1、信号与系统,授课专业：生物医学工程,本课程的学时按排及参考书目,一门重要的专业基础课，7254 (1-11周) 18(12-18周) 主讲教材： 信号与系统上下册 郑君里编 高等教育出版社 参考书目： 信号与系统刘树棠译 西安交通大学出版社 信号与系统第二版 奥本海姆著 电子工业出版社 信号与线性系统分析吴大正编 高等教育出版社,第一章绪论,信号与系统,学习对信号进行某种加工或变换的基本原理和基本方法。其目的是：削弱信号中的多余内容；滤除混杂的噪声和干扰；或者将信号变换成容易分析与识别的形式，便于估计和选择它的特征参量。信号处理的应用已遍及许多科学技术领域。 （1）从月球探测器发来的电视信号可
2、能被淹没在噪声之中，可利用信号处理技术予以增强，在地球上得到清晰的图像。 （2）石油勘探、地震测量以及核试验监测中所得数据的分析都依赖于信号处理技术的应用。 （3）心电图、脑电图分析、语音识别与合成、图像数据压缩、工业生产自动控制以及经济形势预测等各领域广泛应用。,1.1基本概念,信号是反映信息的一种物理量，如电、光、声、温度等。根据反映信息的物理量不同，信号可分为光信号、电信号、声信号、位移信号、力信号、等。因此信号有多种形式，但这些都是外在的东西，信息才是它的内容，是内在的东西。信息是内容信号是形式,例：A.世界杯足球赛实况报到时，现场的体育记者用摄影机记录下比赛的实况，得到大量的图片或影
3、像信息。为了传送这些图像信息，需要先转换成电信号，再由卫星通信系统和电视广播系统传送给各地的观众。（语音、图像、数据等信号）B.电脑之间的数据、图像传输，转化成光信号或电信号等。,信息与信号,由此可见，信号是信息的载体，二者共存。无信息的信号是噪声。我们通过研究信号的基本性能，分析其特征，以了解其内在包含的信息内容，这个过程包括信号的描述、分解、变换、检测、特征提取等。,1.含有工频噪声的心电信号,2. 滤波处理后的心电信号,心电信号和脑电信号 对电信号进行处理来得到我们想要的信息。,系统系统是为完成某种功能，以得到所需输出的某种部件（或元件）的组合体，即功能体的组合。 例：声音传播系统声音通
4、过喇叭放大、传播；计算机系统、自动控制系统、经济结构系统、生态系统等。大到整个国家管理机构是一个系统，小到一个RC电路也是一个系统。因此，“系统”是一个非常广义的词。网络通常指通信网或计算机网，在非常复杂的电路中也称电网络。在本书中，系统、网络、电路等名词通用。,信号与系统信号与系统的概念应用于很多领域：通信、雷达、图像处理、电视广播、自动控制及计算机网络等等。例：在电路中，传输的是电信号：变化的电流和电压是信号；电路本身是一个系统；电路对输入电流或输入电压的响应就是输出信号。汽车驾驶过程中，驾驶员脚踩油门使汽车加速：踩在油门上的压力是输入信号，汽车是系统，它在压力的作用下产生的加速度是输入的
5、响应，即输出信号。医院里X光CT扫描仪检测病人体内病变：透视人体的X光是输入信号，CT扫描仪是系统，得到的人体断层图像是输出信号。拿一个电路来说，只有当信号流入后系统才启动，系统是信号传送、处理、加工的场所。离开了信号，系统将失去意义。因此信号与系统相互依存，密切相关。,1.2信号的描述、分类和典型示例 P4,信号的描述信号的波形：在一定条件下，其物理量值随时间的变化而变化，若以时间为横轴，以信号的物理量值为纵轴，可以得到一种变化的波形，即信号的波形。信号所包含的信息就在变化的波形中。函数：写成数学表达式的形式。例：电压随时间变化。,信号的分类确定性信号与随机信号周期信号与非周期信号连续时间信
