中圆代表一个平面）5166【例 10】 如图所示， 条直线将 个平面分成 部分， 条直线最多将 个平面分成 部1214分， 条直线最多将 个平面分成 部分， 条直线最多将 个平面分成 部分，374，那么 条直线最多将 个平面分成多少部分？（圆内部代表平面）2091【分析】 如果有 条直线，再增加 条直线，这条新增加的直线与前 条直线至多有 个交k1kk点；所以这条
12、新增加的直线至多能被分成 段；1k因为每段直线将原有的部分分成 个部分；所以至多能增加 个部分。21（ ）kN所以 条直线最多将平面分成 个部分n2()()nn （ ） 。Z所以 条直线最多将平面分成 个部分。209209201946【例 11】 （ 年 月 日第十届“中环杯”小学生思维能力训练活四年级选拔赛120第一（ ）题）平面上有一个圆，能把平面分成 部分； 个圆最多能把平面分成 部分。现在有 个圆，最多能把平面分成 部分。47_【分析】 （方法一）列表可得圆的个数 1234567平面的个数 481234平面的个数之差是一个等差数列，例如 个圆到 个圆，平面的个数相差个，42个圆到 个圆
13、，平面的个数相差 个， 个圆到 个圆，平面的个数相差34个，186依次相加得到所以 个圆最多能将平面分成 个平面。72(68102)4（方法二）如图 所示，平面上 个圆把平面分成 部分；11如图 所示，增加 个圆，与原来 个圆至多有 个交点，2个交点能把增加的这个新增加的圆分成 段弧；2而每个段弧又将原来的的平面分成 部分，即新增加 部分；1所以 段弧至多增加 部分。2当有 个圆时，再增加 个圆，与原来 个圆至多有 个交点，k1kk个交点能把增加的这个新增加的圆分成 段弧；2 2而每个段弧又将原来的的平面分成 部分，即新增加 部分；1所以 段弧至多增加 部分。2k所以 个圆最多能将平面分成 个
14、平面；n 24()n 7所以 个圆最多能将平面分成 个平面。7274431 221一 2一 1等比数列【例 12】 在括号中填入数，使数列成为等比数列。、 、 （ ） 、 （ ） 、 、 、 ；24326418、 （ ） 、 （ ） 、 、 ；30、 、 （ ） 、 、 、 （ ） 、 （ ） 。11【分析】 、 、 （ ） 、 （ ） 、 、 、 ；公比为 。82、 （ ） 、 （ ） 、 、 ；公比为 。33010、 、 （ ） 、 、 、 （ ） 、 （ ） ；公比为 。24615761【例 13】 数列求和： 。828_【分析】这个数列从第二项开始每一项都是前面数的 倍，是等比数列。2
15、记 ，2416341s( )4163412856。52【说明】这种方法称为“错位相减法” 。【例 14】 计算： 。139278143729_【分析】这个数列从第二项开始每一项都是前面数的 倍，是等比数列。记 ， ，s 7812437918s32876s【例 15】 （ 年第四届小学“希望杯”全国数学邀请赛四年级第 试第 题）成语0“愚公移山”比喻做事有毅力，不怕困难。假设愚公家门口大山有 万吨重，愚80公有两个儿子，他的两个儿子又分别有两个儿子，依次类推。愚公和他的子孙每人一生能搬运 吨石头。如果愚公是第一代，那么到了第_代这座大山可1以搬完。 （已知 ）024【分析】愚公家第一代有 人，第
16、二代有 人，第三代有 人，第四代有 人，2243288第十三代有 人，124096因为 ，(8)10890 所以第十三代大山就全搬完。【例 16】 某课题研究小组对附着在物体表面的三个微生物（课题小组成员把他们分别编号为 、 、 ）的生长情况进行观察记录。这三个微生物第一天各自一分为二，123产生新的微生物（分别被标号为 、 、 、 、 、 ） ，接下去每天都都按照456789这样的规律变化，即每个生物一分为二，形成新的微生物。那么标号为 的微10生物会出现在第几天？【分析】第一天原有 个，第二天新增 个，第三天新增 ，3262124微生物分裂新增的个数是一个等比数列。分裂到第四天是有 个，1
17、4893分裂到第五天是有 个。6标号为 的出现在第五天。10其他数列【例 17】 如图表中数的排列顺序。请问 在第几行第几列？209第 列1第 列 第 列3第 列4第 列5第 行 5107第 行2468第 行398729第 行 1643第 行521 【分析】 根据填写顺序和规律，设 为数表中的一个数（ ） 。mmZ当 ，那么 在第 行、第 列（ ） ；2mnn1n当 ，那么 在第 行、第 列（ ） ；(1)当 ，那么 的行数和列数都小于等于 （ ） ；2 ,nZ当 ，那么 在 行或在 列（ ） ；(1)nm2nn,m第 行、第 列的数为 （ ） ，22(1)当 ，那么 在 列，2(1)nn当
