1、1恒成立问题常见类型及解法重庆清华中学 张忠在近年高考试题中，常见条件中出现“恒”、 “都”、 “总”、 “永远”、 “一切”等关键词的试题，我们习惯上称之为恒成立问题。对此类题，许多学生常常一筹莫展，但如果了解它的题型，选择合适的对策，解决问题就会游刃有余。 高中数学中的恒成立问题，总体上分为两种典型类型：等式的恒成立和不等式的恒成立。一、等式的恒成立问题（恒等问题）【例】 是否存在常数 a、b、c 使得等式：对一切自然数 n 都成立？证明123122nnabnc()()你的结论。(一). 利用多项式恒等定理，建立方程组求参数多项式 f(x) g(x)的充要条件是：对于 a 的任意一个取值，
2、都有 f(a) g(a)；或者两个多项式各同类项的系数对应相等。解法一：因为 322)1(nn所以 12322()()()()(11223241022332 nnnn显然当 时等式对一切自然数 n 都成立。abc31， ，(二). 待定系数法和数学归纳法对策：先用待定系数法探求 a、b、c 的值，再利用数学归纳法证明等式对一切自然数n 都成立。2解法二：令 n=1，n=2，n=3 可得，解得 。以下用数学归纳法证明：等式 122+232+n(n+1)= (3n2+11n+10)对一切自然数 n 都成立(证略)。(三)、根据函数的奇偶性、周期性等性质若函数 f(x)是奇 (偶)函数，则对一切定义
3、域中的 x ,f(-x)=-f(x)(f(-x)=f(x)恒成立；若函数 y=f(x)的周期为 T，则对一切定义域中的 x,f(x)=f(x+T)恒成立。【例】若 f(x)=sin(x+ )+cos(x- )为偶函数，求 的值。分析：告诉我们偶函数这个条件，即相当于告诉我们一个恒成立问题。解：由题得：f(-x)=f(x) 对一切 x R 恒成立，sin(-x+ )+cos(-x- )=sin(x+ )+cos(x- )即 sin(x+ )+sin(x- )=cos(x+ )-cos(x- )2sinxcos =-2sinxsin sinx(sin +cos )=0对一切 x R 恒成立， 只需
4、也必须 sin +cos =0。=k .（k Z)4练习：已知曲线 c 的方程是(t+1)x 2+y2-2(a2+2at)x+3at+b=0，对于任意实数 t，曲线c 恒过定点 P(1,0)，求定值 a、b。对策：把 P(1,0)代入曲线方程，分离出参数 t 后，视参数的系数为零，从而确定a、b。解：把 P(1,0)代入曲线方程得：t+1-2(a 2+2at)+3at+b=0。3整理得：(1-a)t+1-2a 2+b=0。 ，解得 。二、不等式的恒成立问题(一)、一次函数型( 主参换位法)给定一次函数 y=f(x)=ax+b(a 0),若 y=f(x)在m,n内恒有 f(x)0，则根据函数的图
5、象（直线）可得上述结论等价于） 或） 亦可合并定成0)(mfa0)(nfa0)(nfm同理，若在m,n内恒有 f(x)p+2x 恒成立的 x 的取值范围。分析：在不等式中出现了两个字母：x 及 P, 关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。显然可将 p 视作自变量，则上述问题即可转化为在-2，2 内关于 p 的一次函数大于 0 恒成立的问题。略解：不等式即(x-1)p+x 2-2x+10,设 f(p)= (x-1)p+x2-2x+1,则 f(p)在-2,2上恒大于 0，故有：即 解得：)2(f01342x13x或或x3.【例】 （2007 辽宁文 22) 已知函数 ，32 2()9
6、cos48s1inf x，且对任意的实数 均有 ， ()gxft1cos0gt (in)0gt（I）求函数 的解析式；()x（II）若对任意的 ，恒有 ，求 的取值范围26m， 1)(3mxfnmo xynmo xy4解析()略（）由() ，32()94fxx所以 .2110fm令 ，则 即 .()hx2()fxm()0h由于 ，则有 .26,2(694)1hx解得 .13x【练习】：若不等式 x2+px4x+p-3 对满足 0p4 的所有 x 都成立，求 x 的范围。解析：观察所给的字母范围，当给定的是参数范围时，我们可以用改变主元的办法，将 p 视为主变元，即将原不等式化为：(x-1)p+