6、号与离散时间信号一维信号与多维信号调制信号、载波信号与已调信号等。,确定性信号信号可以被表示为一确定的时间函数，对于指定的某一时刻，可确定一相应的函数值。如正弦信号。与它相对应的是随机信号：不能给出确切的时间函数。如干扰或噪声信号。本书着重讨论确定性信号分析（包括各种周期性和非周期性信号）。,连续时间信号如果所讨论的时间间隔内，除若干不连续点之外，对于任意时间值都可给出确定的函数值，此信号就称为连续时间信号。连续信号的幅值可以是连续的，也可以是离散的。与它相对应的是离散时间信号：在时间上是离散的，只在某些不连续的规定瞬时给出函数值，其他时间没有定义。时间和幅值均连续：模拟信号时间离散，幅值连续
7、：抽样信号时间和幅值均离散：数字信号,典型的连续时间信号,指数信号这是一个重要信号，优点：可连续微分和积分，且微分、积分的结果还是指数形式；正弦、余弦信号也可以用指数信号表示。在实践中遇到的一些函数或波形，都可以表示成不同指数函数的和。,将ll的倒数称为指数信号的时间常数，即 ，越大，指数信号的增长或衰减的速率越慢。,指数信号的表达式为：f(t) =Kest 其中s=+j，是复数，当实部和虚部都不为0，称为复指数信号。 当s=0，f(t) =K 直流信号，信号不随时间变化0，信号随时间而增大 当s= ，f(t) =Ket 实指数信号 0 ，信号随时间而衰减,重要,正弦信号正弦信号是另一个重要的
8、信号。正弦信号、余弦信号仅在相位上相差/2，经常统称为正弦信号，表达式：f(t) =Ksin(t+) 式中，K为振幅， 为角频率，为初始相位。 正弦信号对时间的微分和积分仍为同频率的正弦信号。正弦信号是周期信号，其周期T、频率f和 角频率之间满足关系式：,Sa(t)信号(抽样信号)Sa(t)信号定义为sint与t之比，即 (与采样信号相区别),Sa(t)函数 (1)是偶函数，其波形关于纵轴对称，且在时间t的正负两个方向上振幅都逐渐减小； (2),作业：P37 1-1 1-2,1.3阶跃信号与冲激信号 P13,在信号与系统分析中，经常要遇到信号本身有不连续点（跳变点）或其导数与积分有不连续点的情
9、况，这类函数称为奇异信号。奇异信号：斜变信号、阶跃信号、冲激信号、冲激偶信号。 两种最重要的理想信号模型方法：把实际信号按照某种条件理想化，运用理想模型进行分析。,斜变信号单位斜变信号（重要）斜变信号/斜坡信号/斜升信号它是从某一时刻开始随时间正比例增长的信号。如果增长的变化率是1，就称为单位斜变信号。,如果将起始点移至 ,则可写成,截平的斜变信号在时间以后斜变波形被切平。,三角形脉冲信号也可用斜变信号表示。,阶跃信号单位阶跃信号（重要）,在跳变点t=0处，函数值未定义，工程处理时通常规定u(0)=1/2。 单位斜变信号的导数等于单位阶跃信号，即,阶跃信号单边特性明显：信号在接入时刻以前的幅值
10、为零。 利用阶跃信号的单边特性，可以方便地用数学表达式来描述各种信号的接入特性。,例1：正弦信号和指数信号,单边有始信号,例2：矩形脉冲信号矩形脉冲信号可用阶跃信号及其延时信号之差表示。,下标T表示矩形脉冲出现在0到T时刻之间。如果矩形脉冲对于纵坐标左右对称，则可用GT(t)表示。,下标T表示其矩形脉冲宽度。,例3：符号函数sgn(t)符号函数定义为：,与阶跃信号类似， 符号函数在跳变点也未定义，或规定sgn(0)=0。因此，可以用阶跃信号来表示符号函数,单位冲激信号某些物理现象需要用一个时间极短，但取值极大的函数模型来描述。例如：力学中瞬间作用的冲击力，电学中的雷击电闪，数字通信中的抽样脉冲