18、，那么 在 行（ ） ；2nm2 ,mZ9当 ，那么 在 列、第 行，2(1)nm22(1)nmn2(1)n当 ，那么 在 行、第 列（ ） 。2 2,mZ， ， ；24193624502(41)5936105981 ；8在 行、第 列。0 2907【例 18】 正整数数列按图中排成一个数阵，自上至下第 行有 个数、第 行有 个数、123第 行有 个数、第 行有 个数（ 为正整数） 。请问：（ ）自上至35n1n1下第 行中所有数的和是多少？（ ） 排在第几行第几列？102034567891021516 【分析】前 行一共有 个数，它们的和为9 235(9)8；(18)321前 行一共有 个数
19、，它们的和为0 235(10)10；(1)52自上至下第 行中所有数的和为 。153279前 行一共有 个数（ ） 。n35(1)nnZ因为 ， ， ；所以 排在第 行第 列。249624064201457【例 19】 正整数 、 、 、的排列顺序如图表所示，其中 位于第 行、第 列。1 83请问 位于第几行（从上往下数） 、第几列（从左往右数）？0181716151413121110987654321【分析】设 为行数、 为列数， ，mnamn令 ， ，()12320 (1)402a10因为 、 ，所以 。623904263402min63a位于第 行、第 列；90151， 位于 行、第 列
20、。5757【例 20】 计算： 。2223960_ 【分析】 2 11517380 【说明】公式 的证明方法：223()26nn 图一旋转得到图二，再旋转得到图三。123411nn 143211nn 143211nn 图一 图二 图三记图一中所有数的和是 。2223sn 图一、图二、图三相同位置的三个数的和都是 ；1图一、图二、图三各有 个数；1()() 所以图一、图二、图三中所有数的和 32(1)2snn所以 12
21、16sn【例 21】 计算： 。222578930_ 【分析】 26 2222221346134 1111306459309425【例 22】 计算： ；222618_ 。2135179_ 【分析】因为 、 、 、 、 ；4232901所以 、 、 、2()22()226(3)、 ；218920102 2221461839040215406 ； 2222222221357918 04108154036【例 23】 计算： 。3297810_ 【分析】 145 (2)1()1(4)(9)(81)(9)(1) 2222222239813498 2221401985093516 【例 24】 计算：
22、 。1789120930_ 【分析】 6721283 1789178190189302930 2903635【例 25】 （ 年中国台湾省小学生数学竞赛选拔赛复赛第 题）2 412， ，则 的值的所有数字之和是多少？2036A 个 2035B 个 AB【分析】 2036 2032035 个 个 个 个1 12039 203() 个 个个 个 1 12032031203 203( ( ) 个 个 个 个 个 个2089 个 个所以 的值的所有数字之和为3AB120203187【例 26】 （ 年第十三届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛（小学组）初赛第 题）208 5若 ，则整数 的所有数位上的数字和
23、等于 。1452083a个 个a_【分析】 01045302083个 个 个 和 个 个 1453208319 个 和 个 个 个 和 个 个 和 个 （ ）01043003510495个 和 个 个 个 5和 个 个 个 和 个整数 所有数位上的数字和等于a()()18072【例 27】 已知 ，求 是多少？209209个个 数 相 加a【分析】因为 、 、29(1)(10)92、09220932091209()个 个 个 和 个所以 1209( )192a个 和 个 20910 73) 8个 和 个 个 和 个 （ ）因为 ；2345645所以 207130 23691802914350个