7、x 2-4x+30，令 ，则当 0p4 时，有 恒成立，34)1()2xxf 0)(pf所以只需 即 ，所以 x 的范围是 x3。0f 0)(2x【练习】：若对于任意 a ，函数 的值恒大于 0，1,aaf 242求 x 的取值范围。分析：此题若把它看成 x 的二次函数，由于 a, x 都要变，则函数的最小值很难求出，思路受阻。若视 a 为主元，则给解题带来转机。解： 设 ，把它看成关于 a 的直线，42g由题意知，直线恒在横轴上方。 所以 01g解得： 或 或x23x【练习】： 对于（0，3）上的一切实数 x,不等式 恒成立，求实数 m12xm的取值范围。分析： 一般的思路是求 x 的表达式
8、，利用条件求 m 的取值范围。但求 x 的表达式时，两边必须除以有关 m 的式子，涉及对 m 讨论，显得麻烦。解： 若设 ，把它看成是关于 x 的直xf 2112线，由题意知直线恒在 x 的轴的下方。所以0f 503f解得： 521m【练习】： 若对一切 ，不等式 恒成立，ppxxpx222log1logl求实数 x 的取值范围。解： 原不等式变形为 ， 0ll1log222x现在考虑 p 的一次函数：1logll 222 xf 在 上恒成立0,0ll1log222 xxxf1og2解得： 或8x10x x 的取值范围为 ,82,【例】：若不等式 对满足 的所有 都成立，求 x 的范围。)1(
9、2xm2m解析：我们可以用改变主元的办法，将 m 视为主变元，即将元不等式化为：， ；令 ，则 时，0)1()(2xm)1()()2xf 2恒成立，所以只需 即 ，所以 x 的范围0f 0)(f0)2()(2是 。)231,7(x(二)、二次函数型根据题目要求，构造二次函数。结合二次函数实根分布等相关知识，求出参数取值范围。类型 1：设 ，)0()(2acbxxf（1） 上恒成立 ；R在00且6（2） 上恒成立 。Rxf在0)( 0且a【例】:若不等式 的解集是 R，求 a 的范围。01)2a解析：二次项系数为 10,所以只要 即可。4)1(2【例】：若不等式 的解集是 R，求 a 的范围。)
10、()(2x解析：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数 a，所以要讨论 a-1 是否是 0。（1）当 a-1=0 时，不等式化为 20 恒成立，满足题意；（2） 时，只需 ，所以，00)1(8)(12aa )9,1a类型 2：设 )(2cbxxf（1）当 时， 上恒成立a,0f在，0)(2)(2fabfb或或上恒成立,0xf在 )(f（2）当 时， 上恒成立a,0)(xf在 0)(f上恒成立,0)(xf在 )(20)(2fabfab或或【例】：若不等式 x2-2mx+2m+10 对满足 0 x 1 的所有实数 x 都成立，求 m 的取值范围。解析：设 f(x)=
11、x2-2mx+2m+1。不等式 x2-2mx+2m+10 对满足 0 x 1 的所有实数 x 都成立函数 f(x)在 0 x 1 上的最小值大于 0。而 f(x)的对称轴为 x=m,原问题又化归为二次函数的动轴定区间的分类讨论问题。(1)当 m1 时，f(x)在0,1 上是减函数，因此 f(1)是最小值解得 m102f(1)m综合(1)(2)(3) 得 注：此型题目还可以用参数分离法。21【例】设 f(x)=x2-2ax+2,当 x -1,+ )时，都有 f(x) a 恒成立，求 a 的取值范围。分析：题目中要证明 f(x) a 恒成立，若把 a 移到等号的左边，则把原题转化成左边二次函数在区
12、间-1,+ )时恒大于 0 的问题。解：设 F(x)= f(x)-a=x2-2ax+2-a.)当 =4（a-1)(a+2)0.则原方程有解即方程 t2+(4+a)t+4=0 有正根。即04)(21xa4016)(2a48a或解得 a -8.解法 2（利用根与系数的分布知识）：即要求 t2+(4+a)t=0 有正根。设 f(x)= t2+(4+a)t+4.10. =0,即（4+a） 2-16=0,a=0 或 a=-8.a=0 时，f(x)=(t+2) 2=0,得 t=-20,符合题意。a=-8.20. 0,即 a0 时，f(0)=40,故只需对称轴 ，即 a0 在 上恒成立。f1,02010mf