11、等等。定义 冲激函数可用3种不同的方式来定义：(1) 用规则函数的极限定义可对矩形脉冲、三角形脉冲、双边指数脉冲等规则函数取极限，来定义冲激信号。,以矩形脉冲为例,取矩形脉冲的宽为，高为1/，保持矩形脉冲的面积 1/=1不变，使脉宽0，则脉冲幅度1/，这时的矩形脉冲就成了单位冲激函数(t)信号。(t)只有t=0点有一个冲激，而在t=0点以外的各处函数值均为零。箭头旁边的(1)表示冲激的强度为1，幅值为无穷大。,(1),(2) 狄拉克Dirac定义Dirac给出函数的另一个定义,也称函数为狄拉克(Dirac)函数。,描述在任一点t=t0处出现的冲激，可定义(t-t0)函数：,这样的定义与用规则函
12、数极限定义是 相符合的。显然，有,(3) 用分配函数定义书上2.9节初步介绍了这种定义方式，了解即可。,的性质(1)抽样性,(2)奇偶性是偶函数证明：,(3)尺度变换特性证明：,(4) 冲激函数的积分是阶跃函数,反之：阶跃函数的微分应等冲激函数,冲激偶信号冲激函数的导数为一对呈正负极性的冲激，且它们的强度为无穷大，这就是冲激偶信号，用 表示，即,的性质(1)它所包含的面积等于零。这是因为正、负两个冲激的面积相互抵消了。,(2)证明：,(3)证明：,(4)奇偶性冲激偶信号是一个奇函数。,(5)尺度变换特性,举例1. 2.,3. 4.,u(0)=1/2,5. 6.,7.,在积分区间内只有正半轴有效
13、,作业：P38 1-8 1-14,1.4信号的运算 P9,在系统分析中，在信号的传输与处理过程中需要进行信号的运算。基本运算包括：相加、相乘、平移、反褶、尺度变换、微分、积分等。这些功能可以由一些特定的物理器件，如加法器、乘法器、微分器、积分器等来实现。,例(2),相乘,例(1),例(2),在雷达、声纳以及地震信号检测等问题中容易找到信号移位现象的实例。如在通信系统中，长距离传输电话信号中，则信号在接收端与发送端相比较，就会有较明显的延时，即移位，可能听到回波。,平移 f(t) f(t+t0)，若常数t00，波形向负t轴方向整体移动t0；若常数t00，波形向正t轴方向整体移动t0。,反褶如果将
14、信号f(t) 的自变量t更换成-t，则f(-t)的波形相当于f(t)以纵坐标为轴反褶过来。如果f(t) 是已录制的磁带所记录的信号，那么f(-t)就是磁带倒放所产生的信号。,尺度变换如果将信号f(t) 的自变量t乘以一个正实系数a，则当a1时，信号f(at) 的波形是f(t)波形的压缩；当a1时，信号f(at) 的波形是f(t)波形的扩展。此种运算称为尺度变换。如果f(t) 是已录制的磁带所记录的信号，那么f(2t) 就是磁带以2倍速度快速播放的信号，f(t/2)就是磁带以 1/2的速度慢速播放的信号。,微分和积分信号f(t) 经微分后其变化部分被突出显示出来，如图。如果f(t) 是一幅图像信
15、号时，则f(t)经过微分处理后将使图像边缘轮廓更清晰。而积分运算的作用效果正好与微分相反，它使信号的突变部分变得平滑。因此，利用积分运算可以削弱信号中的小毛 刺等噪声影响，在系统中合理地增加积分环节可 提高其抗干扰能力。,举例1.已知信号f(t)的波形如图，试求f(3t-1)和f(-3t-1)的波形。,改变变换的顺序，得到的结果相同。,作业：P38 1-4 1-5,1.5信号的分解 P23,一般情况下，实际信号的形式比较复杂，若要直接分析各种信号在系统中的传送、处理等问题常常较困难。通常采用的方法就是将一般的复杂信号进行分解。信号的分解如同力的分解那样可分解为几个基本分量之和。这些基本分量即基