24、 和 个 个 和 个又因为 89所以 20713020713081892a个 和 个 个 和 个（ ） 13234691580246915358042个 和 个 31069758个 和 个【例 28】 将 、 、 、 、 任意分成 组，每组 个数，在每组中取数值1249510居中的那个数为“中位数” ，求这 个中位数之和的最小值和最大值。【分析】 对于每一个“中位数”都存在 个比它小的数、 个比它大的数。22从 开始顺次数到 ，每 个数一组分成 组，30然后将 到 这 个数任意分给这 组，1510例如：（ 、 、 、 、 ） ， （ 、 、 、 、 ） ，2145634（ 、 、 、 、 ）
25、；89这样得到的 个“中位数”之和最小，为0。(30)36712从 开始顺次数到 ，每 个数一组共分成 组，2150然后将 到 这 个数任意分给这 组，02例如：（ 、 、 、 、 ） ， （ 、 、 、 、 ） ，134256（ 、 、 、 、 ） ；64890这样得到的 个“中位数”之和最大，为。(28)121753【例 29】 将正奇数数列 、 、 、 、 、 、 、 、 、 ，按下列方式13795179分组：（ 、 ） ， （ 、 、 ） ， （ 、 ） ， （ 、 、 ） ，；请问要使1这个数列前 项之和最先超过 ，则第 项是多少？位于分组之后第几组的第n20n几个？【分析】 正奇数
26、数列前 项和为 ，235() 因为 ， ，241936240所以 ，第 项为 ，5n189n因为 ；所以第 项 位于 组的第 个数。83【例 30】 （ 年第二届“走进美妙的数学花园”中国青少年数学论坛趣味数学解题204技能展示大赛四年级）黑板上写有从 开始的一些连续奇数 、11、 、 、 、，擦去其中的一个数，剩下的所有的数之和为 。请问3579 208擦去的那个奇数是多少？【分析】 设这些连续的正奇数一共有 个（ ）nZ如果没有擦去，则黑板上所有正奇数的和为 2135(1)n ；所以 ， 2(1)n2021(2)0203因为 、 ；所以 ；43594604n414因为 、 ；所以 ；所以
27、，这些连续的正奇数一共2419362450n4545n有 个。5擦去的那个奇数为 。817【例 31】 用完全相同的小立方体在墙角上。在墙角上摆 层，有需要 个小正方体（如11图一所示） ；在墙角上摆 层，有需要 个小正方体（如图二所示） ；在墙角上摆24层，有需要 个小正方体（如图三所示） ；在墙角上摆 层，有需要 个小正310 45方体（如图四所示） ；依次类推；如果要摆 层，最下面一层需要多少个209小正方体？总共需要多少个小正方体？一 一 一 一 一 一 一 一【分析】 从上往下，第 层需要 个小正方体；第 层需要 个小正方体；12
28、1第 层需要 个小正方体；第 层需要 个小正方体；323434第 层需要 个小正方体；09(09)20195 第 需要 个小正方体（ ） 。n(1)12342n nZ如果要摆 层，需要09()(134)(34209) 5091452091222 个小正方体；09(1)(09)3135462如果要摆 层，需要n1()()(234)n 34515(1)22 2n n 个小正方体（ ） 。(1)(1)2326nnnZ【例 32】 （ 年第八届日本小学算术奥林匹克大赛高小组决赛第 题）从整数 开19 61始不改变顺序相加，中途分为两组，使各组的和相等。如 ；123。请问：除上述两例外，能够列出2341
29、561720 这样的最短的整数算式是从 到几？【分析】 如图 所示，把所求整数用阶梯图表示，在分开的部分（等号的地方）用虚线表115示；如图 所示，沿虚线将分开的部分折返。2一 2一 1CBAb a11 11图 中，设折返超出部分的长度 ，剩余部分的长度为 ；2a所以 ， ；()12AS 213(1)BSb 因为 ；所以 ，即 。CBSA2()因为 、 相邻；所以 ，即 、 互质。a1(,1)aa1所以 、 中，奇数为完全平方数，偶数除以 为完全平方数。2， ，满足条件，此时 、 ， ， ，212b23ab为第 个例子： ；3， ，满足条件，此时 、 ， ， ，9388a6140为第 个例子：