13、2 41( )01mg解得 ： 或 或021 ，m即 m 的取值范围为： ,2(三)、分离参数法一般地，利用最值分离参数法来确定不等式 , （ , 为实参数）0,xfDx恒成立中参数取值范围的基本步骤:（1） 将参数与变量分离，即化为 的形式；ffff 2221或（2） 求 在 D 时的最大（或最小）值；xf2（3） 解不等式 得 的取值范围。xfxfmin2ma21或思想方法： 把不等式中恒成立问题转化为求函数最值问题。适用题型：（1） 参数与变量能分离；（2） 函数的最值易求出。或或9【例】：在 ABC 中，已知恒成立，求实数 m 的范围。2|)(|,2cos)4(sin)(2 mBfBB
14、f 且解析：由，1,0(sin,0,1in)(i)(2 Bf ， 恒成立， ，即 恒3,1Bf |mBf2)(2Bf2)(fm成立， ,(【练习】 、设 上有意义，求实数 a 的取值范围.1,(7932lg在ayxx答案： 。),95(【例】：求使不等式 恒成立的实数 a 的范围。,0cosinxa解析：由于函 ，43,),4in(2s x函数有最大值 ，所以 。2a【例】： 已知定义在 R 上函数 f(x)为奇函数，且在 上是增函数，对于任意 求,0Rx实数 m 范围，使 恒成立。cos2432cosmff解： f(x)在 R 上为奇函数，且在 上是增函数，, f(x)在 上为增函数,又 0
15、cos2432cosmff mf4cos2 即cscs3 2 ，o3,1 2 cos24csm m o210cos2s4令 2 3,1cost m4 t即 4m422 m 的取值范围为（4 ，）【例】： 设 03 即 a+245aa上式等价于 或2)(0045解得 a1,并且必须也只需当 x=2 时 y2 的函数值大于等于 y1 的函数值。故 loga21,a1, 10,注意到若将等号两边看成是二次函数 y= x2+20x 及一次函数 y=8x-6a-3，则只需考虑这两个函数的图象在 x 轴上方恒有唯一交点即可。解：令 y1= x2+20x=（x+10） 2-100,y2=8x-6a-3,则如
16、图所示，y 1 的图象为一个定抛物线，y 2 的图象是一条斜率为定值 8，而截距不定的直线，要使 y1 和 y2 在 x 轴上有唯一交点，则直线必须位于 l1 和 l2 之间。 （包括 l1 但不包括 l2)当直线为 l1 时，直线过点（-20，0）此时纵截距为-6a-3=160,a= ;63当直线为 l2 时，直线过点（0 ，0） ，纵截距为-6a-3=0，a= a 的2范围为 ， ） 。63【练习】：若不等式 在 内恒成立，求实数 a 的取值范围。0log2xa31,解： 由题意知 ： 在 内恒成立。在同一坐标系内分别作出al32,和 的图象,因为 时， 的图象位于函数23xyxyalog
17、31,0xxyalog的图象上方， 当 a 1 时，显见不成立。2故 0a1 由图可知： 的图象必须过点 xyalog31,xyo12y1=(x-1)2y2=logaxxyl1l2l-20 o13或在这个点的上方，则： 31loga 271a由 ， 知 ： 1 a 的取值范围为 ,27【练习】：已知 ，求恒 成 立有时当 21)(,)1(,)(,102 xfxaxf实数 a 的取值范围。解析：由 ，在同一直角坐标系中做出两个函数xxaf )(22， 得的图象，如果两个函数分别在 x=-1 和 x=1 处相交，则由 得122)(1aa及到 a 分别等于 2 和 0.5，并作出函数 的图象，所以，
18、要想使函数xxy)(2及在区间 中恒成立，只须 在区间 对应的图象在x12 )1,()1,(在区间 对应图象的上面即可。当 才能保证，y 2a只 有时而 才可以，所以 。210aa时 ， 只 有 2,1()a由此可以看出，对于参数不能单独放在一侧的，可以利用函数图象来解。利用函数图象解题时，思路是从边界处（从相等处）开始形成的。【练习】：若当 P(m,n)为圆 上任意一点时，不等式 恒成1)(22yx 0cnm立，则 c 的取值范围是（ ）A、 B、 121cC、 D、 12解析：由 ，可以看作是点 P(m,n)在直线 的右侧，而点 P(m,n)0cnm0cyx在圆 上，实质相当于是 在直线的右侧并与它相离或相1)(22yx )(22x切。 ，故选 D。11|0|2c【练习】 、当 恒成立，则实数 a 的范围是_。|)3,(xLogxa时 ，14),31,0(