16、本信号（或基函数）除必须满足一定的数学条件外，其主要特点是简单（包括实现起来简单和分析起来简单）。最常采用的基函数有冲激函数、阶跃函数、正弦函数、复指数函数等。基函数取得不同，信号分解的形式也多样：直流分量与交流分量分解；奇偶分解；脉冲（冲激）分解；正交分解，等等。,直流分量与交流分量分解 任一信号f(t)都可以分解为直流分量与交流分量两部分之和。直流分量：信号的平均值。 fD(t)交流分量：去掉直流分量后剩下的部分。fA(t)f(t)= fD(t)+ fA(t)对于交流分量，必有即交流分量在一周期内的积分为零。重要结论：一个信号的平均功率等于直流功率和交流功率之和。,奇偶分解 任一信号f(t
17、)都可以分解为偶分量与奇分量两部分之和。偶分量定义： fe(t)= fe(-t)奇分量定义： fo(t)= -fo(-t)分解公式为：重要结论：一个信号的平均功率等于偶分量功率和奇分量功率之和。将信号奇偶分解完毕后可将fe(t)和 fo(t)相加，看看是否等于 f(t)，这是一种检验分解正确与否的有效手段。下面给出三个信号奇偶分解的实例。,例1,例2,例3,脉冲（冲激）分解 任一信号f(t)都可以近似分解为一系列的矩形窄脉冲的叠加组合，当矩形窄脉冲的宽度趋近于零，则矩形脉冲冲激信号，连续和 积分。如图，利用此方法分解信号f(t)，设在时刻被分解的矩形脉冲高度为f ()，宽度为，则此脉冲的表示式
18、可写作,从=将许多这样的矩形脉冲单元叠加，即得f(t)的近似表达式取 0的极限，则有,结论：任意信号可分解为一系列的冲激信号的叠加。在系统的时域分析中相当重要。,卷积和,正交函数集分解 所谓正交函数集，就是由这样n个函数g1(t)， g2(t)， ，gn(t)构成的一个函数集，这些函数在区间(t1,t2)内满足如下正交特性：这样的函数集就是正交函数集。指数函数、三角函数都属于此类函数集。信号f(t)可用n个互相正交的函数的线性组合来实现。后面几章中将介绍傅里叶变换和拉普拉斯变换分解，它们都属于正交函数集分解。傅里叶变换是以正弦函数作为基函数(Basic Function)， 拉普拉斯变换是以复
19、指数函数作为基函数,脉冲分解的基函数是函数。,作业：P40 1-18 (b) (d),1.6系统模型及其分类 P28,只有当信号流入后系统才会启动。为分析信号，我们已将其抽象为函数，为分析系统也须进行数学抽象，即对系统建立模型。所谓系统的模型，就是用数学表达式或具有理想特性的符号组合图形来表示系统的特性，如：微分方程、系统函数、信号流图和系统方框图等。系统模型的建立，是在一定的条件下对系统特性进行一定的简化与近似，即需要在系统特性的简化与准确度之间折衷。有些实际的系统是非常复杂的，要完全按照其原来的真实在面目是无法建立模型的，或者这样的模型太复杂，不便于分析、综合。例如，严格地讲，实际物理系统
20、多少均具有非线性特性，但在一定的条件下，某些系统可近似简化为线性系统模型，前提条件是简化的结果不能与实际系统有太大的差异。如，积分，求极限，矩形脉冲分解。,系统的分类 系统按不同的数学模型可划分为不同的类型：连续 集总参数 确定 线性 时不变（定常）离散 分布参数 随机 非线性 时变连续、离散时间系统连续时间系统：输入、输出都是连续时间信号，且系统内部的信号也 全是连续时间信号；用微分方程来描述。 离散时间系统：输入、输出都是离散时间信号；用差分方程来描述。在工程实践中，这两种系统经常组合运用，称为混合系统。,集总参数、分布参数系统集总参数系统：仅由集总参数元件（如R，L等）组成。在这样的系统