30、 141570 、 不是完全平方数，不满足条件；20， 、 都不是完全平方数，不满足条件；546， 不是完全平方数，不满足条件；978， ，满足条件，此时 、22549a， ， ，3ba19b为所求答案： ；38561 除上述两例外，能够列出这样的最短的整数算式是从 到 。9一课一练【练习 1】 计算： 。1368136180136108_ 【分析】 、 、 、 构成一个公差为 的等差数列，605、 、 、 、 构成一个公差为 的等差数列，38所以可把原式分成两部分来求和，每一部分都是 项，216，(106)(1)5160 72 ；38338 21 16101608 (60)( )72398
31、【练习 2】 计算：(58142609)(135121)_ 。【分析】 ( )(793) 209)(2)3(131)2685462 【练习 3】 求 到 这 个数中不能被 整除的整数之和。107【分析】由于 ，所以 到 中 的倍数有：07426 10， ， ， ， ，共 个，74289这是一个首项为 ，公差为 的等差数列，我们可用等差数列求和公式求出这一列数的和，再用 到 这 个数的和减去上述数列的和即可。10由等差数列求和公式可知：。74294 (7)142701又 350()250 到 中不能被 整除的整数之和为： 。 10 7492【练习 4】 计算： 。261327814363_ 【分
32、析】注意到 ， ， ， 和 ， ， ， 都是公差为 的等差56 1数列，所以可以分成两组求和，即把加法中的等差数列结合，减法中的等差数列求和，（方法一） 26132781453623 (5789036)(2145123) 3)()22（方法二） 5613781453623 ()()() 2656【练习 5】 个连续的自然数，后面 个数的积与前面 个数的积的差是 ，那么这32214个数中最小的是多少？【分析】 后面 个数的积与前面 个数的积的差等于最大的数与最小的数的差与中间数的2乘积；17最大的数与最小的数的差为 ；2所以中间数为 ；所以这 个数中最小的数为 。145735716【练习 6】
33、在括号中填入数，使数列成为等比数列。 、 、 （ ） 、 、 、 （ ） ；5080 、 （ ） 、 、 、 、 （ ） 。5【分析】是公比为 的等比数列， 、 、 （ ） 、 、 、 （ ） ；212048160是常数列（既是等差数列又是等比数列） ， 、 （ ） 、 、 、 、 （ ） 。55【练习 7】 。 1098721_ 【分析】 0213856 【练习 8】 （超常班，超常 3 班，超常 2 班，超常 1 班）计算：2019198979421_ 。【分析】 63 ()(1)3(2) 213579) 2900补充【补充 1】 计算： 209(2090290) 个2091(11) 个【
34、分析】原式 81 个2081(100) 个【补充 2】 某班参加校运动会的 名运动员的运动服号码恰是 号，这些运动员随919意的站成一个圆圈，则一定有顺次相邻的某 名运动员，他们的运动服号码数之3和不小于 ，请你说明理由。32【分析】假设 个英文字母分别对应 号。由于要证是相邻的某 名运动员号码数之1913和不小于 ；所以可以把这些号码每 个分成一组，然后求证。使用反证法。3在圆周上按逆时针顺序以 号为起点记运动服号码为 、a、 、 、 、 、 、 、 、 、 、bcdefghijk、 、 、 、 、 、 、 ，分别对应号码 ；lmnopqrs1918令 ， ， ， ， ，1aAbcd2Aef
35、g3Ahij4Aklm， ，5Anop6qrs则 。126234198bcs 假设他们运动服号码之和小于 ，即 中每一个都不大于 ，1236A、 、 、 31则 ，与 矛盾。所以 中至少有一个1263186A 1236A、 、 、大于 。3【补充 3】 某班学生的学号顺次编为 、 、 、，现在将所有学生学号之和减去 ，23 3得到的数正好是 的整数倍，已知学生学号之和在 和 之间。请问这个107140班有多少名学生？【分析】 设这个班有 名学生（ ） ，nZ学号之和为减去 为3(3)21234545n ， ；()20|n()71102所以 ， ；所以 或|(3)4(3)94n(3)2160n1