21、中，人们认为系统的电能仅贮存在电容中，磁能仅贮存在电感中，而电阻是消耗能量的元件，并且在集总参数系统中电磁能量的传输不需要时间，作用于系统任何处的激励，能立即传输到系统的各处。实际上，只有当电路尺寸远远小于输入信号的波长时才是合理的。 分布参数系统：含有分布参数元件（如传输线、波导、天线等）的系统。在传输线中，电阻、电感和电容是沿线连续分布的，在这样的系统中，某处的激励传输到其他点需要一定的时间。因此，研究分布参数系统所涉及到的独立变量除了时间外，还有空间位置。,确定性、随机变量系统确定性和随机性是相对于系统中出现的变量而言，也可相对于系统数学模型变量（包括结构、参数）而言。在确定性条件下，系
22、统的信号和数学模型可唯一地确定。在随机性情况下，系统的信号或数学模型（如系统方程系数）是随机的，完全是无规则的。参照确定性信号和随机信号P4。,线性、非线性系统线性系统：满足叠加性和齐次性（也叫均匀性）的系统。可用线性微分 （或差分）方程来描述。叠加性：当几个激励信号同时作用于系统时，总的输出响应等于每个激励单独作用所产生的响应之和；齐次性：当输入信号乘以某常数时，响应也倍乘相同常数。非线性系统：不满足叠加性和齐次性的系统。用非线性方程来描述。,时不变、时变系统时不变系统：参数不随时间而变化。 时变系统：参数随时间改变。本课程着重讨论确定性输入信号作用下的集总参数线性时不变系统。 线性时不变系
23、统：linear time-invariant，缩写为LTI。 在以后的讲述中，我们将其简称为LTI系统。我们把研究的重点放在LTI系统，原因： 一是，有相当一部分实际系统在一定的条件下，一定的范围内可看作是LTI系统，遵从此类系统的运动规律； 二是，LTI系统的分析方法已形成一个完整的、严密的体系，可以说是相当成熟。,系统模型的建立 系统的模型除了数学表达式外，还可以建立各种图模型，其中方框图就是一种重要的图模型。方框图由一些基本单元方框图和有向线段组成。其中，有向线段表示信号传送的方向；基本单元方框图反映某种数学运算功能，给出该方框图输出与输入之间的约束关系。对于线性微分方程描述的系统，它
24、的基本运算单元是相加、倍乘和积分（或微分）。（注：P12积分抗干扰性好）,例1 如果一个LTI系统由一阶常微分方程描述为： 画出该系统的方框图。答：将上式中除输出响应r(t)的最高阶导数dr(t)/dt以外都移到等号的右端，得式中，最高为一阶导数，只需要一个积分器。积分器的输出是r(t) ，则其输入就是dr(t)/dt。 将e(t)和r(t)经数乘器分别乘以系数b0，-a0后送到加法器，就可得到dr(t)/dt。得方框图(a)：,例2 如果一个LTI系统由一阶常微分方程描述为： 画出该系统的方框图。答：将上式中除输出响应r(t)的最高阶导数dr(t)/dt以外都移到等号的右端，得同理，只需要一
25、个积分器。将上式两边积分，得方框图：,作业 P40 1-19（1）如果一个LTI系统由一阶常微分方程描述为： 画出该系统的方框图。提示：等号右端的激励项实际上是例1和例2的激励项之和。根据线性系统满足叠加性和齐次性，有r(t)= r1(t)+ r2(t)式中r1(t)和r2(t)是一阶LTI系统分别在b0e(t)、b1de(t)/dt单独作用下的输出响应；而r(t)则是一阶LTI系统在b0e(t)和b1de(t)/dt共同作用下的输出响应。注：上述介绍的利用线性微分方程基本运算单元建立系统方框图的方法也称为系统仿真或系统模拟。,1.7线性时不变系统 P33,线性系统具有线性性质（即叠加性与齐次
26、性）；时不变系统具有时不变特性。LTI系统既满足叠加性与齐次性，又满足时不变特性。总结：LTI系统的基本性质 叠加性与齐次性；时不变特性；微分特性； 叠加性与齐次性 因果性。若系统的激励e(t)作用于该系统所引起的响应为r(t) ：e(t) r(t) 对于线性系统，若e1(t) r1(t) ， e2(t) r2(t)，则C1e1(t)C2 e2(t) C1r1(t) C2r2(t)其中，C1， C2为常数。对于动态系统（即具有记忆功能的系统），其输出不仅取决于系统的激励，而且与系统的起始状态有关。若起始状态为零，则系统满足叠加性与齐次性。若起始状态非零，必须将外加激励信号与起始状态的作用分别处
27、理才能满足叠加性与齐次性。,时不变特性 对于时不变系统，若系统的激励为e(t)，产生的响应为r(t) ：e(t) r(t) 那么，当系统的激励为e(t-t0) ，产生的响应为r(t-t0)： e(t-t0) r(t-t0),注：当激励延迟一段时间t0时，其输出响应也同样延迟t0时间，波形形状不变。,r(t),e(t),e(t-t0),r(t-t0),微分特性 对于时不变系统满足微分特性，若系统的激励为e(t) ，产生的响应为r(t) ： e(t) r(t) 那么，当系统的激励为de(t)/dt时 ，产生的响应为dr(t)/dt ： de(t)/dt dr(t)/dt,因果性 因果系统：是指系统
28、在t0时刻的响应只与t=t0和tt0时刻输入有关，否则，即为非因果系统。因果性（Causality)：外界激励或非零起始状态是产生响应的原因，响应是它们引起的后果。因果信号：常把t=0接入系统的信号（在t0时函数值为零）称为因果信号。例： 系统模型若为： r1(t) =e1(t-1) 因果系统系统模型若为： r2(t) =e2(t+1) 非因果系统注：对于因果系统，若激励为因果信号，则其相应的响应也是因果信号。若在t0时激励为0，且起始状态也为0，则在t0时其相应的输出响应也必定为零。,例题判断系统 的线性、时不变性、因果性。（1）令不满足线性要求，为非线性系统。（2）当激励为 时，输出为满足
29、时不变性，为时不变系统。（3）由 知，响应只与当前输入有关，故系统为因果系统。,作业P40 1-20 (1)(2)(3)(4)(5)1-23,1.8系统分析方法 P35,在建立系统模型时，对系统的数学描述方法有：1.输入输出描述法2.状态变量描述法从系统数学模型的求解方法来讲，可分为：1.时域法（时间域方法）2.变换域法（频域、拉氏域、Z域）,输入输出描述法着眼于系统的激励与响应之间的关系，它可以直接给出关于某一激励经过系统所引起的响应。优点：对于研究在无线电技术中常遇到的单输入单输出系统是很方便的、有效的。缺点：只将输入变量与输出变量联系起来，不适合从系统内部去观察系统的各种问题。,状态变量
30、描述法用状态方程和输出方程分别描述了系统内部状态变量与激励之间的关系以及系统响应与状态变量、激励之间的关系。优点：揭示了系统内部的数学结构，特别适用于多输入多输出系统的分析，不仅适用于线性时不变系统，也可推广应用于时变系统和非线性系统。,时域法不作任何变换，直接求解系统方程，系统的分析、计算全部在时间变量领域内进行，得出系统的时间响应特性（时域特性）。优点：直观，是学习各种变换域分析法的基础。,变换域法将信号与系统模型的时间函数变换成相应变换域的某种变量函数。如傅里叶变换是以频域中的 为独立变量，以信号和系统的频域特性为研究对象；拉普拉斯变换是以复频域中的复数 为独立变量，以复频域特性或网络函数为研究对象，重点分析零、极点对信号和系统的影响。优点：变换域法可将时域分析中的微、积分运算转化为代数运算，将卷积积分转化为乘法，为解决实际问题带来许多方便之处。,好学力行 造就良医,Thank You!,生物医学工程,