36、8因为 、 ；所以不存在 使 ；74215816Z()因为 ；所以 ，即这个班有 名学生。042n42【补充 4】 （ 年 月 日第十四届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题 卷（小学9 A组）第 题）已知 （ ）的和的个位数为 ，十位数为 ，813 n30则 的最小值是 。n_【分析】 （方法一）因为 的个位数为 ，十位数为 ；(1)22所以 的个位数为 ； 的个位为 或 ；(1)6n7经试算 、728、 、 、12()8()153(21)53、 、 ；7(21)7()87()70可得 。min3（方法二）因为 的个位数为 ，十位数为 ；12n319所以设 （ ） ；123103nxZ所以 ，(
37、)24(3)20nx因为 ， ；(mod5)n(od5)x所以 ，即 、 ；320|2n|3设 ，则 （ ） ；5n35(1)nmZ， ；(1)mx8x、 相邻且为一奇一偶，令 ， ， ，7(1)78m；5723n所以 的最小值为 。n37【补充 5】 在 、 、 、 这 个自然数中选出若干个数，使选出的数中1201任意两个数的和都不能被 整除，请问选出来的数的和最大是多少？【分析】 将 、 、 、 这 个自然数按被 除所得的余数分成 类：23 33能被 整除的数有 、 、 、 、 ，共 个；690721(0)1670被 除所得的余数为 的数有 、 、 、 、 ，共3148个；(201)67被
38、 除所得的余数为 的数有 、 、 、 、 ，共2582069个。90因为任意两个能被 整除（被 除所得的余数为 ）的数的和能被 整除；3 3所以选出的数中最多有 个能被 整除（被 除所得的余数为 ）的数。13因为任意一个被 除所得的余数为 的数与任意一个被 除所得的余数为 的数的2和能被 整除；3所以选出的数中不能同时存在被 除所得的余数为 的数和被 除所得的余数为13的数。2因为任意两个被 除所得的余数为 的数的和不能被 整除，31任意两个被 除所得的余数为 的数的和不能被 整除，23任意一个能被 整除的数与任意一个被 除所得的余数为 的数的和不能被 整除，13任意一个能被 整除的数与任意一
39、个被 除所得的余数为 的数的和不能被 整除；3 2又要使选出来的数的和最大；所以选出的数为所有被 除所得余数为 的数与最大的能被 整除（被 除所得的13余数为 ）的数0或者所有被 除所得的余数为 的数与最大的能被 整除（被 除所得的余数为 ）32 0的数。当选出的数为所有被 除所得的余数为 的数与最大的能被 整除的数的和为1320(120)(1)3147208 201673当选出的数为所有被 除所得的余数为 的数与最大的能被 整除（被 除所得的3余数为 ）的数0的和为 (209)(2)312582609106753所以选出来的数的和最大是 。673【补充 6】 根据某种规律列出如下算式： 12
40、45678901233452 以上各式的“计算结果”分别是 、 、 、 、，按照这个规律，请写6307514出第 个算式78以及第 个算式的计算结果。【分析】 、21(43)523(1)、2609(8)7(35)3、213(716(201)4(157)43228)(9)35(2)3(9)53、第 个算式左边第一个数为 ，左边有 个数，右边不包括n2(1)n12n有 个数31所以第 个算式为78；6239637683963593(21)(728)11 02或 (6389)(63)63189 35022或 ()(9628)1(29)2 所以第 个算式的“计算结果”为 。7850第 个算式的计算结果
41、为n21（ ） 。32222976(1)3(1)()4nnnn nZ【补充 7】 如图表中数的排列顺序。请问 在第几行第几列？201第 列1第 列 第 列3第 列4第 列5第 行 5107第 行2468第 行398729第 行 1643第 行521 【分析】 根据填写顺序和规律，设 为数表中的一个数（ ） 。mmZ当 ，那么 在第 行、第 列（ ） ；2mnn1n当 ，那么 在第 行、第 列（ ） ；(1)当 ，那么 的行数和列数都小于等于 （ ） ；2 ,nZ当 ，那么 在 行或在 列（ ） ；(1)nm2nn,m第 行、第 列的数为 （ ） ，22(1)当 ，那么 在 列，2(1)nn当 ，那么 在 行（ ） ；2nm2 ,mZ当 ，那么 在 列、第 行，2(1)n(1)nn2(1)n当 ，那么 在 行、第 列（ ） 。2n2 2,Z， ， ；24193624502(41)5936105981 ；8在 行、第 列。0 204
